第15讲 一次函数与方程（组）、不等式（3个知识点+5大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第15讲 一次函数与方程(组)、不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．利用一次函数的图象求解一元一次方程的解或二元一次方程组的解； 2．利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集或一元一次不等式组的解集。 知识点01 一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 知识点02 一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围。 考点一：利用一次函数的图象求一元一次方程的解 例题：（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 考点二：利用两直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ． 【变式训练】 1.（24-25九年级上·山东德州·开学考试）若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是 ． 2.（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 3.（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 考点三：利用一次函数的图象解二元一次方程组 例题：（24-25九年级上·全国·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 2.（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的方程组的解为 ． 3.（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 考点四：利用一次函数的图象求不等式的解集 例题：（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④．其中正确的有 ．（填序号） 考点五：利用一次函数的图象求不等式组的解集 例题：（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为 ．    一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）函数的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（   ） ①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ． A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的坐标是 ． 6．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标是，则不等式的解集为 ． 7．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 ．    三、解答题 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与的图象的交点坐标为． (1)关于x，y的方程组的解为_________； (2)求a，b的值． 10．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 12．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 13．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一次函数与方程(组)、不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．利用一次函数的图象求解一元一次方程的解或二元一次方程组的解； 2．利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集或一元一次不等式组的解集。 知识点01 一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 知识点02 一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围。 考点一：利用一次函数的图象求一元一次方程的解 例题：（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解的关系．一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案． 【详解】解：∵由一次函数的图象交x轴于点， ∴关于的一元一次方程的解就是． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 考点二：利用两直线的交点与二元一次方程组的解 例题：（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数和图象的交点为； 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25九年级上·山东德州·开学考试）若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 2.（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标特征，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【详解】∵直线与的交点的坐标为， ∴把代入中，可得， ∴方程组的解是， 故答案为：． 3.（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 考点三：利用一次函数的图象解二元一次方程组 例题：（24-25九年级上·全国·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点， 则，同时满足两个函数的解析式， 是二元一次方程组的解． 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 2.（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点坐标即为两个函数解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的方程组的解为； 故答案为：． 3.（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 考点四：利用一次函数的图象求不等式的解集 例题：（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数，得到图象分布在第四、三、二象限，与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为，y随x的增大而减小，当时，，判断即可． 本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得一次函数，与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为，在图象在第四、三、二象限， y随x的增大而减小， ∴关于x的方程的解为 根据题意，当时，． 故①②④正确； ③错误， 故答案为：①②④． 考点五：利用一次函数的图象求不等式组的解集 例题：（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与不等式的解集，合理分析图象是解题的关键． 根据图象分析解答即可． 【详解】解：∵根据图象进行对比可得：， ∴把，代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·北京·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数的图象位于函数的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为 ．    【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 根据不等式的解集为直线在直线下方部分所对应的的取值范围，数形结合作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）函数的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，学会利用一次函数图象解一元一次方程是解题的关键．由图象可知，与轴交于点，再结合方程即可得出结论． 【详解】解：由图象可知，与轴交于点， 当时，函数的值为0， 即方程的解是． 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解．”是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 交点为， 方程组的解为． 故选：D． 3．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合运用.首先根据题意可知不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围，据此进一步分析求解即可. 【详解】解：由题意可得：直线与直线相交于点A， ∴不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围， 观察图象可知，当时，直线在直线的下方且都在轴的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A. 4．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（   ） ①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ． A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了图象法解二元一次方程组，一次函数的图像与性质，熟知根据图象交点即可得到方程组的解是解题的关键．根据一次函数图象的交点为方程组的解可判断③；根据其中一条直线与轴的交点是，可判断①；当时，将代入求出，可判断②；根据一次函数的图象与性质求出的取值情况，可判断④． 【详解】解：由图象可知，两条直线的交点为，则该方程组的解为，故③正确； 其中一条直线与轴的交点是， 可能等于，故①正确； 当时，第一个方程为，将代入得：， 解得：，故②正确； 当的图像过和时，将和代入得： ， 解得：， ， 当的图像过和时，， 可能等于或，故④错误； 正确的是①②③， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了利用解二元一次方程组求直线交点坐标，联立直线的解析式和二元一次方程求出方程组的解，即可求解；理解二元一次方程组求直线交点坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：联立直线的解析式和二元一次方程得， ， 解得：， ； 故答案：． 6．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标是，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是数形结合；由图象知，位于直线下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2，则可得不等式的解集． 【详解】解：由图象知，位于直线下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2， 此时对应的自变量为正数，即不等式的解集为； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知直线与交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．把交点坐标代入两函数解析式求解得到m、n的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴， 解得， ∴方程组即为的解为， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 ．    【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．先求点的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：代入得， 解得， 所以点坐标为， 方程组的解就是一次函数的图象与的图象交点的坐标， 所以方程组的解． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与的图象的交点坐标为． (1)关于x，y的方程组的解为_________； (2)求a，b的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． （1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可； （2）将代入方程组，求解即可； 【详解】（1）∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴方程组的解是； （2）将代入方程组，得， 解得． 10．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【详解】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、利用图象法解一元一次方程、画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ， 作直线，如图所示． 当时，，所以方程的解为； （2）解：当时，，所以不等式的解集为； （3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是． 12．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 13．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$