第14讲 一次函数的性质（2个知识点+6大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第14讲 一次函数的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题； 2．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题． 知识点01 正比例函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知一点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）； 4）过象限、增减性 y=kx 过原点（0,0）的一条直线 k值 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 知识点02 一次函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 考点一：正比例函数的图象和性质 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有 2.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 3.（23-24八年级下·广东·阶段练习）关于正比例函数，下列说法中，错误的是（    ） A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线 C．随的增大而增大 D．点在其图象上 考点二：一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 C．图象不经过第二象限 D．若两点在该函数图象上，则 2.（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 3.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 考点三：利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（23-24九年级上·全国·开学考试）一次函数的图象上有两点和，且，则与的大小关系为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点，，，在直线上，且，则 ． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）已知点在直线上，且直线经过第一、二、四象限，当时，与的大小关系为 ． 3.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 考点四：根据一次函数增减性求参数 例题：（2024·湖北黄冈·模拟预测）若一次函数中y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·云南大理·期末）已知函数的值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 2.（23-24八年级下·全国·单元测试）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 3.（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 考点五：求直线与坐标轴围成图形的面积 例题：（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）一次函数的图像与两坐标轴所围三角形面积为8，则 ． 考点六：一次函数中折叠的综合问题 例题：（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______． 2．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），是正比例函数图象上两点，则下列正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·四川内江·期中）已知一次函数，要使函数值随自变量增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（　　） A． B． C．k D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知正比例函数的值随x的增大而增大，则m的取值范围为 ． 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在函数的图象上有三个点，则的大小关系用“<”连接为 ． 8．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 9．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数． (1)点在它的图象上，求这个函数的表达式． (2)在（1）的结论下，若的取值范围是，求的取值范围． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数 (1)当时，______；当时，______； (2)y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； (3)函数图象经过第______象限； (4)函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标： (2)画出该函数图像： (3)当自变量时，函数值的取值范围是__________． 15．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 16．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一次函数的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题； 2．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题． 知识点01 正比例函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知一点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）； 4）过象限、增减性 y=kx 过原点（0,0）的一条直线 k值 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 知识点02 一次函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 考点一：正比例函数的图象和性质 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误． 【详解】A、当时，， ∴正比例函数的图象必经过点，选项A不符合题意； B、∵， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限，选项B不符合题意； C、∵， ∴随的增大而增大，选项C符合题意； D、当时，，且随的增大而增大， ∴当时，，选项D不符合题意． 故选：C． 2.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，故该选项不符合题意； B、当时，，图象不经过点，故该选项不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意； D、，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 故选：C． 3.（23-24八年级下·广东·阶段练习）关于正比例函数，下列说法中，错误的是（    ） A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线 C．随的增大而增大 D．点在其图象上 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质．解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质．本题根据一次函数的性质，对四选项逐个进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，故图象经过原点，说法正确； B、正比例函数的图象是一条直线，说法正确； C、，随的增大而减小，说法错误； D、把代入，得：，说法正确． 故选：C． 考点二：一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 C．图象不经过第二象限 D．若两点在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何变换，一次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键． 把代入求出y的值，即可判断A；根据平移的性质即可判断B；由，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，可判断C；由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，即可判断D． 【详解】解：A、当时，， ∴图象不经过点， 故A错误，不符合题意； B、图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为， 故B错误，不符合题意； C、解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故C错误，不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点都在该函数图象上， ∴， 故D正确，符合题意． 故选：D． 2.（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线平行，那么．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D． 【详解】解：A、一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确； B、当时，，一次函数与的图象是两条平行线，故本选项说法正确； C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限， ，即，故本选项说法错误； D、一次函数中， ∵， ∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确． 故选：C． 3.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可． 【详解】解：一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误； 一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误； 函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误； 若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确． 故选：D． 考点三：利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（23-24九年级上·全国·开学考试）一次函数的图象上有两点和，且，则与的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据从一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·单元测试）已知点，，，在直线上，且，则 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象性质： 当，随增大而增大；当时，将随的增大而减小 ．根据可得将随的增大而减小， 利用的大小关系和函数的增减性可判断． 【详解】解：当时 将随的增大而减小 故答案为： 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）已知点在直线上，且直线经过第一、二、四象限，当时，与的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直接利用一次函数的性质分析得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 3.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 【答案】(1)< (2)> (3)> 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． （1）（2）（3）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y的值随x的值增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴y的值随x的值增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：； （3）∵，， ∴y的值随x的值增大而增大， ∴． 故答案为：． 考点四：根据一次函数增减性求参数 例题：（2024·湖北黄冈·模拟预测）若一次函数中y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值 ． 【答案】0（答案不唯一，答案为内的即可） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】根据函数的性质，当时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故． 故答案为：0． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·云南大理·期末）已知函数的值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的增减性列出关于的不等式即可． 【详解】解：∵函数的值随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·全国·单元测试）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． 故答案为：． 3.（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 考点五：求直线与坐标轴围成图形的面积 例题：（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】18 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先求出两直线的交点坐标，再分别求出两直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：，解得， 两直线的交点为， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 直线，与轴所围成的图形的面积． 故答案为：18． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：如图， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）一次函数的图像与两坐标轴所围三角形面积为8，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积计算，正确计算交点，学会把坐标转换成线段长度是解题的关键，求解交点坐标，利用面积建立方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数 当，则， 当，则， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点坐标为， ∵一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积为8， 故， ∴， 解得，经检验符合题意． 故答案为：． 考点六：一次函数中折叠的综合问题 例题：（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______． 【答案】或或 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可． 【详解】当时，， 点的坐标为； 当时，，解得：， 点的坐标为． ． 由折叠的性质可得， ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 点的坐标为， ， 当时， ∵， ∴点O是的中点， ∴； 当时，则； 当时，设，则， ，解得， 此时； 综上，点的坐标为或或； 故答案为：或或 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，等腰三角形的定义，在中，利用勾股定理找出关于的方程是解题的关键． 2．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 【答案】或 【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标． 【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∵直线与轴、轴分别相交于点，， 当时，，得：， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标，勾股定理，折叠的性质，运用了分类讨论的思想．熟练运用折叠的性质是解题的关键． 3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为； (3)折痕的解析式为． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标； （3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】（1））在中，令可得，令可求得， ，； （2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点， 则，即点即为满足条件的点， ， ， 在中，当时，可得， 点坐标为； （3）如图2， 设，则， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， 设直线解析式为， ，解得， 折痕的解析式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质；根据判断A，根据图象性质判断B和D，根据当时，判断C即可． 【详解】解：A．∵，∴y随x的增大而增大，故错误； B． 当时，，故错误； C．当时，，∴它的图象与y轴交于点，故正确； D． 它的图象经过第一、三、四象限，故错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），是正比例函数图象上两点，则下列正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是学会利用正比例函数的增减性解决问题．根据正比例函数的增减性即可判断． 【详解】解：， y随x的增大而减小， 当时，， 故选：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以随的增大而减小，横坐标越大，纵坐标越小． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 4．（22-23八年级下·四川内江·期中）已知一次函数，要使函数值随自变量增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数中一次项系数k与函数中y与x的增减性的关系．要使函数值y随自变量x的增大而增大可以得到，由此可以求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数， 要使函数值y随自变量x的增大而增大， 则， 解得， 则m取值范围是． 故选：B． 5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（　　） A． B． C．k D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的增减性，解题关键是根据图像情况比较得到的两个值的大小．根据题意得出，则一次函数中随的增大而减小，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵ 又，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知正比例函数的值随x的增大而增大，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由正比例函数的性质可得，求解即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在函数的图象上有三个点，则的大小关系用“<”连接为 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象性质，比较一次函数的函数值大小，根据，得到随的增大而减小，再结合三个点的横坐标的大小关系，进而比较一次函数的函数值大小即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即随的增大而减小， ∵函数的图象上有三个点，且， ∴， 故答案为： 8．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 9．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 【答案】或2 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、正比例函数的性质 【分析】由可知点在直线上，当点在的左侧且的面积等于10时，求得的值，当点在的右侧且的面积等于10时，求得的值．本题考查了三角形的面积，正比例函数的图象性质，坐标与图形性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 点的坐标为， 点在直线上， 当点在的左侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 当点在的右侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 的面积等于10，则或． 故答案为：或2． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 【答案】5 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题 11．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数． (1)点在它的图象上，求这个函数的表达式． (2)在（1）的结论下，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数图象的增减性，图象上点的坐标特征，求函数关系式，解题关键是理解正比例函数的增减性． （1）把点代入中，即可求解的值； （2）分别计算出自变量为和所对应的函数值，然后根据正比例函数的性质确定的取值范围． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， 这个函数的表达式为：； （2）解：当时，， 当时，， ， 随的增大而减小， 的取值范围：． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数 (1)当时，______；当时，______； (2)y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； (3)函数图象经过第______象限； (4)函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 【答案】(1)； (2)减小；> (3)一、二、四 (4)； 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】（1）将代入，求出对应的y值；将代入，求出对应的x值； （2）根据一次函数的增减性作答即可； （3）分别求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标并作出图象，根据图象判断即可； （4）根据（3）作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，得， 解得 故答案为：； （2）， ∴y随x的增大而减小， ， 故答案为：减小； （3）当时，；当时，， 函数经过坐标和， 函数的图象如下： 由图象可知，函数经过第一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． （4）由（3）可知，函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 故答案为：； ． 【点睛】本题考查函数值、解一元一次方程、一次函数的图象和性质，掌握一元一次方程的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． (1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时，． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标： (2)画出该函数图像： (3)当自变量时，函数值的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴交点的问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，数形结合． （1）求出一次函数的图象与x轴交点，与y轴交点即可； （2）根据列表、描点、连线步骤画图即可； （3）求出时y的值，结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，； 当时，即， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：列表： x ⋯ 0 6 ⋯ y ⋯ 3 0 ⋯ 描点，连线得， （3）解：由图象知：当时，， 所以，当时，， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 16．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$