第11讲 函数的图象（2个知识点+4大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第11讲 函数的图象 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．学会画函数图象的三步：列表、描点、连线； 2．根据函数图象获得相应信息。 知识点01 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点02 画函数的图象的步骤 1.列表、2.描点、3.连线：用光滑的曲线连续在一起。 考点一：用描点法画函数图象 例题：（24-25九年级上·北京密云·期中）某温室在的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据： 设肥料用量为x克，温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天 x 0 2 3 4 6 7 8 10 1.0 1.5 1.6 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1.1 1.6 1.7 1.9 1.6 1.4 1.3 1.2 (1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在时的生长速度是______厘米/天； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）； ②若希望幼苗的生长速度在和下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 (1)补全表格； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 (1)通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图像； (2)画出关于的图像并观察图像，补全表格；（结果保留小数点后一位） (3)实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 考点二：函数图象识别 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）童童去奥体中心观看音乐会，她先匀速步行至轻轨车站，等了一会，又搭乘轻轨至奥体中心，演出结束后搭乘刘叔叔车顺利回到家．下图中表示童童离家后所用的时间，表示他离家的距离．下列能反映与的函数关系的大致图像的是（   ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路走回家．下面能反映当天爷爷走的路程y（单位：）与时间x（单位：）之间关系的大致图象是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）周日，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是（   ） A． B． C． D． 考点三：从函数的图象获取信息 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）“龟兔首次赛跑”之后，兔子没有气馁，总结反思后约乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．在理解的基础上填空： (1)兔子比乌龟晚 分钟出发； (2)乌龟跑了 米后在途中休息了 分钟； (3)兔子的速度是 米分； (4)乌龟休息后的速度比休息前慢了 米分． 2．（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 考点四：动点问题的函数图象 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是（ ） ①小明家和学校距离米；②小华乘坐公共汽车的速度是米/分；③小华乘坐公共汽车后与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是米/分时，他们可以同时到达学校． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图1，长方形中，动点P从点C出发，速度为，沿方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线长为（） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·重庆·模拟预测）某同学在时刻静止站在体重秤上，随后完成“下蹲”和“站起”的动作，体重秤的示数F随时间t的变化情况如图所示，则该同学对力传感器的最小压力约为 N． 5．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一辆货车和一辆轿车先后从甲地前往乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系． (1)货车的速度是_______． (2)当时，轿车对应的函数关系式为_______． (3)轿车出发多少小时能追上货车？ (4)当轿车与甲地相距时，货车与甲地相距多少千米？ 8．（23-24七年级下·福建三明·期中）温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据下图，讨论某地某天温度变化的情况： (1)上午时的温度是____度；时的温度是____度； (2)这一天最高温度是____度，是在____时达到的； (3)这一天最低温度是___，从最低温度到最高温度经过了____小时； (4)图中点表示的是________，点表示的是__________． 9．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图1，在底面积为、高为长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）和注水时间（秒）之间的关系如图2所示． (1)图2中，点________表示烧杯中刚好注满水，点________表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； (2)求注水的速度； (3)烧杯的底面积是________，注满水槽所需要的时间为________秒． 10．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离与乙的行驶时间的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离与乙的行驶时间的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： (1)对比图①、图②可知：______，______． (2)求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． (3)请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为？ 11．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）在直角坐标系中，作的函数图象． 第一步：根据函数表达式填写下表： x ⋯ ⋯ y ⋯ ⋯ 第二步：以上表中各对x，y的值为点的坐标，其中x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点． 第三步：顺次连接描出的各点． （2）直接写出函数的图象所过象限及y随x增大的变化情况． （3）直接写出函数（n为正整数）的图象所过象限及y随x增大的变化情况． 12．（24-25九年级上·广西南宁·期中）数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的图象 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．学会画函数图象的三步：列表、描点、连线； 2．根据函数图象获得相应信息。 知识点01 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点02 画函数的图象的步骤 1.列表、2.描点、3.连线：用光滑的曲线连续在一起。 考点一：用描点法画函数图象 例题：（24-25九年级上·北京密云·期中）某温室在的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据： 设肥料用量为x克，温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天 x 0 2 3 4 6 7 8 10 1.0 1.5 1.6 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1.1 1.6 1.7 1.9 1.6 1.4 1.3 1.2 (1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在时的生长速度是______厘米/天； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）； ②若希望幼苗的生长速度在和下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）． 【答案】(1)1 (2)见详解 (3)①5.0；②2.0，6.5 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格可直接得解； （2）描点连线即可； （3）①根据数据和函数图象观察即可得解；②根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知幼苗在时的生长速度是1.0厘米天， 故答案为：1； （2）解：函数图象如下图； （3）解：①由图象观察可知，当时，最大， 故答案为：5.0； ②由表格和图象我们发现，当时，和都不低于1.5厘米天， 此时最少用料为2.0克，最多为6.5克； 故答案为：2.0，6.5． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）电动汽车在汽车市场占有率越来越高，耗电量也成为了大家关注的重点．研发人员在实验室进行了模拟实验，记录了一款电车在理想状态下的耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．但是电动汽车在实际使用时，耗电量受诸多因素的影响，在车身重量，路况，气温等因素恒定的情况下，研发人员又记录了该电车的实际耗电量（测电单位）与车速（测速单位，且）之间的数据．部分数据如下表：（注：速度为0时，通电状态下仍会消耗电） 0 1 2 3 4 5 10 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 (1)补全表格； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)结合函数图象该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为______测速单位． 【答案】(1)补全表格见解析； (2)图见解析； (3)3 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图象的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据题意，补全表格； （2）根据（1）的表格，描点，连线，即可画出这两个函数的图象； （3）找到两图象的交点，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格，车速每增加一个单位，耗电量增加5个单位， 则当时，， 补全表格如图； 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 5 17 22 25 27 28 （2）解：描点，连线，画出这两个函数的图象如图； ； （3）解：由图象可知，当理想状态下与实际测试中耗电量相同时，的值约为3，故该电车在理想状态下与实际测试中耗电量相同时，车速约为3测速单位． 故答案为：3 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 (1)通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图像； (2)画出关于的图像并观察图像，补全表格；（结果保留小数点后一位） (3)实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析；（～之间均可）；（～之间均可）． (3)． 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】（1）根据表格描点，连接各点即可画出关于的函数的图像； （2）根据题意作出函数图像即可得解； （3）根据题意作出函数图像即可得解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，过轴上的作轴的平行线与相交，再过该交点作轴的平行线， 根据图形，补全表格如下： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 故答案为：78，23； （3）解：，如图， 由图可得，大概在第天时，连翘比金叶女贞多长了，即大概在第天时，连翘和金叶女贞一样高． 考点二：函数图象识别 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）童童去奥体中心观看音乐会，她先匀速步行至轻轨车站，等了一会，又搭乘轻轨至奥体中心，演出结束后搭乘刘叔叔车顺利回到家．下图中表示童童离家后所用的时间，表示他离家的距离．下列能反映与的函数关系的大致图像的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图像，根据童童的活动得出函数图像是解题关键，注意选项B中步行的速度快不符合题意． 根据步行速度慢，路程变化慢，等车时路程不变化，乘轻轨时路程变化快，看音乐会时路程不变化，回家时乘车路程变化快，可得答案． 【详解】解：步行时变化慢，等车路程不变化，乘轻轨时路程变化快，看音乐会路程不变化，回家路程变化快．只有选项A符合． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路走回家．下面能反映当天爷爷走的路程y（单位：）与时间x（单位：）之间关系的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息 【分析】此题考查函数图象问题，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法． 由爷爷锻炼身体的行程，可得出路程的变化是先增加（较快）、中间有段不变，后来路程增加（较慢），对照选项即可得出结论． 【详解】解：爷爷从家里跑步到公园，路程y与时间x的增大而增加较快；打了一会儿太极拳，路程y与时间x的增大而不变；然后沿原路走回家路程y与时间x的增大而增加较慢． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）周日，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图象，根据题意结合各个选项的图象分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟，张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟， ∴正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是 故选：C． 考点三：从函数的图象获取信息 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距千米，两车同时出发，两车出发后小时相遇；设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (2)求动车的速度； (3)动车行驶多长时间与普通列车相距千米？ 【答案】(1)， (2)千米/小时 (3)小时或小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象的应用，熟练掌握两人单线型行程问题的图象中的各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键． （1）先得出两地相距千米，根据时的实际意义可得普通列车共需时间，由速度路程时间可得答案； （3）设动车的速度为千米/小时，根据“动车小时行驶的路程普通列车小时行驶的路程”列方程求解可得； （4）分两种情况：①相遇前；②相遇后进行讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由时，， 则西宁和西安两地相距千米， 由图象知时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需小时， 故普通列车的速度是（千米/小时）， 故答案为：，； （2）解：设动车的速度为千米/小时， 根据题意，得：， 解得：， 答：动车的速度为千米/小时； （3）解：①当相遇前动车行驶与普通列车相距千米， 根据题意得：（小时）， ∴相遇前动车行驶小时与普通列车相距千米； ②当相遇后动车行驶与普通列车相距千米， 由当动车到达终点时用时（小时）， 此时两车相距， 即两车相距千米是在动车到达终点之前， 根据题意得：（小时）， ∴相遇后动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）“龟兔首次赛跑”之后，兔子没有气馁，总结反思后约乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．在理解的基础上填空： (1)兔子比乌龟晚 分钟出发； (2)乌龟跑了 米后在途中休息了 分钟； (3)兔子的速度是 米分； (4)乌龟休息后的速度比休息前慢了 米分． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)． 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（）由函数图象即可求解； （）由函数图象即可求解； （）由函数图象可得兔子的速度是米分； （）分别求出休息前的速度和乌龟休息后的速度，然后相减即可； 本题考查了从函数的图象获取信息，读懂题意，通过函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可得：兔子比乌龟晚出发分钟， 故答案为：； （2）解：由函数图象可得：乌龟跑了米后在途中休息了分钟， 故答案为：，； （3）解：由函数图象可得兔子的速度是（米分）， 故答案为：； （4）解：由函数图象可得乌龟休息前的速度为（米分）， 乌龟休息后的速度为（米分）， ∴乌龟休息后的速度比休息前慢了（米分）， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 【答案】(1)； (2)甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； (3)当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （）根据函数图象，两个相距为时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （）由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，即可求出甲的速度，根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （）当乙到达终点地时，求出甲离开出发地地的路程，即为甲乙两人的距离． 【详解】（1）解：由图象可得，在点时，，此时两人相遇， 点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点表示两人距离为，此时甲到达终点， 故答案为：； （2）解：由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时， ∴甲的速度为（千米时）， 当时，两人相遇 ， 两人的速度之和为（千米时）， ∴乙的速度为（千米时）， 答：甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； （3）解：当乙到达终点地时，甲离开出发地地有（千米）， ∴当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 考点四：动点问题的函数图象 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)当出发4秒，9秒，12秒时，是等腰三角形． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，， 即， ∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即， ∴， 在上速度为， ， ∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为， ， ∴， 即，，，； （2）解：前8秒速度为， ，8秒后速度为， ∴， 因此； （3）解：如图③当时， 中， ∴， ∴， 同理当时， 中，， ∴， ， 当时， 在的垂直平分线上， 即为的中点， ， ∴， ， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)自变量是的长，因变量是的面积 (2)， (3)见解析 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）根据题意即可求解； （2）根据表格数据可得，，的高是，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）当时，，当时，，再根据三角形的面积公式可求解析式，根据函数的性质可得的面积变化情况． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积； （2）解：时，；时，， ，，的高是， 时，， ， 当时，， ， ，； （3）解：当时，， ，即； 当时，， ，即； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息、函数解析式 【分析】本题主要考查了动点问题函数图像，根据函数图像获得信息，解题的关键是树形结合，熟练掌握三角形的面积公式． （1）根据图形的边长，求出即可；根据函数图像结合点M在图形上的运动轨迹，以及三角形的面积公式求出a、b的值即可； （2）先求出点M在上运动时，点M到的距离，然后根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式即可； （3）分情况讨论：当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据洗涤衣服时经历的三个阶段洗衣机内的水量的变化情况，分析得到水量与时间的函数图象． 【详解】解：注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多；清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间；排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0；如图所示： 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是（ ） ①小明家和学校距离米；②小华乘坐公共汽车的速度是米/分；③小华乘坐公共汽车后与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是米/分时，他们可以同时到达学校． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象，能明确题意，熟练掌握行程类函数图象的解题方法，确定图中拐点、交点的意义是解题的关键．直接根据图象可得小明家和学校距离为米，故可判断①；利用小华米用时（分）可得其速度，故可判断②；利用图中交点即为相遇，求出小华走米所用时间，即可求出相遇时间，故可判断③；利用小华米的跑步的速度是米/分，求出小华到达终点所用时间，即可判断④． 【详解】解：由图象可得，小明家和学校距离为米， 故①正确； 小华乘坐公共汽车的速度是（米/分）， 故②正确； 小华从出发到与小明相遇的时间为（分）， 则从到小华与小明相遇所用时间为（分）， 则小华乘坐公共汽车与小明相遇的时间超过了， 故③错误； 小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是米/分， 小华从家到学校的所用时间为：（分）， 则小华到校时间为， 又因为小明到校时间为， 则他们可以同时到达学校， 故④正确； 故正确的为①②④， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图1，长方形中，动点P从点C出发，速度为，沿方向运动至点B处停止．设点P运动的时间为，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则对角线长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题是动点问题的图象探究题，考查了动点到达临界点前后的图象变化规律，解答时注意数形结合．通过图2知，段，对应的函数是一次函数，此时，而在段，的面积不变，故，再由勾股定理求解． 【详解】解：由图象知， 故选：B． 二、填空题 4．（2024·重庆·模拟预测）某同学在时刻静止站在体重秤上，随后完成“下蹲”和“站起”的动作，体重秤的示数F随时间t的变化情况如图所示，则该同学对力传感器的最小压力约为 N． 【答案】200 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象．熟练掌握图象关键信息，是解题的关键． 观察图象获取到时间段内的压力最小数据，即可． 【详解】由图象看出， 在到时间段做“下蹲”动作时，该同学对力传感器的压力最小，约为． 故答案为：200， 5．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一辆货车和一辆轿车先后从甲地前往乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系． (1)货车的速度是_______． (2)当时，轿车对应的函数关系式为_______． (3)轿车出发多少小时能追上货车？ (4)当轿车与甲地相距时，货车与甲地相距多少千米？ 【答案】(1)60 (2) (3)轿车出发2小时能追上货车 (4) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数关系式，自变量的值，一元一次方程的应用： （1）根据速度等于路程除以时间，结合函数图象进行求解即可； （2）根据速度等于路程除以时间求出轿车的速度，进而根据路程等于速度乘以时间求出对应的关系式即可； （3）根据轿车追上货车时两车所走路程相同建立方程求解即可； （4）根据（2）所求，求出当轿车与甲地相距时x的值，进而可求出货车与甲地的距离． 【详解】（1）解：， ∴货车的速度是， 故答案为：60； （2）解：由函数图象可得，轿车的速度为， ∴当时，轿车对应的函数关系式为， 故答案为：； （3）解：设轿车出发t小时能追上货车， 由题意得，， 解得， 答：轿车出发2小时能追上货车； （4）解：当时，， ， 答：当轿车与甲地相距时，货车与甲地相距． 8．（23-24七年级下·福建三明·期中）温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据下图，讨论某地某天温度变化的情况： (1)上午时的温度是____度；时的温度是____度； (2)这一天最高温度是____度，是在____时达到的； (3)这一天最低温度是___，从最低温度到最高温度经过了____小时； (4)图中点表示的是________，点表示的是__________． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)时的温度是；时的温度是 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据图象即可得出答案； （2）根据图象即可得出答案； （3）根据图象即可得出答案； （4）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：上午时的温度是度；时的温度是度； （2）解：由图象可得：这一天最高温度是度，是在时达到的； （3）解：由图象可得：这一天最低温度是，从最低温度到最高温度经过了小时； （4）解：由图象可得：图中点表示的是时的温度是，点表示的是时的温度是． 9．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图1，在底面积为、高为长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）和注水时间（秒）之间的关系如图2所示． (1)图2中，点________表示烧杯中刚好注满水，点________表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； (2)求注水的速度； (3)烧杯的底面积是________，注满水槽所需要的时间为________秒． 【答案】(1)A；B； (2)立方厘米/秒 (3)20；180 【知识点】分式方程的实际应用、从函数的图象获取信息 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及分式方程的应用，理解题意，结合图象获取信息是解题关键． （1）由函数图象可以得出点A表示烧杯刚好注满水，点B表示水槽中水面刚好与少烧杯中水面齐平； （2）根据图象得当注水时间为90秒时，水槽的高度的10厘米，求出体积，然后除以时间即可； （3）设烧杯的底面积为x，根据题意列出方程求解即可确定底面积；再由图象即可确定注满水的时间． 【详解】（1）解：由图象得，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐， 故答案为：A；B； （2）根据题意得，当注水时间为90秒时，水槽的高度的10厘米， ∴注入的水的体积为立方厘米， ∴注水速度为：立方厘米/秒； （3）设烧杯的底面积为x， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， ∴烧杯的底面积是； 根据图象得：注水90秒，水槽的高度为10厘米， ∴要注满20厘米的水槽，需要的时间为秒； 故答案为：20；180． 10．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离与乙的行驶时间的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离与乙的行驶时间的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： (1)对比图①、图②可知：______，______． (2)求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． (3)请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为？ 【答案】(1)10，1.5 (2)交点M的坐标为，交点M的实际意义是乙出发后甲追上乙； (3)乙出发或或时，甲、乙两人之间的距离为． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，再分别得到、的值； （2）交点M的实际意义是甲追上乙，根据题意和图象中的数据即可求解； （3）由图象可知甲乙相距有三种情况，然后分别计算三种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：， ∴， ， 故答案为：10，1.5； （2）解：设乙出发后甲追上乙， 由题意得， 解得， ， ∴交点M的坐标为， 交点M的实际意义是乙出发后甲追上乙； （3）解：由题意可得， 时，乙行驶的路程为：； 此时甲、乙两人之间的距离为； 设乙出发时， 当时， ， 解得，（舍去）； 当时， ， 解得，， 当时， ， 解得，， 即乙出发或或时，甲、乙两人之间的距离为． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）在直角坐标系中，作的函数图象． 第一步：根据函数表达式填写下表： x ⋯ ⋯ y ⋯ ⋯ 第二步：以上表中各对x，y的值为点的坐标，其中x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点． 第三步：顺次连接描出的各点． （2）直接写出函数的图象所过象限及y随x增大的变化情况． （3）直接写出函数（n为正整数）的图象所过象限及y随x增大的变化情况． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，画出图象是关键． （1）描点画出的图象即可； （2）根据图象解答问题即可； （3）类比和的函数图象解答即可． 【详解】解：（1）在直角坐标系中，作的函数图象． 第一步：根据函数表达式填写下表： x ⋯ 1 2 ⋯ y ⋯ 1 8 ⋯ 第二步：以上表中各对x，y的值为点的坐标，其中x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点． 第三步：顺次连接描出的各点． （2）函数的图象分布在第一、三象限，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而增大， （3）函数的图象，当n为奇数时，图象分布在第一三象限，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x增大而增大．当n为偶数时，图象分布在第一二象限，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 12．（24-25九年级上·广西南宁·期中）数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②或 【知识点】分式乘法、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了函数图象以及分式的乘法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）把代入计算即可得解； （2）用平滑的曲线连接即可得解； （3）①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得对称轴,此时处于最高点，即可判断求解，②由当时，，当时，，结合图形判断求解即可. ②根据函数图象求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：作图如下， ； （3）解：①∵当时，此时处于最高点， ∴结合图象可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大， 故答案为：； ②∵当时，，当时，， ∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或. 故答案为：或. 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