第10讲 难点探究专题：平面直角坐标系中面积与规律探究问题（2个知识点+8大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第10讲 难点探究专题：平面直角坐标系中面积与规律探究问题 知识点01 有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作． 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的． 知识点02 平面直角坐标系 1.象限和坐标轴： （1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，； （3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，. （5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 考点一：与面积有关的点的位置不定产生多解 例题：（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，，满足方程组，连接，，，若的面积等于，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 考点二：直接利用面积公式求图形的面积 例题：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．    (1)求，的值； (2)求的面积． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．    (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 考点三：利用补形法或分割法求图形的面积 例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 考点四：与图形面积相关的点的存在性问题 例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，． (1)请直接写出点，的坐标，______，______； (2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由； (3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值． 【变式训练】 1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示，，，点在轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 考点五：平面直角坐标系中动点移动问题 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 考点六：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点，，，…，，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，，，，…，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 考点七：平面直角坐标系中图形翻转问题 例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，边在轴正半轴上，，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转则第2023次旋转后，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 考点八：平面直角坐标系中新定义型问题 例题：（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，的伴随点为，…，这样依次下去得到，，……，．若的坐标为，则的坐标为 . 一、单选题 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 4．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 5．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点 ． 6．（2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为 ． 7．（23-24八年级下·全国·期中）已知甲运动方式为：先竖直向上运动个单位长度后，再水平向右运动个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动个单位长度后，再水平向左运动个单位长度，现有一动点第次从原点出发按甲方式运动到点，第次从点出发按乙方式运动到点，第次从点出发再按甲方式运动到点，第次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此运动规律，则经过第次运动后，动点所在位置的坐标是 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 9．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)求的面积； (3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等． 10．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 11．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系：中，过点分别作轴，轴的垂线，分别交轴，轴于点，．点，在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接． (1)求三角形的面积． (2)是轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求坐标． ②在①的条件下，若直线交轴正半轴于点，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 难点探究专题：平面直角坐标系中面积与规律探究问题 知识点01 有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作． 注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的． 知识点02 平面直角坐标系 1.象限和坐标轴： （1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，； （3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，. （5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 考点一：与面积有关的点的位置不定产生多解 例题：（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形．先求出、的长度，再利用三角形的面积列方程求出的值，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点和点两点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12， ， 解得， 所以，点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，，满足方程组，连接，，，若的面积等于，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据题意可求得，然后分情况可得到和，据此即可求得答案． 【详解】 ，得 ． 化简，得 ． 可得 ． 同理可得，． 则． 如图①②时，可得 ． 解得 ． 如图③时，可得 ． 解得 ． 综上所述，或． 故选：D 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和y轴上两种情况求解． 【详解】解：若点C在x轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 若点C在y轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 考点二：直接利用面积公式求图形的面积 例题：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．    (1)求，的值； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．    (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)点或，图见解析； (2) 【分析】（1）根据题意设点，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答； （2）根据点的纵坐标为，即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形的边在轴上 ∴设点， ∵，顶点的坐标为， ∴， ∴，， ∴点或， ∵顶点的坐标为， ∴如图所示：    （2）解：∵顶点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 考点三：利用补形法或分割法求图形的面积 例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积． 【答案】18 【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案； 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案； 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案． 【详解】解：方法一：如图，作长方形， 则 ． 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F． ∴，，，，， ∴ ． 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E． ∴，，，，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 考点四：与图形面积相关的点的存在性问题 例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，． (1)请直接写出点，的坐标，______，______； (2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由； (3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值． 【答案】(1)，； (2)存在，12或； (3)或． 【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解； （2）设P点纵坐标为，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，结合，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在右侧时，当在左侧时，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； 故答案为：， （2）解：存在， 设P点纵坐标为． 当在上方时，， ， ，， ∴，解得：； 当在下方时，， ， ， ，， ∴，解得：． 综上：点纵坐标为12或． （3）解：当在右侧时，， 过左轴于，连接， ∴ ， ∵三角形的面积为20， ∴， ； 当在左侧时，， 过左轴于，连接， ， ∵三角形的面积为20， ∴， ； 综上所述，的值为12或． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示，，，点在轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）如图， 当点在点的右边时，， 当点在点的左边时，， 所以的坐标为或； （2）的面积， 答：的面积为； （3）设点到轴的距离为， 则， 解得， 当点在轴正半轴时，， 当点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由坐标可得，轴，轴，根据计算即可； （2）连接，分两种情况：当点B在左侧时，点B在右侧时，分别画出图形，根据面积关系求解即可； （3）先求出，结合（2）得到的关系建立方程，求出的值，再结合面积求出点D的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴ （2）连接，当点B在左侧时，如图所示， 当时，解得： 此情况t的取值范围是； 当点B在右侧时，如图所示， 此情况t的取值范围是； 综上可得：； （3）法一：如图，当与延长线相交时， ∵ ∴ ∴，，， ∴ ∴， 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得：， ∴； 法二：设 当与延长线相交时，如图所示， ∵ ∴ 设，则 ∵，， ，则 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得： 此时点B坐标是（，2）则= 解得：， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形的面积，与坐标轴平行的点的坐标特征，三角形的面积公式，根据坐标特征求出面积是解题的关键． 考点五：平面直角坐标系中动点移动问题 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解：，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，，，， ． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标与图形，以及坐标找规律，先根据题意得到图形“凸”各边的长，进而得到周长，再利用2024整除周长找出细线另一端所在位置，即可解题． 【详解】轴，轴，且，，，，， ，，，，， 绕“凸”一圈，线长个单位长度， ，， 细线另一端在点， 细线另一端所在位置的点的坐标是， 故选：B． 考点六：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标． 【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第列， 第2024个点的横坐标为， ，为偶数列， 第2024个点的纵坐标为， 第2024个点的坐标为． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第50个点在第10列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， 由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行， 将10代入上式得， 即， 故选A． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点，，，…，，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，，，，…，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标． 【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…， 观察可知，， ， 的坐标为，即． 故选：B． 考点七：平面直角坐标系中图形翻转问题 例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出的商，从而解答本题． 【详解】解：观察图形得，，，，， 经过4次翻滚后点A对应点一个循环， ， ∵点，长方形的周长为：， ∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即． ∴的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律． 【变式训练】 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，边在轴正半轴上，，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转则第2023次旋转后，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图象可知，点旋转8次一个循环，利用这个规律解决问题即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 观察图象可知，点旋转8次一个循环， 余数为7， 点的坐标与相同， 点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 2．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，从到经过的路程恰好为的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：从到经过的路程恰好为的周长： 故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为： 同理：从到经过的路程恰好为： 故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为： … ∴、、、…、的直角顶点的横坐标为： ∵ ∴的直角顶点的横坐标为： ∵与的直角顶点的横坐标相同 故的直角顶点的横坐标是 故选：B 【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键． 考点八：平面直角坐标系中新定义型问题 例题：（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴，，，， …． 依此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵, ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组依次循环是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的坐标为和友好点的定义，顺次写出点、、、的坐标，发现循环规律，即可求解． 【详解】解：当点的坐标为时，点的友好点的坐标为， 点的友好点的坐标是， 点的友好点的坐标是， 点的友好点的坐标是， ……以此类推， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴点的坐标为， 故选：C 【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先分别算出，，，，，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则， ， 则 ∴ 同理得，，，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故选：B． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的伴随点，已知的伴随点为，的伴随点为，…，这样依次下去得到，，……，．若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据伴随点的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：的坐标为， ，，，，， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ， 点的坐标与的坐标相同，为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每个点为一个循环组依次循环． 一、单选题 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给正方形的摆放方式，发现点为正整数）坐标的变化规律是解题的关键．根据正方形的摆放方式，依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：根据正方形的摆放方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点为正整数）的横坐标为，且纵坐标按0，1，1，0，0，，，0循环出现， 因为，， 所以点的坐标为． 故选：A 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了中心对称，坐标与图形变化-平移，以及规律型—点的坐标.正确求出 的坐标，进而得出点的规律是解题的关键. 【详解】由题意可知， 、 , 的纵坐标以， 为一个周期依次循环， ∴ ， 的坐标为， 故选: B 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 【详解】由题意可得，“水平底”， 当时，， 则， 解得：， 故点的坐标为； 当时，， 故此种情况不符合题意； 当时，， 则， 解得：， 故选：． 二、填空题 4．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案． 【详解】解：如图，由题意，设点坐标是， ∵，， ， ∴，，三角形的边上的高为1， ∴三角形的面积为，三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， 解得或， 则点坐标是或， 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，得到动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环， ， 第2025次运动到点的横坐标为，纵坐标为2， 即第2025次运动到点． 故答案为：． 6．（2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用点的和谐点的定义分别写出点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用判断点的坐标与点坐标相同. 【详解】解：根据题意得点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…, 而， ∴点的坐标与点坐标相同，为， 故答案为：. 【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键. 7．（23-24八年级下·全国·期中）已知甲运动方式为：先竖直向上运动个单位长度后，再水平向右运动个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动个单位长度后，再水平向左运动个单位长度，现有一动点第次从原点出发按甲方式运动到点，第次从点出发按乙方式运动到点，第次从点出发再按甲方式运动到点，第次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此运动规律，则经过第次运动后，动点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查点的坐标的规律，掌握点的运动规律及坐标的表示是解题的关键．先根据点运动的规律求出经过第次运动后分别按照甲，乙运动的方式运动的次数，再分别求出其横纵坐标即可． 【详解】解：由题意：动点经过第次运动，那么按甲运动方式运动了次，按乙运动方式运动了次， 横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 9．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)求的面积； (3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）设，则，根据三角形的面积公式可求出，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∴． ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 当点P的坐标为时点B与点P重合， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，利用数形结合的思想是解题关键． 10．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可； （3）根据，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：设点是轴上一点，坐标为， ，， ， ， 即， 解得：或， 或； （3）解：如图，连接，   ， ，， ，， ， ，， ， 点在第三象限， ，， ， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 11．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系：中，过点分别作轴，轴的垂线，分别交轴，轴于点，．点，在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接． (1)求三角形的面积． (2)是轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求坐标． ②在①的条件下，若直线交轴正半轴于点，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 【答案】(1)三角形的面积为 (2)①点的坐标为或；②三角形的面积和三角形的面积的比值为 【知识点】坐标与图形 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解答的关键是掌握图形的特点． （1）根据题意确定，，，再根据面积计算公式计算即可； （2）①根据三角形的面积为，结合三角形的面积等于三角形的面积的一半，确定，即可解答； ②设点的坐标为，根据直线交轴正半轴于点，确定点的坐标为，从而确定点的位置，根据三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积解出，即可表示三角形的面积，再表示三角形的面积，即可解答． 【详解】（1）由题可知，，， ， 三角形的面积为； （2）①∵是轴上一点， ∴三角形的面积为， ∵三角形的面积等于三角形的面积的一半， 三角形的面积为， ∴， ∴， ∵，是轴上一点， ∴或， ∴点的坐标为或； ②设点的坐标为， ∵直线交轴正半轴于点， ∴点的坐标为，此时点的位置如图所示，    ∴，， ∴三角形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， ∵三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， ∴三角形的面积为， 三角形的面积为， ∴三角形的面积和三角形的面积的比值为． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】点坐标规律探索 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$