第07讲 零指数幂与负整数指数幂（2个知识点+5大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第07讲 零指数幂与负整数指数幂 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握零指数幂与负整数指数幂的定义，并对其进行计算； 2. 熟练的用科学记数法表示小于1的数字． 知识点01 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。 我们规定：.这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 知识点02 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 考点一：零指数幂 例题：（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握．根据零指数幂成立的条件，得出，求出结果即可． 【详解】解：如果成立，那么， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ． 【答案】5 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂和有理数的乘方，然后计算加减． 【详解】解： ． 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 考点二：负整数指数幂 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习） ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，结合的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 考点三：零指数幂与负整数指数幂的计算题 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算：． 【答案】． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂运算法则进行计算即可，解题的关键是熟知相关运算法则． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2024·云南昆明·一模）计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算可得答案． 【详解】解：原式 ． 考点四：用科学记数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． 考点五：还原用科学记数法表示的小数 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【详解】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东淄博·期中）一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法， （其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂的概念．熟练掌握零指数幂的概念是解题的关键． 零指数幂的概念：任何非零数的0次方都等于1．据此来判断每个选项是否正确． 【详解】解：选项A：当时，，故该选项错误； 选项B：无意义，故该选项错误； 选项C：成立的条件是，故该选项错误； 选项D：，，，故该选项正确； 故选D． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了零指数幂，负指数幂，正确掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，根据底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ∴或． 故选D． 5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·重庆·期中）计算： ． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，有理数的混合运算法则是解题的关键． 分别算出乘方，零次幂，负指数幂的结果，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 7．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）将写成只含有正整数指数幂的形式 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可． （2）根据科学记数法表示方法解答即可． 【详解】解：（1）用小数表示为． 故答案为：． （2）用科学记数法表示为． 故答案为：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）若有意义，则a应满足的条件是 ． 【答案】且 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0， 根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． 10．（24-25六年级上·上海·期中）已知：，则满足条件的整数a所有值为 ． 【答案】，2，0． 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，理解指数运算规则是解答关键． 根据题意分三种情况：当时，当时，当分别求解． 【详解】解：由题意可知 当时，， ， ； 当时，1的任何次幂都等于1， ； 当，的偶次幂等于1， ， 综上所述，满足条件的整数a所有值为，2，0． 故答案为：，2，0． 三、解答题 11．（2023·四川泸州·模拟预测）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握负指数幂的计算是解题的关键，利用开平方，绝对值的性质，负指数幂，零指数幂将各项逐一运算，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 12．（24-25九年级上·湖南·期中）计算：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】化简绝对值、实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【知识点】负整数指数幂、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了负整数指数幂、分式的乘方与乘除法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将负整数指数幂转化成正整数指数幂，再计算分式的乘方，然后计算分式的乘除法即可得． 【详解】解：原式 ． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 16．（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知，求整数x的值． 小张同学是这样做的： 因为， 所以且，所以． 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数x的值． 【答案】小张同学的解答不完整，所有的x的值为， 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简求出答案． 【详解】答：小张同学的解答不完整； 完整解答如下： ∵， ∴且， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 综上所述：所有x的值为，． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 零指数幂与负整数指数幂 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握零指数幂与负整数指数幂的定义，并对其进行计算； 2. 熟练的用科学记数法表示小于1的数字． 知识点01 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义。 我们规定：.这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 知识点02 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 考点一：零指数幂 例题：（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）计算： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 考点二：负整数指数幂 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）计算： 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 考点三：零指数幂与负整数指数幂的计算题 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算：． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 3．（2024·云南昆明·一模）计算： 考点四：用科学记数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 考点五：还原用科学记数法表示的小数 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东淄博·期中）一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·重庆·期中）计算： ． 7．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）将写成只含有正整数指数幂的形式 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）若有意义，则a应满足的条件是 ． 10．（24-25六年级上·上海·期中）已知：，则满足条件的整数a所有值为 ． 三、解答题 11．（2023·四川泸州·模拟预测）计算：． 12．（24-25九年级上·湖南·期中）计算：． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： 14．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：．（结果只含有正整数指数幂） 15．（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 16．（24-25八年级上·湖南永州·期中）已知，求整数x的值． 小张同学是这样做的： 因为， 所以且，所以． 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数x的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$