精品解析：福建省宁德第一中学2024-2025学年上学期第二次月考九年级数学试卷

宁德一中2024-2025学年度九年级数学第二次月考卷 数学试题 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个． A 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 如图，在8×4矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，C，D是上直径两侧两点，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若∠是锐角，cos＝，则∠＝_________. 12. 如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为______． 13. 如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 _____． 14. 如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____． 15. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，若，，则________． 16. 京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）． ①图形G关于直线对称； ②线段的长为； ③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形G有两个公共点； ⑤图形G的面积小于． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17 计算：． 18. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 19. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数解析式． （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 20. 随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷，为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、． （1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率： （2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式． 22. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 23. 把边长为的正方形硬纸板（如图），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2）．若剪掉的小正方形的边长为，长方体形的无盖盘子的侧面积为． （1）①求与的函数关系式： ②直接写出的取值范围． （2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为． （1）该抛物线的表达式为　　； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在矩形中，，点，P分别在边，上（均不与端点重合)，且，以AP和为邻边作矩形，连接，． （1）如图②，当时，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德一中2024-2025学年度九年级数学第二次月考卷 数学试题 考试时间：120分钟：满分：150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解． 【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形 且两个长方形在左侧位置对齐 故选：A 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设 则 再代入分式求值即可. 【详解】解： ，设 故选： 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键. 3. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、，故此点不在此函数图象上； B、，故此点在此函数图象上； C、，故此点不在此函数图象上； D、，故此点不在此函数图象上． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 5. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数． 【详解】解：设黑球可能有个 ∵摸到白球的频率稳定在25%附近 ∴口袋中摸到白球的概率为25% ∴ ∴ 经检验：x=11是原方程的解，也符合题意. ∴黑球可能有11个 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键． 6. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直角中利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：过A作于D， 在直角中，，， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键． 7. 如图，C，D是上直径两侧两点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为，直角三角形两锐角互余，以及同弧所对的圆周角相等，由是直径可得，由可知，再根据同弧所对的圆周角相等，可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图 ∵ ． ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，即 ∴， 故选：C． 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 10. 已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴， 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴此时抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴解得； 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， ∴解得， ∴， ∴综上所述， 当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若∠是锐角，cos＝，则∠＝_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以∠ 12. 如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：与位似，点为位似中心， ，， ， ， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 13. 如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有，再结合函数图象所在的象限，确定k的值． 【详解】解：如图，连接， 轴， ， ， ， 反比例函数的图象的一支位于第一象限， ， ， 故答案为：6． 14. 如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____． 【答案】﹣5＜x＜3 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即 抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称， ∴另一个交点的坐标为（3，0）， ∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3． 故答案为﹣5＜x＜3． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 15. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可求BF=5，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 由作图可知：， ∴， 故答案为：3． 16. 京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）． ①图形G关于直线对称； ②线段的长为； ③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形G有两个公共点； ⑤图形G的面积小于． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景、曲线的对称性、整点问题、构造直角三角形、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意很明显可以得到图形G的对称轴为，故①正确；构造直角三角形、利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；根据图形可得当、，直线与图形G有一个公共点，即不能得出结论④，故④错误；如图：连接,可求得，从而判定⑤错误． 【详解】解：如图：由圆M可知且点A，B在抛物线上， ∴图形G关于对称，即①正确； 如图：连接， 在中， ∵， ， ， 又， ， ，故②正确； 根据题意得，由图形G围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误； 由图形可得：当、，直线与图形G有一个公共点，故④错误； 如图：连接, ， ∴，故⑤错误． 故答案为①②． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义，特殊角的三角函数值．先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的意义和特殊角的三角函数值化简，再算加减即可． 【详解】解： 18. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求y关于x的函数解析式． （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】（1）； （2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 【解析】 【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； (2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y的值． 【小问1详解】 解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． 20. 随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷，为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、． （1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率： （2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式及利用画树状图法求概率，熟练掌握和运用利用画树状图法或列表法求概率的方法是解决本题的关键． (1)根据概率公式即可求得； (2)首先画出树状图，再根据概率公式即可求得． 【小问1详解】 解：共有4出入闸口， 选择A闸口通过的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图得： 由树状图可知，有16种等可能的结果，其中两名乘客选择同闸口通过的有4种结果， ∴两名乘客选择同闸口通过的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由a不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边变为完全平方式，右边大于等于0时，开方即可得到求根公式 【详解】解：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）， ∴， ∴， 即， ∵4a2＞0， ∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根， ∴， ∴当b2﹣4ac＞0时， , 当b2﹣4ac＝0时，x1＝x2＝． 【点睛】此题考查了利用配方法推导求根公式，由求根公式推导根与系数的关系，以及根与系数关系的运用，其中利用配方法推导求根公式是一个难点，必须掌握推导过程每一步的依据，即要搞清为什么，根与系数关系应用的前提必须是一元二次方程有解，即b2﹣4ac≥0． 22. 如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行到达D处，再沿着斜坡走到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到） （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）ED的铅直高度约为，水平宽度约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为H，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，， ∴斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为H， 由题意得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 23. 把边长为的正方形硬纸板（如图），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2）．若剪掉的小正方形的边长为，长方体形的无盖盘子的侧面积为． （1）①求与的函数关系式： ②直接写出的取值范围． （2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值 【答案】（1）①；② （2）当时，达到最大，最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用，解题时要熟练掌握并能找到关键描述语从而根据等量关系准确地列出函数关系式是解题的关键． （）①依据题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为，进而列式可以得解； 依据题意，列不等式，进而计算可以得解； （）依据题意，结合（）得，从而根据二次函数的性质进行判断可以得解； 【小问1详解】 解：由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为， ∴盒子的侧面积，即； 由题意，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴当时，， 即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为． （1）该抛物线的表达式为　　； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得出，通过交点式得出函数关系式； （2）设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，则可得，，且得点D的坐标，证明，得D为中点，由中点公式求出的坐标，由待定系数法求出直线的关系式，与抛物线联立即可求出交点P的坐标； （3）分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出，得代入抛物线即可，当在上方时，得出． 【小问1详解】 解：对称轴为直线，点坐标为， ， ； 【小问2详解】 解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图， ∵对称轴为直线， ∴， ，， ∴； 在中，令，得， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴， 由中点坐标公式得：， 设直线的关系式为：， 把C、E两点坐标分别代入得：，解得：， 直线的关系式为：， 联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：， 解得：（舍，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：存在； 点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于， 当在上方时， 则，设， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，则， 又， ∴， 又，， ， ，，， ， 恰好落在抛物线上， ， 解得，（舍）， ∴点Q的纵坐标为； ， 当在上方时，作对称轴于， 可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及运算能力等知识，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25. 如图，在矩形中，，点，P分别在边，上（均不与端点重合)，且，以AP和为邻边作矩形，连接，． （1）如图②，当时，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）变化， （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可求解， （2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可求解， （3）当点在线段上时，根据勾股定理求出、的长度，即可得出，则可求出，当点在线段上时，同理可求，则，同理可求出． 本题考查了矩形的性质，正方形的 ，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练应用相关性质定理，分情况讨论． 小问1详解】 解：当，则，， ， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， 故答案为：， 【小问2详解】 解：发生变化，， 当时，，， ，， ， 连接AC， 矩形绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 故答案为：变化，， 【小问3详解】 解：当点在线段上时， ，， ， ， ，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 当点在线段上时， 同理可求， ， 由（2）可知，， ， 故答案为：线段PD的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$