第11讲 解一元一次不等式（4个知识点+8大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第11讲 解一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握一元一次不等式概念； 2.能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 3.应用一元一次不等式解决实际问题. 知识点01 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点02 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点03 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点04 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 考点一：一元一次不等式的识别 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 考点三：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；    考点四：求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的不等式的非负整数解为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）不等式的正整数解是 ． 2．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）不等式的负整数解的和等于 ． 考点五：一元一次不等式求解中错解复原问题 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 考点六：解|x|≥a型的不等式 例题：（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 考点七：列一元一次不等式 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 考点八：用一元一次不等式的解决实际问题 例题：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元． (1)求A，B两种型号电脑每台多少元？ (2)若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？ 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台． (1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？ (2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？ (3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？ 3．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日生产活塞的数量（个） 100 60 (1)按该公司要求，可以有哪几种购买方案？ (2)若该公司购进的6台机器的日生产活塞量不能低于380个，且为了节约购买资金，则该公司应选择哪个购买方案？ 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据语句“的倍与的差小于列不等式”： ． 7．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 8．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式：，并把解集在数轴上表示出来．    12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“冰雪同梦，亚洲同心”的绘画比赛，并购买A、B两种吉祥物徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． (1)每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、B两种徽章共60个，且总费用不超过2000元，那么最多购进A种徽章多少个？ 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 16．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 解一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握一元一次不等式概念； 2.能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 3.应用一元一次不等式解决实际问题. 知识点01 一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点02 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点03 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点04 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 考点一：一元一次不等式的识别 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断． 【详解】解：（1），（2），符合定义， （3）不等号左边不是整式，不符合定义， （4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2； ②不是一元一次不等式，因为是分式； ③不是一元一次不等式，因为有两个未知数； ④是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式． 综上，只有2个是一元一次不等式． 故选B． 考点二：利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 考点三：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； （）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ； （2）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；    【答案】，图见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴是解题的关键． 首先按照解一元一次不等式的一般步骤求解：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，得出答案后再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将不等式的解集在数轴上表示出来如下：    考点四：求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的不等式的非负整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的非负整数解为； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可． 【详解】解：不等式， 移项合并同类项得：， 解得：， 则不等式的正整数解为：1，2． 故答案为：1，2． 2．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）不等式的负整数解的和等于 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， ∴不等式的负整数解有，这2个， ∴负整数解的和等于， 故答案为：． 考点五：一元一次不等式求解中错解复原问题 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 考点六：解|x|≥a型的不等式 例题：（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【知识点】绝对值的意义、一元一次方程解的综合应用、解|x|≥a型的不等式 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【知识点】绝对值的意义、求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 考点七：列一元一次不等式 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：设老师买了x副圆规， 由题意得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 考点八：用一元一次不等式的解决实际问题 例题：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【答案】(1)22道 (2)24道 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式． （1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题， 由题意可得：， 解得， 答：小明一共答对了22道题； （2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”， 由题意可得：， 解得， 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元． (1)求A，B两种型号电脑每台多少元？ (2)若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？ 【答案】(1)4800元，3200元 (2)10台 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题关键． （1）设A，B两种型号电脑每台分别为x元，y元，根据题目意思列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买A型电脑m台，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设A，B两种型号电脑每台分别为x元，y元， 由题意可列： 解得： 答：A，B两种型号电脑每台分别为4800元，3200元． （2）（2）设购买A型电脑m台，由题意可列： 解得： 答：最多可购买A型电脑10台． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台． (1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？ (2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？ (3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？ 【答案】(1)北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台 (2)3种 (3)总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题； （2）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出不等式即可解决问题； （3）算出（2）中每一种调运方法的费用，然后比较即可求解． 【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆台，北京运往汉口台，北京运往重庆台， 由题意得：， 解得：， ∴，，， 答：北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台； （2）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆台，北京运往汉口台，北京运往重庆台， 由题意得：， 解得：， 又x为非负整数， ∴非负整数x的值为0，1，2， ∴共有3种调运方法； （3）解：由（2）知：一共有三种调运方法，分别为： ①北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台，运费为万元； ②北京运往汉口9台，重庆3台；上海运往汉口1台，重庆5台，运费为万元； ③北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，运费为万元； ∵， ∴总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86元． 3．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日生产活塞的数量（个） 100 60 (1)按该公司要求，可以有哪几种购买方案？ (2)若该公司购进的6台机器的日生产活塞量不能低于380个，且为了节约购买资金，则该公司应选择哪个购买方案？ 【答案】(1)方案见解析 (2)方案二，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找出符合题意的不等关系式，并求出整数解解题的关键； （1）根据购买的甲的数量乙的数量6，购买甲的价钱购买乙的价钱万元，来列出不等式，求出自变量的取值范围，即可得出答案； （2）按不同方案分别计算购买机器所耗资金及日生产量，通过比较按要求作出选择． 【详解】（1）解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器台， 依题意得， ， 解得， ∴x可取0，1，2， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：甲0台乙6台； 方案二：甲1台，乙种5台； 方案三：甲2台，乙4台； （2）解：方案一：甲0台乙6台；，不符合要求， 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金万元，日生产量为个； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为万元，日生产量为个； 因此选择方案二既能达到日生产量的要求且比方案三节约2万元资金， 故应选方案二． 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的解集为：， 故选：B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据雪糕的费用和矿泉水的费用之和不超过40元列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 4．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 5．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解一元一次方程，然后根据已知方程的解是负数，可得，从而可得，最后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 方程的解是负数， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据语句“的倍与的差小于列不等式”： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意得出不等式即可，读懂题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵的倍与的差小于， ∴列不等式为：， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：由不等式得：， ∵由数轴可知， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式． 首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围． 【详解】解：， 得， 则， ∵ ∴， 解得． 故答案是：． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，利用得分答对题目数留空题目数，结合得分不少于分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对题才有机会进入邀请赛， 根据题意得：， 解得：， ∴至少需要答对题才有机会进入邀请赛， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式：，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 表示在数轴上如下：   ． 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合条件的x的非负整数解． 【答案】，见解析，非负整数解为0，1 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据，去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求整数解即可， 本题考查了，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ， ∴该不等式的非负整数解为0，1． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式两边都除以2，得， 原不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式两边都除以，得． 原不等式的解集在数轴上表示如图所示． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月在哈尔滨举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“冰雪同梦，亚洲同心”的绘画比赛，并购买A、B两种吉祥物徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． (1)每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、B两种徽章共60个，且总费用不超过2000元，那么最多购进A种徽章多少个？ 【答案】(1)每个A中徽章的价格为36元，每个B种徽章的价格分别为28元； (2)最多购进A种徽章40个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每个A中徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格分别为y元，根据购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种徽章，则购进个B种徽章，根据总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A中徽章的价格为36元，每个B种徽章的价格分别为28元； （2）解：设购进m个A种徽章，则购进个B种徽章，由题意得：，解得：， 答：最多购进A种徽章40个． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 16．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$