第09讲 二元一次方程组的应用（2个知识点+10大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第09讲 二元一次方程组的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 2．通过小组合作，分析“鸡兔同笼”数字问题和行程问题等问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 3．掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。 知识点01 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 知识点02 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 考点一：二元一次方程组的应用之年龄问题 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【变式训练】 1.（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 2.（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 考点二：二元一次方程组的应用之分配问题 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期中）七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【变式训练】 1.（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 2.（23-24八年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 考点三：二元一次方程组的应用之古代问题 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·山东泰安·模拟预测）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ． 2.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 考点四：二元一次方程组的应用之行程问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【变式训练】 1.（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 2.（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 考点五：二元一次方程组的应用之工程问题 例题：（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【变式训练】 1.（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 2.（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 考点六：二元一次方程组的应用之方案问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【变式训练】 1.（24-25八年级上·山东德州·开学考试）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 考点七：二元一次方程组的应用之销售问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 2.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 考点八：二元一次方程组的应用之数字问题 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 2.（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 考点九：二元一次方程组的应用之几何问题 例题：（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 2.（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 考点十：二元一次方程组的应用之图表问题 例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 2.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？ 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两． 6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 8．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 10．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 11．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆型汽车．3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 14．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 16．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 17．（22-23七年级下·重庆大渡口·开学考试）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． (2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），并分别以200元和100元的单价出售，求专卖店共有几种采购方案, 并选出利润最大的采购方案，求出最大利润． 18．（24-25八年级上·全国·期末）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案 (3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二元一次方程组的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 2．通过小组合作，分析“鸡兔同笼”数字问题和行程问题等问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 3．掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。 知识点01 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 知识点02 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 考点一：二元一次方程组的应用之年龄问题 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 【变式训练】 1.（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 2.（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 考点二：二元一次方程组的应用之分配问题 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期中）七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 【变式训练】 1.（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 2.（23-24八年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． 考点三：二元一次方程组的应用之古代问题 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，交换前甲袋重量为两，乙袋重量为两，由两袋重量相等，得；交换后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，重两，乙袋有白银10枚，黄金1枚，重两．由甲袋比乙袋轻13两，得， ∴可列方程组为 故选 D． 【变式训练】 1.（2024·山东泰安·模拟预测）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案即可． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为： ． 故答案是：． 2.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人； (2)应选择一次性定客房间更合算． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 考点四：二元一次方程组的应用之行程问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 2.（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 考点五：二元一次方程组的应用之工程问题 例题：（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 【变式训练】 1.（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 2.（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 考点六：二元一次方程组的应用之方案问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·山东德州·开学考试）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 (2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； （2）解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 2.（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 考点七：二元一次方程组的应用之销售问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、函数解析式、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 2.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 【答案】(1)礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； (2)礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． （1）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装箱，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱，根据等量关系可得出关于的方程，根据，都是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒装共包装了箱，简易装共包装了箱，由题意，得： ， 解得：， 答：礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； （2）解：设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱， 由题意，得：， 解得：， ∵，都是正整数，且， ∴且， ∴， ∵，，都是正整数 ∴， ∴，， 答：礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 考点八：二元一次方程组的应用之数字问题 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【知识点】用代数式表示式、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． 2.（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 考点九：二元一次方程组的应用之几何问题 例题：（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可． 【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得： ， 两式相加得，， ∴， 则小长方形的周长为． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、常见的几何体 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 2.（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 考点十：二元一次方程组的应用之图表问题 例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 2.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能，理由见解析 (3)见解析 【知识点】二元一次方程的解、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标； （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． （2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？ 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解： 共买了一千个苦果和甜果， ； 共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ， 可列方程组为， 故答案为：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：. 故选：A． 3．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 二、填空题 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分． 【答案】33 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 故答案为：33． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两． 【答案】 / / 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，，整理得：， 解得：， 则每只雀有两，每只燕有两． 故答案为：，． 6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：， 解得：． 答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 8．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 10．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 11．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆型汽车．3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元 (2)3种；方案见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为180万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得， 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元． （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， ， ，均为正整数， 或或， 共3种购买方案， 方案一：购进型车2辆，型车13辆； 方案二：购进型车4辆，型车8辆； 方案三：购进型车6辆，型车3辆． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)A型车15万元/辆，B型车20万元/辆； (2)①A型车4辆，B型车8辆；②A型车8辆，B型车5辆；③A型车12辆，B型车2辆． 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计50万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 依据题意可得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价为15万元，每辆B型汽车的进价为20万元． （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进4辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案2：购进8辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进12辆A型汽车，2辆B型汽车． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 14．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 【答案】(1)的值是800，的值是600． (2)九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7． 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数作为等量关系列方程组求解． （1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出和的值． （2）设九年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，根据该山区贫困生的总人数及九年级捐款数额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元， ， 解得：． 所以的值是800，的值是600． （2）设初三年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人， 依题意得：， 解得：． ∴九年级学生捐助贫困中学生人数为4名，捐助贫困小学生人数为7名． 16．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． 17．（22-23七年级下·重庆大渡口·开学考试）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． (2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），并分别以200元和100元的单价出售，求专卖店共有几种采购方案, 并选出利润最大的采购方案，求出最大利润． 【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元 (2)三种购买方案；利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意：该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可；分别求出三个采购方案的利润，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元； （2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数， 或或， 专卖店共有3种采购方案； 当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； ， 利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元． 18．（24-25八年级上·全国·期末）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案 (3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 【答案】(1)甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物 (2)共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车 (3)甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点， （1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用＝每辆车所需费用×租用该种车的辆数，即可得出关于的方程组，解之即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出方程组．是解决此题的关键． 【详解】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物， 依题意，得：， 解得：， 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物． （2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵a，b均为非负整数， ∴b为偶数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车． （3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$