专题02 几何类求解（单选题精选）-备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）

题型02 几何求解类（单选题精选） 【类型1 求线段的长】 1 【类型2 线段求最值】 14 【类型3 求角的度数用字母表示】 28 【类型4 求角的度数不用字母表示】 36 【类型5 求比值】 59 ►类型1 求线段的长 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线与交于点，，垂足为点，且平分，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆·模拟预测）如图，E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）在矩形中，，，如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2024·广东广州·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 10．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（    ）    A． B．2 C． D．4 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，以为直径的交于M，N，交于E，且平分，连接交于F，若，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．4.8 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（    ）． A． B． C． D． 13．（2024·黑龙江·三模）如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ►类型2 线段求最值 14．（2024·河南周口·一模）如图，菱形中，点E为的中点，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 16．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 18．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 19．（2024·辽宁大连·三模）如图，在菱形中，，点为对角线、的交点，点为的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 20．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ） A．1 B． C． D． 21．（2024·湖北恩施·一模）如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 22．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 23．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 25．（2024·安徽合肥·三模）一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 26．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 27．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． ►类型3 求角的度数用字母表示 28．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为，，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 31．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 32．（2024·重庆·三模）如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A．α B． C． D． 33．（2024·重庆綦江·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·广东·模拟预测）正方形与的位置如图所示，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 四边形是正方形， 点E， F分别在边上，连接， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． ►类型4 求角的度数不用字母表示 36．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 37．（2024·湖南·模拟预测）如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 38．（2024·湖南·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　） A． B． C． D． 39．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 41．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 42．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，以为边在下方作正方形，已知，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在正五边形内部作等边三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 46．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 47．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，将沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 48．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 49．（2024·吉林·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿折叠，折叠后点C，D的对应点分别是M，N，与交于点G．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 50．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则应为（    ） A． B． C． D．不能确定 51．（2024·四川成都·模拟预测）如图，将矩形纸片沿折叠后，点C，D分别落在点，，的延长线交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·山西晋城·三模）如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 53．（2024·安徽合肥·三模）已知中，，，将沿翻折，点的对应点为，交于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 54．（2024·山东济宁·三模）如图，中，，，D点在边上运动（D与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点E．若是等腰三角形，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 55．（2024·重庆·三模）如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点、的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 56．（2024·四川广元·一模）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在边上，连接，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，使点A落在直线上的点处，得折痕．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 57．（2024·河南驻马店·三模）如图，在正方形中，点E为边的中点，将沿折叠，使点D 落在正方形 的内部一点F处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 58．（2024·河北石家庄·一模）如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 ►类型5 求比值 59．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 60．（2024·安徽淮南·二模）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 61．（2024·山东济宁·二模）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 62．（2024·浙江宁波·一模）将正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为（   ） A． B． C． D． 63．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 64．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点A为圆心，长为半径作弧交于点与相交于点，则的值为(     ) A． B． C． D． 65．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点是的半径上一点，将扇形沿折叠，使弧恰好经过圆心，其中点的对应点是，若，则的值是（      ） A． B． C． D． 66．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 67．（2024·内蒙古·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 68．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为．如图，在中，，平分交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 69．（2024·浙江·模拟预测）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 70．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 71．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型02 几何求解类（单选题精选） 【类型1 求线段的长】 1 【类型2 线段求最值】 14 【类型3 求角的度数用字母表示】 28 【类型4 求角的度数不用字母表示】 36 【类型5 求比值】 59 ►类型1 求线段的长 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识，确定何时取最小值是解题关键．连接，由“垂线段最短”的性质可知当，即点与点重合时，取最小值，此时连接，易得，再证明点与点重合，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形与四边形均为矩形且全等，且，， ∴，，， ∴矩形绕点逆时针旋转， 则当，即点与点重合时，取最小值，如下图，连接， 此时， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点与点重合， ∴． 故选：B． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作平行线交延长线于点G，可得，通过比例式即可求出，即可解决问题． 【详解】解：过点A作平行线交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，根据平行线的性质得出，从而得出，设，则，证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理算出，得出，证明，得出，根据，得出，在中，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴解得：或， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 5．（2024·湖南·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 如图，分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到、；再证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 6．（2024·全国·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线与交于点，，垂足为点，且平分，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求的长． 【详解】解：四边形是矩形 ， 平分 ， 又，， ， 又 ， ， ， ， 故选：C． 7．（2024·重庆·模拟预测）如图，E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过E作于M交BC于N，由正方形的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，求出，得到，由勾股定理求出，得到，因此． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是判定，推出． 【详解】解：过E作于M，交于N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）在矩形中，，，如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交于点，交于点，过点作于点，先证明，得到，进而得出，由作图可知，平分，得到，根据可求出，然后根据勾股定理求出，根据，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点，交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了基本作图，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数，解题的关键是灵活运用这些知识． 9．（2024·广东广州·模拟预测）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， ∴， 四边形为矩形， ， ， 而， 点在上， 于， ，两点重合， 如图： 此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆等，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 10．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（    ）    A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，中位线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，中位线是解题的关键． 由题意可得，为的中点，则为的中位线，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵，，与是的两条高， ∴，为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 11．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，以为直径的交于M，N，交于E，且平分，连接交于F，若，，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．4.8 【答案】B 【分析】首先连接，根据和角平分线性质得到，结合得到四边形是平行四边形，求得，由是直径，得到，得到，由，得到，即得． 【详解】连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，角平分线定义，平行四边形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，是解决问题的关键． 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长，交于点E，利用正方形的性质即可证明，有，则有，进一步证得，，有，结合对称性得，即可求得． 【详解】解：如图，延长，交于点E， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2，点M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点与点P关于直线对称，， ∴， 则． 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及对称性，解题的关键是做辅助线和三角形性质之间的转化求解． 13．（2024·黑龙江·三模）如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． ►类型2 线段求最值 14．（2024·河南周口·一模）如图，菱形中，点E为的中点，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先确定出点Q的轨迹是在以在以E为圆心，1为半径的圆弧上，因此C、Q、E三点共线时， 最小，过点E作延长线的垂线，垂足为点F，解，运用锐角三角形函数和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵折叠，∴， ∴点Q在以E为圆心，1为半径的圆弧上， ∴C、Q、E三点共线时， 最小， 过点E作延长线的垂线，垂足为点F，如图： ∵菱形，， ∴，∴， 在中，，， 在中，, ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠变换，勾股定理，锐角三角函数，以及线段最值的问题，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正方形的性质，证明是解题的关键． 先求出，设，则，证明，得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ． 四边形是正方形， ． 设，则． ， ． ， ， 又， ． ，即． ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 故选：B． 16．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 17．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解． 【详解】    过点D作交于M，过点A作，使，连接， 四边形是平行四边形， ， ∴ 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形是矩形，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即：的最小值为； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 18．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，解题的关键是作出关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，关于的对称点，连接， 菱形关于对称，是边上点， 是边上的点，， 当时，有最小值，最小值为的长． 菱形的边长为2，， ， 的最小值为． 故选：C． 19．（2024·辽宁大连·三模）如图，在菱形中，，点为对角线、的交点，点为的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，对称的性质，勾股定理等知识，作点O的对称点是解题的关键． 作点O关于直线的对称点G，连接，则，从而得；则，当F点在上时，取得最小值；在中由勾股定理可求得最小值． 【详解】解：如图，作点O关于直线的对称点G，连接， 则，， 在菱形中，， ,， ； ， 是等边三角形， ， 是的中点， ； 在中，， ； ， 则当F点在上时，取得最小值； 在中，由勾股定理得． 故选：A． 20．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理，作辅助线构造全等于是解题的关键． 将绕点顺时针旋转得到，连接、，根据等边三角形的性质，利用证明，得出，推出，根据“两点之间线段最短”，得出当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值，根据勾股定理计算得出答案即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、， 又∵等边的边长为，为高， ∴，，，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值， 故选：B． 21．（2024·湖北恩施·一模）如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵为的平分线， ∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 即的最小值为， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 22．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∵是直线上的一个动点， ∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动， 根据垂线段最短可得，当时，最短， 由旋转可知：，， 连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点． 23．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 24．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、、， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． 25．（2024·安徽合肥·三模）一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线定理，含30 度角的直角三角形，勾股定理，取的中点，连接，勾股定理求出的长，三角形的中位线定理，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 取的中点，连接，则：， ∴， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴的最大值为； 故选A． 26．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点O，再取中点G，连接，， ∴，，    ∵，， ∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧， 当点D、F、G共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，，， ， ， 是弧的中点， ， ， 由轴对称可知，， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，确定点的位置是本题的关键． ►类型3 求角的度数用字母表示 28．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键： 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据切线的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点A，是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 29．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出解答．根据平行线的性质得出，进而利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：弦， ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 30．（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为，，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理．连接交于，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解：连接交于，如图： 由正方形的对称性可知，， 四边形是正方形，，， 四边形是矩形， ， ， ， ； 故选：A. 31．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 根据旋转得出，则，根据三角形的外交定理，即可解答． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 32．（2024·重庆·三模）如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A．α B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰直角三角形的性质，先由，得出，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以再结合等边对等角，即可作答． 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 即 ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ 故选：A． 33．（2024·重庆綦江·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用正方形性质证明，得到，根据A，E，F，B四点共圆，以及圆周角定理得到，利用等腰三角形性质得到，，以及，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，即， A，E，F，B四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，四点共圆，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 34．（2024·广东·模拟预测）正方形与的位置如图所示，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是正方形，是直角三角形得到，则，化简即可． 【详解】四边形是正方形，是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ， ． 故选：C． 35．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 四边形是正方形， 点E， F分别在边上，连接， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把绕点A逆时针旋转得到，则，根据正方形的性质可得，从而得到点G，D，F三点共线，证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转得到，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即点G，D，F三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，根据题意得到是解题的关键． ►类型4 求角的度数不用字母表示 36．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则， ，，， ， 当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，， ， ，， ， 即最小时，的度数为． 故选：C． 37．（2024·湖南·模拟预测）如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，三角形的内角和定理，连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 38．（2024·湖南·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求解．由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C 39．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 40．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，过点作，证明，推出，进而得到，平行线分线段分比例推出，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，进而得到，得到为等腰直角三角形，得到即可． 【详解】解：过点作，    ∵正方形， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∴，（对应边上的高线相等） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 41．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 42．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（   ） 如图，四边形为的内接四边形．若，则的度数为（ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆周角定理得，根据菱形对角相等的性质得，再通过等量代换，结合圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， 由圆周角定理得：， 四边形为菱形， ， ， 解得：， 故选：B． 43．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 44．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，以为边在下方作正方形，已知，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等边三角形，进而可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴, ∴， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故选: B. 45．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在正五边形内部作等边三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形和正多边形的内角和问题，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是、多边形的内角和公式． 根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵正五边形， ∴， ∴， 故选：C． 46．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． 延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为， ， ， ． 由折叠的性质可得：． ， ． 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 47．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，将沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由翻折，全等三角形的性质，由翻折得到，即可得到，，，然后根据余角的性质得到即可． 【详解】∵将沿边所在直线翻折得， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：A． 48．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径，是弦，于点E， ∴， ∴； 故选D． 49．（2024·吉林·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿折叠，折叠后点C，D的对应点分别是M，N，与交于点G．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先用平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，即可得到的度数，即可进行解答． 【详解】解：， ，； 由折叠的性质得到， ； ， ， ． 故选A． 50．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则应为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠问题等知识点，掌握平行的性质是解题的关键． 根据平行线的性质和翻折的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴． 故选：A． 51．（2024·四川成都·模拟预测）如图，将矩形纸片沿折叠后，点C，D分别落在点，，的延长线交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠性质、平行线的性质．根据矩形性质和平行线性质得到，再根据折叠性质得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ， 在矩形中，， ，， 由折叠的性质可知﹐， ， 故选：B． 52．（2024·山西晋城·三模）如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角和、折叠的性质，熟练掌握正六边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和公式可求出，再根据折叠的性质可得，，然后根据四边形的内角和求出，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是正六边形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 故选：C． 53．（2024·安徽合肥·三模）已知中，，，将沿翻折，点的对应点为，交于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质等；由平行四边形的性质得，，从而可得，由由翻折得：，即可求解；掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 由翻折得： ， ， ； 故选：C 54．（2024·山东济宁·三模）如图，中，，，D点在边上运动（D与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点E．若是等腰三角形，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：将沿翻折至处， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ， 当，则，这种情况不存在， 故选：A． 55．（2024·重庆·三模）如图，四边形为一矩形纸带，点、分别在边、上，将纸带沿折叠，点、的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题中求角度，角的和差，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质求的度数，再根据平行线的性质求的度数． 【详解】∵， ∴， ∵将纸带沿折叠，点的对应点分别为， ∴， ∵纸带的两边是平行的，即， ∴， 故选：B． 56．（2024·四川广元·一模）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在边上，连接，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，使点A落在直线上的点处，得折痕．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠性质，角度运算等．根据题意可得，，利用平角相加等于即可得到本题答案． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 57．（2024·河南驻马店·三模）如图，在正方形中，点E为边的中点，将沿折叠，使点D 落在正方形 的内部一点F处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 58．（2024·河北石家庄·一模）如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题重点考查垂直的定义、轴对称的性质、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出的度数是解题的关键． 分两种情况讨论，一是，且点与点在直线的异侧，由折叠得，则，求得，则；二是，且点与点在直线的同侧，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，，且点与点在直线的异侧， 由折叠得， ，且， ， ， ， ； 如图2，，且点与点在直线的同侧， ∵，且， ， ， ， 综上所述，或，       故选A ►类型5 求比值 59．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 60．（2024·安徽淮南·二模）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上， ∴， 在中，由勾股定理有：， 即， 整理得出， 则， 故选：B． 61．（2024·山东济宁·二模）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设就有设 根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠可知：与关于对称， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 故选：C． 62．（2024·浙江宁波·一模）将正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些性质．过点作于点，过点作于点，根据题意得：每个被剪掉的小三角形（如）的面积占大三角形（如）面积的，设，可得，，由，可推出，根据三角形的面积关系求出，进而求出、，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由折叠的性质知，被剪掉的个小三角形完全相同， 剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的， 每个被剪掉的小三角形（如）的面积占大三角形（如）面积的， 设， 则，， ，， ， ，， ， 或（舍去）， ，， ，， 由勾股定理得：，即， ， ， 故选：A． 63．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，根据平行四边形的性质可得，，在中，设，则，根据勾股定理求出，得到，，，推出，由折叠可得，和均为等腰直角三角形，根据三角函数并结合，需求出的长，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， 在中，设， ， ， 又，即， 解得：（负值舍去）， ，，， 是等腰直角三角形， ，， 由折叠可知，， 和均为等腰直角三角形， 又， ，， ， ， 同理， ． 故选：B． 64．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点A为圆心，长为半径作弧交于点与相交于点，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，延长，交于点，设，则，先计算出，则表示出，由平行得到，利用比例式求出比值． 【详解】解：延长，交于点， 矩形， ，，，， ，为中点， 设， 则， 在 中，， 由题意得：， 则， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 65．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点是的半径上一点，将扇形沿折叠，使弧恰好经过圆心，其中点的对应点是，若，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质．过点作并延长交于点，设扇形的半径为，根据折叠的性质得出，，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，根据角的和差求出，根据等腰直角三角形的判定与性质求出，根据线段的和差求出，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作并延长交于点， 设扇形的半径为， 由折叠的性质可得，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 66．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，推出，设，，则，，，证明，得出，证明，得出，推出，，从而得出，，求出得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键． 67．（2024·内蒙古·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基本作图，等腰直角三角形的性质及勾股定理应用等知识，根据尺规作图可得，是的平分线，可证明得，根据直角三角形的性质可得，可推出，进而求出结论． 【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， 故选：C． 68．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为．如图，在中，，平分交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、分母有理化和角平分线的性质．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，设，则，进一步可得，结合计算即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， 故选：C． 69．（2024·浙江·模拟预测）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形．正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．连接，设，则是，则，则， 可得，最后可得答案． 【详解】解：如图，连接， 点是正方形的中心， 过点， 过点， 点在上， 设，则是，则， ， ， ，， ． 故选：B 70．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 71．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：    则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$