专题01 阅读材料题（双空题精选）-备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）

题型01 阅读材料题（双空题精选） 【类型1 因式分解】 1 【类型2 有理数的混合运算】 12 【类型3 函数】 27 【类型4 方程】 33 ►类型1 因式分解 1．（2024·重庆·模拟预测）一个四位正整数N，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4621满足，，则4621是“间倍数”．最小的“间倍数”是 ；已知“间倍数”且n，a，b均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”N都能被3整除，当时，符合题意的最大“间倍数”N为 ． 2．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 4．（2024·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ． 5．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ． 7．（2024·重庆九龙坡·三模）如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ． 8.（2024·重庆·二模）若一个四位自然数，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数为“活泼数”，例如，因为，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数为“可爱数”，例如1425，因为，，故1425是一个“可爱数”．对于一个“活泼数”，规定：，对于一个“可爱数”，规定：，则 ；当的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数的和是 ． 9．（2024·重庆沙坪坝·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ． 10．（2024·重庆大渡口·二模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是 ；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是 ． 11．（2024·重庆·模拟预测）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为 ；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时， ． ►类型2 有理数的混合运算 12．（2024·重庆潼南·模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设为一个差倍数，将的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与相加的和与11的商记为．例如：8612是“差倍数”，则，已知差倍数（，且为整数），则 ；四位数是一个差倍数，且千位数字满足，是7的整数倍，则满足条件的的最大值为 13．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为 ；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为 ． 14．（2024·重庆·模拟预测）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为．例如：852是“开合数”，则． 已知开合数（，且为x整数），则 ； 若三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且能被个位数字与百位数字的差整除，则 ． 15．（2024·重庆开州·二模）一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n.把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算 ；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且被11除余7，，则满足条件的所有s的和为 . 16．（2024·重庆渝北·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则 ， 定义， 若能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条件的M 的值为 ． 17．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记． 若p是一个“步步高升数”，则的最大值为 ，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为 ． 18．（2024·重庆·模拟预测）100岁被称为期颐之年，这个称呼来源于《礼记・曲礼上》中的“百年日期颐”．现规定：一个正四位数各数位上的数字均不为0，若去掉十位和个位后组成的两位数与去掉千位和百位后组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“期颐数”，例如：四位数2377，∵，∴2377是“期颐数”；又例如：四位数3684，∵，∴3684不是“期颐数”，则能被2整除的“期颐数”共有 个；对于“期颐数”m，若将千位与百位交换，十位与个位交换，得到另一个四位数，则．若四位数为“期颐数”，其中，则四位数A为 ． 19．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为0．且满足|−|．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；如果将一个“双顺数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数，并且规定：．若是整数，则符合条件的M的最小值是 ． 20．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“一生一世数”．如：四位数，∵，，∴是“一生一世”；四位数，∵，∴不是“一生一世数”，则最大的“一生一世数”为 ．若一个四位数是“一生一世数”，且，，若能被整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 21．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”． 例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“n喜数”，因为．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ． 22．（2024·四川成都·模拟预测）定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“契合数”．例如：四位数，，是“契合数”，则最小的“契合数”为 ；若一个“契合数”满足的和能被7整除，则满足条件的最大的“契合数”为 ． 23．（2024·重庆·模拟预测）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被整除，则满足条件的数的最小值是 ． 24．（2024·重庆·一模）一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果四位自然数（，且为整数）是一个“奋进数”，则 （用含的代数式表示），另外规定等于的前两位数字之和．如果是一个“奋进数”，为偶数，且（为整数），则满足条件的的最小值是 ． 25．（2024·重庆·一模）对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大，则称这个四位数根为“差双数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“差双数”， ；，， 不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 ；已知M，N均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，已知能被整除，且为整数，则满足条件的所有的的值之和为 ． 26．（2024·重庆·一模）一个四位自然数m各个数位上的数字均不相等且不为零，若m满足百位数字与十位数字之和恰好是千位数字和个位数字之和的倍，则称这个四位数为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若，则 ；在此条件下，记，若除以余数是，则满足条件的值为 ． ►类型3 函数 27．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 29．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题： （1）若，则此二次函数上的“相反点”为 ． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为 ． 30．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 31．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 32．（2024·重庆·一模）若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是 ；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为 ． ►类型4 方程 33．（2024·重庆大渡口·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 . 34．（2024·重庆江津·三模）一个四位正整数（各个数位均不为0），它的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个数为“说一不二数”．例如3253、6597都是“说一不二数”，将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，．（1）最小的“说一不二数”为 ， （2）若T为“说一不二数”，且T能被13整除，则满足条件的所有T中，之和为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型01 阅读材料题（双空题精选） 【类型1 因式分解】 1 【类型2 有理数的混合运算】 12 【类型3 函数】 27 【类型4 方程】 33 ►类型1 因式分解 1．（2024·重庆·模拟预测）一个四位正整数N，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4621满足，，则4621是“间倍数”．最小的“间倍数”是 ；已知“间倍数”且n，a，b均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”N都能被3整除，当时，符合题意的最大“间倍数”N为 ． 【答案】 2613 6834 【分析】本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，根据定义可得2为1的倍数，千位不能为0，则千位为2，十位为1，各个位上数字均不相同，则个位为3，百位为6，即可求解；根据题意求得，根据整除求得或5或8，再根据，分类求得a、b的值，结合定义，分类讨论求解即可． 【详解】解：2为1的倍数，千位不能为0，则千位为2，十位为1， ∵各个位上数字均不相同， 则个位为3，百位为6， ∴最小的“间倍数”是2613， 故答案为：2613； ∵ ∵无论两位数是什么数，“间倍数”N都能被3整除， ∴能被3整除， ∴或5或8， ∵， 当时，， 则， ∴两位数、32、43、54、65、76、87、98， ∵N为四位数， ∴两位数、32、43， 当时，、6432、8643，其中4221中的数字2重复，不是“间倍数”， 当时，两位数，不是四位数， 当时，不存在“间倍数” 当时，， 则， ∴两位数、23、24， 当时，、4623、6834，其中2412中数字2重复，不是“间倍数”， 当时，两位数，，存在0，不是“间倍数”， 当时，两位数，此时，非数字为倍数关系故舍去， 综上所述，所以符合题意的“间倍数”N为6432、8643、4623、6834， ∴符合题意的最大“间倍数”N为6834， 故答案为：6834． 2．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】答题空1：根据“珊瑚数”和“明佳数”的定义，以及M是最大“珊瑚数”可得M和N的值，进而可求得的值； 答题空2：根据题意可得，，进而可得，由能被13整除，可得能被13整除．结合s和m 的范围，以及s、m都是正整数，即可求出m的值．进而可得P的值及P的“明佳数”的值，再求出的值，即可得的最小值． 本题考查了新定义运算，因式分解，求二元一次方程的特殊解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意， ∵M是最大“珊瑚数”， ∴，， ． 故答案为：10． ∵P、是“珊瑚数”，且 P的千位数字为m，十位数字为8， ∴P的百位数字为，个位数字为9， ． ∵Q是“珊瑚数”，且Q的百位数字为5，十位数字为s， ∴ Q的千位数字为4，个位数字为， ． ． ∵能被13整除，且52能被13整除， ∴能被13整除， ∵，， ∴， ∴． ∵m、n都是正整数，且， ∴或． 当时，， 则P的“明佳数”为4895， 则； 当时，， 则P的“明佳数”为5896， 则． ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程-公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义． (为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ， ， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ， ∵为正奇数， ∴为整数， ∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数， ， ∵ ∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数 ∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ， ∴当时，的最大值是485， ∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 4．（2024·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ． 【答案】 26 589 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键在于读懂题意，理解新定义．令，，，，，是平方优数，且，由题可知，最小的平分优数为11，即，由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设，即，为100的倍数，则，求解即可． 【详解】解：令，，，，，是平方优数，且， 由题可知，最小的平分优数为11，即， 由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 即， ， 是平方优数，则的十位数字比个位大1， 为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ， 即是平方优数，同理，，，，是平方优数， 根据定义可得：，，，， ．，，， ，，， ． 故答案为：26，589． 5．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，一元二方程的求根公式． （1）根据，n为正整数，代入计算即可； （2）根据（ n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，n为正整数， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． ∵， ∴5是“智慧数”， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 综上所述，5是“智慧数”， （2）∵（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为， ∴， ∴， 利用求根公式得：或（舍）， ∴当为正奇数时，n为“智慧数”， ∵ ， ∴ ∵m为正奇数， ∴m为整数， ∴也必须为整数， 令， ∴， ∵， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴“智慧数”n的最大值为485． 故答案为：485． 6．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ． 【答案】 140 158404 【分析】本题考查因式分解的应用、数字变化类，设，，则，可得要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方，设，则，根据所求计算即可． 【详解】解：设，，n为大于0的自然数，则， ∴要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方， 设， ∵n为大于0的自然数， ∴是一个奇数， ∴k为奇数， ∴ ∴当时，（第1个“双方数”）； 当时，（第2个“双方数”）； 当时，（第3个“双方数”）. ∴前3个“双方数”的和为， 根据以上规律，当M是第100个“双方数”时，，此时． 故答案为140，158404． 7．（2024·重庆九龙坡·三模）如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ． 【答案】 30 15078 【分析】本题考查了因式分解的应用、一元一次方程等相关内容，关键在于理解“同城数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据同城数的定义，，，是整数，整理化简即可求解出满足条件的所有的值． 【详解】解：根据题意，； 因为 是“同城数”，所以，， ， 整理化简得，， 所以，是8的倍数； 那么、可能的取值为，；或，；或，； 满足条件的所有的值为：1741、6214、7123，它们的和为：． 故答案为：30；15078． 8.（2024·重庆·二模）若一个四位自然数，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数为“活泼数”，例如，因为，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数为“可爱数”，例如1425，因为，，故1425是一个“可爱数”．对于一个“活泼数”，规定：，对于一个“可爱数”，规定：，则 ；当的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数的和是 ． 【答案】 12 6905 【分析】本题考查因式分解及新定义的运算，理解定义是解决问题的关键．根据题意即可求得的值，结合“活泼数”，“可爱数”，百位数字为4，可得是整数，可知，3，6，根据“可爱数”可知只有符合题意，进而可得是整数，得，即或，求得，得值，结合“活泼数”定义及条件为奇数即可求得所有得满足条件的奇数四位数的和． 【详解】解：由题意可得： ∵“活泼数”，则， ∴ ， 则， ∵“可爱数”，百位数字为4，则，， ∴， ∵是整数， ，3，6， 当时，，则，，不符题意，舍去； 当时，，则，，，符合题意； 当时，，则，不符题意，舍去； 是整数， ， 或， 当时，；； 或（偶数，不符题意，舍去）； 当时，； 或（偶数，不符题意，舍去）或， 故答案为：12，6905． 9．（2024·重庆沙坪坝·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数”的概念． 根据“跳跃数”的概念列出关于m的方程解答即可，设满足条件的“跳跃数”的最大值是，根据“跳跃数”的概念得出，再根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，即可得出答案． 【详解】解：是“跳跃数”， ， 解得：， 这个数为； 设满足条件的“跳跃数”的最大值是， ， ， b，c，d是中的整数， ，， 满足条件的“跳跃数”的最大值是， 前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，且， 是7的倍数， ， 是7的倍数， c最大为6， ， 满足条件的“跳跃数”的最大值是． 故答案为：，． 10．（2024·重庆大渡口·二模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是 ；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是 ． 【答案】 213 978 【分析】本题考查了因式分解，掌握“义渡数”是解题关键． 由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213．由，又得，结合，分类讨论即可． 【详解】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213， 故答案为：213． ， ， ， ， ， 当时，，若最大，则， 当时，，若最大，则， 当时，，若最大，则， 的最大是978． 故答案为：978． 11．（2024·重庆·模拟预测）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为 ；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时， ． 【答案】 1881 12342 【分析】此题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题的关键： 根据题意可得，由于能被7整除，则是7的倍数，即可得到a，b的值；同理可得，因为，得到 ，分类讨论即可． 【详解】解：“对称数”， 则， ∴ ∵能被7整除，A最小，各数位上的数字不完全相同且均不为0， ∴是7的倍数且，， ∴的最小值为， ∴， ∴A的最小值是1881； ∵的最大值为7， ∴当时，A的最大值为9229； ∵“对称数”， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵k为正整数， ∴， ∴或， 当时，n可取0,1,2,3,4，故m应为1，3，5，7，9； 当时，n可取0,1，故m应为7,9； ∵ ， ∴要使取得最大值，a与b尽可能大，m与n尽可能小，尤其是a与m， ∴A最大为9229，B最小为3113， ∴， 故答案为：1881，12342． ►类型2 有理数的混合运算 12．（2024·重庆潼南·模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设为一个差倍数，将的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与相加的和与11的商记为．例如：8612是“差倍数”，则，已知差倍数（，且为整数），则 ；四位数是一个差倍数，且千位数字满足，是7的整数倍，则满足条件的的最大值为 【答案】 608 3974 【分析】本题考查了整式的加减与阅读理解，设差倍数千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，根据差倍数的概念得，由可得，求出，得，可求出；根据A差倍数，且A为最大数时，，从而可得A的最大数 【详解】解：设差倍数千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，且 根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四位数是一个差倍数，且千位数字满足， 当时， ∴， 当时，，所以，，，不是整数，故不符合题意； 当时，，所以，，，不是整数，故不符合题意； 当时，，所以，，，是整数； ∴的最大值为3974 故答案为：608；3974 13．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为 ；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 7629 6174 【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题的关键．由为“逢双数”，得，即可求解；设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，得，由∵能被4整除，可知能被4整除，进而求得，即可得的最大值，最小值，即可求解． 【详解】解：∵为“逢双数”， ∴，解得：， 即：这个数为7629； 设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故，， =， ∵能被4整除， ∴， ∴能被4整除， 当时，或； 当时，或； 当时，或； ∵ ∴，时，m取得最大值，且为； ∴，时，m取得最小值，且为； 故最大值与最小值的差为：； 故答案为：． 14．（2024·重庆·模拟预测）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为．例如：852是“开合数”，则． 已知开合数（，且为x整数），则 ； 若三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且能被个位数字与百位数字的差整除，则 ． 【答案】 444 或或 【分析】本题考查了一种新的定义的实数运算，整式混合运算的应用，解题关键是快速学习题干中的新定义运算，并转化为我们熟悉的数学模型进行分析求解．观察m的特点可知m对应的三位数，个位为3，十位为x，百位为1，然后根据“开合数”特点，求解出x的值，最后求的的值；设这个三位数为：，根据可推导求解出b的值；再根据能被个位数字和百位数字的差整除和这两个条件，可得到a、c的值即可． 【详解】解：∵三位数A是一个“开合数”， ∴， ∴， 设(，，，，均为整数) ∴ ∴ ∵是一个整数， ∴，即， ， 又∵能被个位数字和百位数字的差整除 ∴为整数， ∴为2或4或6或8， 又∵， 则，或，或，或， 解得，或，或，或（不符合题意舍去）， 故或345或147． 15．（2024·重庆开州·二模）一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n.把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算 ；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且被11除余7，，则满足条件的所有s的和为 . 【答案】 183 【分析】本题属于新定义题型，偏难，由题意可得：，，可计算，设，，可得，，进而可得，可确定值，再由被11除余7，分当时，，和当时，，计算即可．根据题意正确理解“相异数”是解决本题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， 设，， ， ， 同理， ， 即， ， 或， 被11除余7， 当时，，， 当商为1时，， ， 当商为2时，， （舍， 当商为3时，， （舍， 当商为4时，， （舍， 当商为5时，， （舍， 当商大于等于6，即时，（舍， 当时，，， 当商为1时，， ， 当商为2时，， （舍， 当商为3时，， （舍， 当商为4时，， （舍， 当商为5时，， （舍， 当商为6时，， （舍， 当商大于等于7，即时，（舍， 综上所述：，，或，，， 或， 即满足条件的所有s的和为：． 故答案为：，183． 16．（2024·重庆渝北·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则 ， 定义， 若能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条件的M 的值为 ． 【答案】 15 7882 【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．利用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最后得出满足条件的M的值． 【详解】解：根据题意得，， 变形得，，为10的倍数． ∵， ∴， 为10的倍数，故． ∴，可求得． ∵能被17整除， 可设（N为整数）． 又，， 将变形得： ， 即， （N为整数）， ∵17与3互质， ∴必是17的整数倍． ∵，a、c均为正整数， ∴，即， 是17的整数倍，故或． 以下分两种情况讨论： 当时，则， ， 符合条件的a、c有或或， 当时，， ， （不符合题意，舍去）； 当时， ， ， （不符合题意，舍去）； 当时， ， ， （不符合题意，舍去）； 当时，则， ， 符合条件的a、b有或或， 当时，， ， 无解（不符合题意，舍去）； 当时， ， ， 无解（不符合题意，舍去）； 当时， ， ， （符合题意）； 综上，符合题意的只有． 依据题意可知， ， 因此，满足条件的M值只有， 故答案为：15，7882． 17．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记． 若p是一个“步步高升数”，则的最大值为 ，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了实数的新定义运算，求一个数的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示和，结合，得出，因为是一个完全平方数，得出，最后根据p是3的倍数，列式计算即可作答． 【详解】解：依题意，p是一个“步步高升数”，设这个“步步高升数”为 ∴将“步步高升数”的个位与百位交换得到 ∵ ∴ 则 ∵，且都是正整数 ∴则的最大值为 ∵是一个完全平方数 ∴ ∵，且都是正整数 ∴都舍去 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ ∵一个“步步高升数”p是3的倍数， ∴ ∴ ∴满足条件的p的平均值为 故答案为：8， 18．（2024·重庆·模拟预测）100岁被称为期颐之年，这个称呼来源于《礼记・曲礼上》中的“百年日期颐”．现规定：一个正四位数各数位上的数字均不为0，若去掉十位和个位后组成的两位数与去掉千位和百位后组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“期颐数”，例如：四位数2377，∵，∴2377是“期颐数”；又例如：四位数3684，∵，∴3684不是“期颐数”，则能被2整除的“期颐数”共有 个；对于“期颐数”m，若将千位与百位交换，十位与个位交换，得到另一个四位数，则．若四位数为“期颐数”，其中，则四位数A为 ． 【答案】 36个 6139 【分析】能被2整除的数特点是个位数字为2，4，6，8，0，能被2整除的“期颐数”特点是个位数字为2，4，6，8，分类计算即可；根据为“期颐数”，得到即，根据，得，解答即可． 本题考查了新定义数，正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：能被2整除的数特点是个位数字为2，4，6，8，0， 能被2整除的“期颐数”特点是个位数字为2，4，6，8， 当个位数字是2时，十位数字为，这样的“期颐数”有9个； 当个位数字是4时，十位数字为，这样的“期颐数”有9个； 当个位数字是6时，十位数字为，这样的“期颐数”有9个； 当个位数字是8时，十位数字为，这样的“期颐数”有9个； 故一共有36个， 故答案为：36； ∵为“期颐数”， ∴即， ∵， ∴， 解得， 故这个“期颐数”为6139． 故答案为：6139． 19．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为0．且满足|−|．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；如果将一个“双顺数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数，并且规定：．若是整数，则符合条件的M的最小值是 ． 【答案】 9933 1682 【分析】此题考查学生数的表示方法及数学推理能力，解题的关键是根据题意确定出是7的倍数的数98．一个四位数尝试最大时尝试千位数和百位数字是9，根据可得个位，十位上数字为3，因此最大的“双顺数”是9933．用、、、表示出和，互换位置后两数是7的倍数，，可推断出的最小值为1682． 【详解】解：由题意，当，时，，此时这个四位数是9933． 故最大的“双顺数”是为9933．因为，不妨设，则这个四位数各位上数为，，，， ，当千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数， 所以， 因为可得， 又是7的倍数， 所以可推出的值为98 则， 可得， 因此，，． 所以， 故的最小值为1682． 故答案为：9933、1682． 20．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“一生一世数”．如：四位数，∵，，∴是“一生一世”；四位数，∵，∴不是“一生一世数”，则最大的“一生一世数”为 ．若一个四位数是“一生一世数”，且，，若能被整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了新定义问题，由题意得，，则， 故，然后分情况讨论即可根据题意列出代数式，利用条件进行化简是解题的关键． 【详解】由题意知，千位比十位少，百位比个位多， 则千位数字最大为， 此时十位数字为，要数最大则百位数字为，此时个位数字为， ∴最大的“一生一世数”为， 由“一生一世数”可知，，， ∵，，，， ∴，， ∴， 则， ∵能被整除， ∴当时，四位数为：，，，，，，都不能被整除， ∴不符合题意； 当时，四位数为：，，，，，， ∴其中符合能被整除， ∴最大值为：， 当，四位数为：，，，，，， ∴其中符合能被整除， 最小值为：， ∴差值为， 故答案为：，． 21．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”． 例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“n喜数”，因为．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ． 【答案】 不是 84 【分析】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论； （2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出，即可得出数值，然后求和即可． 【详解】解：（1）因为，所以44不是一个“n喜数”； 故答案为：不是； （2）设存在“7喜数”其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数）， 由定义可知：， 化简得：， 因为a，b为1到9的自然数， ∴，；，；，；，．四种情况， ∴“7喜数”最大的是84． 故答案为：84． 22．（2024·四川成都·模拟预测）定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“契合数”．例如：四位数，，是“契合数”，则最小的“契合数”为 ；若一个“契合数”满足的和能被7整除，则满足条件的最大的“契合数”为 ． 【答案】 1211 9688 【分析】本题考查新定义运算、代数式求值，（1）由题意得，，即，当，，时，需，才符合题意，即可求最小的“契合数”； （2）由题意得，，可得，由的和能被7整除，即能被7整除，可得该四位自然数最大时满足，，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当，，时，， ∴，不符合题意， 当，，时，， ∴，不符合四位自然数的要求， 当，，时，， ∴， ∴最小的“契合数”为1211； ∵，， ∴， ∵的和能被7整除， ∴， ∴能被7整除， ∴当时，， ∴该四位自然数最大时满足，， 把，代入，得， 此时，，， ∴满足条件的最大的“契合数”为9688， 故答案为：1211，9688． 23．（2024·重庆·模拟预测）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被整除，则满足条件的数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据“差中数”的定义计算即可求解，理解“差中数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵为整数，， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵自然数是“差中数”， ∴， ∴， ∵“差中数”能被整除， ∴或， 当时，， ∵为整数，且各数位上的数字互不相等， ∴该种情况不存在； 当时，， ∵为整数，且各数位上的数字互不相等， ∴或或， ∴满足条件的数的最小值是； 故答案为：，． 24．（2024·重庆·一模）一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果四位自然数（，且为整数）是一个“奋进数”，则 （用含的代数式表示），另外规定等于的前两位数字之和．如果是一个“奋进数”，为偶数，且（为整数），则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 5941 【分析】由新定义可得，结合进行计算即可得到答案；再设，且为偶数，可得同奇同偶，，结合，利用，，可得，由同奇同偶，且最小，可得必须最小；再进一步求解即可． 【详解】解：∵，是奋进数， ∴，，， ∴， ， 设，且为偶数， ∴同奇同偶，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵同奇同偶，且最小， ∴必须最小； 当时，，舍去， 当时，， ∴，则，此时，不符合题意，舍去， 当时，则， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，则， 当时，，，不符合题意，舍去， 当时，，则，不符合题意，舍去， 当时，则， 此时，都不符合题意； 当时，则，此时符合题意， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； 【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算的应用，三元方程的应用，方程正整数解的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 25．（2024·重庆·一模）对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大，则称这个四位数根为“差双数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“差双数”， ；，， 不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 ；已知M，N均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，已知能被整除，且为整数，则满足条件的所有的的值之和为 ． 【答案】 【分析】根据“差双数”的定义可得的值为，；根据，可得和的另一个关系，进而求得和的值，即可求得差双数”；判断出和的各个数位上的数字，根据它们都是“差双数”得的各个数位上的数字的关系，得到和并化简，根据能被整除，且为整数，得到可能的各个数位上的数字，计算得到所有的，相加即可． 【详解】解：与都是“差双数” ， ， 即 则为：． ，均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数， 即 ， 能被整除， 即是整数， 又是整数， ，且为整数，是整数， 或或． 当时，为整数 或； 当时，为整数，不存在； 当时，为整数，不存在； ①，． ， ． ，， ，或，． 当，时，此时，即，符合题意； 当，时，此时，即，不符合题意； ． ②，． ， ． ，， ，或， 当，时，此时，即，不符合题意； 当时，此时，即，符合题意； ． 满足条件的所有的的值之和为：． 故答案为：，． 26．（2024·重庆·一模）一个四位自然数m各个数位上的数字均不相等且不为零，若m满足百位数字与十位数字之和恰好是千位数字和个位数字之和的倍，则称这个四位数为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若，则 ；在此条件下，记，若除以余数是，则满足条件的值为 ． 【答案】 4 3621 【分析】此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出；是解题的关键． 根据定义得到，进一步得到，从而可求得，；由，及除以余数是，得是的倍数，进一步即可得到答案， 【详解】解：为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 除以余数是， ∴是的倍数， 四位自然数m，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，各个数位上的数字均不相等且不为零， 由，，， ，，且为正整数， ， b、c有以下情况： ①，， 不是的倍数舍去， ②，，是的倍数，且余数为3，符合题意， ③，，与矛盾，舍去， ④，，重复，舍去， ⑤，，与矛盾，舍去， ⑥，，不是的倍数舍去， ⑦，，不是的倍数舍去， ∴综上所述：，，，， ∴的值为3621． 故答案为：4，3621 ►类型3 函数 27．（2024·四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式等知识，分别求出，，到线段最短距离，然后根据“附庸点”定义判断即可；设，，不妨设，根据可求出，，则M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1，由直线上存在线段的“附庸点”M，N，得出M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1，然后求出分别经过，时，对应b的值即可求解． 【详解】解：∵、， ∴到线段最短距离为， 到线段最短距离为， 到线段最短距离为， ∴线段的“附庸点”是，； 设，，不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1， ∵直线上存在线段的“附庸点”M，N， ∴M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1， ∴当直线经过时，b取最大值，此时，∴； 当直线经过时，b取最小值，此时，∴； ∴b的取值范围为． 故答案为：，；． 28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 【答案】 ③ 或 【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取时，，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）①中， 时，， 不存在“近轴点”； ②， 由对称性，当时，， 不存在“近轴点”； ③， 时，， ∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③ 故答案为：③； （2）中， 时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴， ∴； 当直线过时，， ∴， ∴； ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 29．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题： （1）若，则此二次函数上的“相反点”为 ． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的图像与系数的关系，熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上，将与联立成方程组，即可求解； （2）根据题意可知，方程，在内存在两个不相等的实数根，根据一元二次方程根即可求解． 【详解】解：（1）当时，二次函数的解析式为， 根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上， 联立， 解得：， 此二次函数上的“相反点”为， 故答案为：； （2）在的范围内，此二次函数图像上存在两个“相反点”， 方程，即在内存在两个不相等的实数根， ， 解得：， 解方程可得：，， ，且， ， 即， 解得：， 此时，满足要求， 的取值范围是， 故答案为：． 30．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则， 整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴， 整理得， ∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得； ，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为：①③④． 31．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 32．（2024·重庆·一模）若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是 ；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 190 5510 【分析】本题考查因式分解的应用，二次函数的应用，根据被3整除数的规律确定n的取值是解题的关键．设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是，个位数是n，列出的代数式，当，时，最小，根据二次函数的性质求解即可；同理，中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，N的各位数字之和是，由N能被3整除，可知或或；再由N能被7整除，进一步确定m的值即可． 【详解】解：设的十位数是，个位数是，则的十位数是，个位数是， 则， 当时，， 此时，， 为正整数， 当时，最小，最小值为； 同理，中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N， 的各位数字之和是． 各个数位上的数字之和能被整除， 或或 当时，， ，能被整除， ； 当时，， ，能被整除， ， ； 当时，， ，能被整除， ， ； 综上所述：满足条件的有和和， ， M的最大值为， 故答案为：190；． ►类型4 方程 33．（2024·重庆大渡口·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用和数的整除，读懂题意是解题的关键． ①根据定义列出方程即可求出m； ②先根据数的特征设千位为9，再根据“差中根据各数”的特征求出位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可． 【详解】解：①为“差中数”， ， ， ∴这个数为； ②设满足条件的四位自然数是， 又是差中数， ，即， 故或， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，，，， 当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9174，能被11整除， ∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174， 故答案为：5138，9174． 34．（2024·重庆江津·三模）一个四位正整数（各个数位均不为0），它的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个数为“说一不二数”．例如3253、6597都是“说一不二数”，将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，．（1）最小的“说一不二数”为 ， （2）若T为“说一不二数”，且T能被13整除，则满足条件的所有T中，之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减； （1）根据题意，得出千位数字为2，则百位数字为，十位数字为，个位数为 （2）设，根据T能被13整除，得出能被整除，进而根据二元一次方程的整数解，逐个验证，即可求解． 【详解】解：（1）一个四位正整数（各个数位均不为0），千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2， 要使得这个数最小，则千位数字为2，则百位数字为，十位数字为，个位数为 则这个最小的“一干二净数”为， 故答案为：． （2）设 ∵T能被13整除， ∴能被整除， 且 当时，无整数解， 当时， 当，， 当，， 当时，无整数解， 当时, 当，， 当， 当时，无整数解， 当时，，不合题意， 综上所述，的值有，它们的和为。 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$