1.4二次函数与一元二次方程的联系（教学课件）数学湘教版九年级下册

1.4 二次函数与一元二次方程的联系 主讲： 湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数 学习目标 目标 1 目标 2 1. 理解二次函数的图象与x轴的交点，与一元二次方程的根的关系； 2. 会用根的判别式判断二次函数图象与x轴的交点情况； 3. 能用二次函数的图象求一元二次方程的根的估计值； 目标 3 自学指导 阅读教材P24-27。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P24的探究,理解二次函数的图象与x轴的交点，与一元二次方程的根的关系。 2、看P24的动脑筋， 掌握根的判别式和二次函数图象与x轴的交点情况的关系。 3、看P25的例1，会用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值，并掌握做题的格式与步骤。 4、看P26-27的例2，能利用二次函数与一元二次方程的联系解决实际问题，并掌握做题的格式与步骤。 探究新知 探究 画出二次函数y=2x²-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？ 二次函数y=2x²-2x-3与一元二次方程2x²-2x-3=0有怎样的关系？ . . （2）抛物线与x轴有几个公共点？公共点的坐标分别是什么？ 观察抛物线y=x2-2x-3，思考下面的问题： （1）一元二次方程x2-2x-3=0有没有根？如果有根，它的根是什么？ 抛物线与x轴有两个公共点（-1,0)，（3,0）. 一元二次方程x2-2x-3=0的根是x1=-1,x2=3， （3）当x取何值时，函数y=x2-2x-3的值是0？ 当x=-1,x=3时，函数y的值是0.即x2-2x-3=0。 （4）一元二次方程x2-2x-3=0的根和抛物线y=x2-2x-3与x轴的公共点的横坐标有什么关系？ . . 相等 一般地，如果二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点(x₁，0)，(x₂，0)，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根：x=x₁，x=x₂.反之亦成立. 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点 二次方程ax2+bx+c=0 有实根 转化为 转化为 探究新知 动脑筋 观察二次函数，，分别说出一元二次方程=0和的根的情况. 二次函数的图象与轴有重合的两个交点，其坐标都是(3，0)，而一元二次方程=0有两个相等的实数根， 二次函数的图象与轴没有交点，而一元二次方程=0没有实数根 . 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个交点 有两个相异的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0 说明：a≠0 7 例1 例题讲解 求一元二次方程x²-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1) 分析：一元二次方程 的根就是：抛物线 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 作出二次函数 的图象，可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1与0之间,另一个在2与3之间. 通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数根为x1≈ -0.4，x2 ≈ 2.4 还可以用等分计算的方法 确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4. 说一说：如何利用二次函数求一元二次方程的实数根？ ①根据一元二次方程设对应的二次函数； ②画出这个二次函数的图象； ③找出二次函数的图象与与x轴的两个交点； ④通过观察或度量，估计交点的横坐标的数值，得出一元二次方程的根的估计值. 我们还可以取x的一些值，用计算器计算函数值，来确定一元二次的根.（比较繁琐，因此一般不采用此方法） 例题讲解 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. (1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2)铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ (3)铅球离地面的高度能否达到3m，为什么？ 例2 例题讲解 (1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ 解 (1)由抛物线的表达式得 即 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m. 解得 1，5 . 例题讲解 (2)铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ 由抛物线的表达式得 即 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m. 解得 3 . 例题讲解 (3)铅球离地面的高度能否达到3m，为什么？ 由抛物线的表达式得 即 所以铅球离地面的高度不能超过3m. 因为Δ=(-6)²-4×1×14=-20＜0，所以方程无实数根. 例题讲解 如何利用一元二次方程求二次函数中的自变量的值？ 从例2可以看出，已知二次函数y=ax²+bx+c的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax²+bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了。 例题讲解 基础检测 C 基础检测 C 3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定 C 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 4.根据下列表格的对应值: 基础检测 17 5．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ； -1 y O x 1 3 6.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 . (-2，0) ( ，0) 基础检测 18 7.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程 ax2+bx+c =0根的情况是( ) A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D 没有实数根 x y O 1 2 D -3 基础检测 19 一展身手 1. 试判断下列抛物线与x轴的交点情况： (1) ； (2)； (3). 解：(1)∵Δ=(﹣2)²－4×1×(﹣2)=4+8=12＞0， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点 (2)∵Δ=12²－4×9×4=144-144=0， ∴抛物线与x轴有一个交点 (3)∵Δ=（-2）²－4×1×3=4-12=-8< 0， ∴抛物线与x轴没有交点 一展身手 2. 用图象法求一元二次方程=0的根的近似值(精确到0.1). 提示：先设二次函数，再求出它的顶点坐标、对称轴，然后列表取值，画出函数的图象，最后通过观察或测量图象与x轴的交点数值，确定方程=0的根的近似值 . 3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x(月份)之间的函数关系。试根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) 该公司亏损期是几个月？几月末开始盈利？ (2) 求截止到几月末公司累积利润达到30万元？ (3) 该公司第8月末所获利润是多少？ 一展身手 解：(1) 该公司亏损期是4个月，4月末开始盈利. 因此截止到10月末公司累积利润可达到30万元. 即 x²-4x-60=0 (2) 当y=30时，有 解得 x1=10，x2=-6(不合题意). (3)该公司第8月末所获利润为×8=16万元 . 一展身手 挑战自我 1、 已知二次函数y=x2 +(2m+1)x+m2 的图像与x轴有两个不同的交点． (1)求m的取值范围； (2)当这两个不同的交点的横坐标的平方和为7时, 求m的值. 解: (1)∵函数图像与x轴有两个不同的交点, ∴b2 -4ac>0, 即(2m+1)2 -4m2 =4m+1>0, ∴m> . (2)设函数图像与x轴的两个不同的交点的横坐标为x1 , x2 , 则x1 +x2 =-2m-1, x1 x2 =m2 .∵x21 +x22 =7,∴(x1 +x2 )2 -2x1 x2 =7, ∴(-2m-1)2 -2m 2 =7,解得m1 =1, m2 =-3. 又∵m> , ∴m=1. 挑战自我 2．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋1(m是常数)． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴没有公共点； 解：(1)证明：∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋1)＝4m2－4m2－4 ＝－4＜0，　 ∴方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数解．　 即不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋1的图象与x轴没有 公共点．　 2．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋1(m是常数)． (2)把该抛物线沿y轴向下平移a个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，求a的值． (2)y＝x2－2mx＋m2＋1＝(x－m)2＋1.把函数y＝(x－m)2＋1的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，则这个函数的图象与x轴只有一个公共点，即把函数y＝x2－2mx＋m2＋1的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．故a＝1.　 挑战自我 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级下册 分析：因为图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(6，0)，所以方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－3，x2＝6. 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根是(　　) A．x1＝3，x2＝－3 B．x1＝0，x2＝6 C．x1＝－3，x2＝6 D．x1＝3，x2＝0 2、抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 分析：当x＝0时，y＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)，当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点． $$