6.2.1向量基本定理（同步课件）数学人教B版必修第二册

6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理 第6章 平面向量初步 复习引入 前面我们已经看到，当存在实数，使得时，.那么，这个结论反过来是否成立呢？ 例1 如图所示，判断向量是否可以写成数与向量相乘.如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由. 例析 解 因为与的方向相同，而且，所以； 因为与的方向相同，而且，所以； 因为与的方向相反，而且，所以； 因为与不平行，所以不能写成数与向量相乘. 新知探索 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果且，则存在唯一的实数，使得. 在共线向量基本定理中： (1)时，通常称为能用表示. (2)其中的“唯一”指的是，如果还有，则有.这是因为：由可知，如果，则，与已知矛盾，所以，即. 由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得. 新知探索 尝试与发现：如果且，什么时候存在实数，使得？这样的有多少个？什么时候不存在这样的实数？ 可以看出，此时只有时才存在实数，使得，而且这样的可以是任意实数. 情境与问题：共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ 新知探索 从前面我们已经看到，如图所示，在平行四边形中，如果，，则，.也就是说，向量和都写成了向量，的线性运算. 尝试与发现：如图所示，已知的始点相同，你能分别将写成向量的线性运算吗？ 新知探索 不难看出， . 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对，使得. 新知探索 上述实数对可以用如下方式找到：如下图所示，将向量与的始点平移到一起，假设，，将向量的始点也平移到点，以，所在的直线为相邻的边，以为对角线作平行四边形. 因为与不共线，所以且.又因为，所以由共线向量基本定理可得，存在唯一的，使得；同理，存在唯一的，使得.又由向量加法的平行四边形法则可知，从而. 例析 解 由图不难看出，， ，. 例2 如图所示，用与表示. 新知探索 平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用，表示时，表达式唯一，即如果，那么且. 这是因为由可知，如果， 则 ，而可知共线，与已知矛盾，因此即. 同理可得. 特别地，当与不共线时，因为，所以对于来说，当或时，必定有.也就是说，当与不共线时，的充要条件是与中至少有一个不为0. 新知探索 平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量，都可以写成与的线性运算(简称为用与表示向量)，而且表达式唯一.因此，平面内不共线的两个向量与组成该平面上向量的一组基底，记为，此时如果，则称为在基底下的分解式. 例析 解 因为与不共线，所以，因此由已知可得存在实数， 使得 ， 即，从而解得. 例3 已知与不共线，而且与共线，求的值. 例析 证明 先证必要性.设因为与不共线，所以， 因此由已知可得存在实数，使 ， . 例4 如图所示，已知平面上点是直线外一点，，是直线上给定的两点，求证：平面内任意一点在直线上的充要条件是，存在实数，使得. 因此 ,所以 再证充分性.如果， 则， 例析 从而，即， 例4 如图所示，已知平面上点是直线外一点，，是直线上给定的两点，求证：平面内任意一点在直线上的充要条件是，存在实数，使得. 因此三点共线，即在直线上. 在例4中，如果令，则可得 点是线段中点的充要条件为， 这与前面我们得到的结论是一致的. 例析 例5 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，试用基底分别表示下列向量： (1)(2). 解(1)如图所示，由已知有，从而 . 例析 例5 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，试用基底分别表示下列向量： (1)(2). (2)因为，而且 从而，于是. 练习 题型一：对平面向量基本定理的理解 例1.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）. A.与 B.与 C.与 D.与 答案：AC. 解：结合图形可知，与不共线，与不共线， ∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底. 练习 方法技巧： 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 练习 变1.设向量，是平面内的一组基底，若向量与共线，则（ ）. A. B. C. D. 答案：B. 解：因为与共线，所以存在，使得， 即. 故，，解得. 故选B. 练习 题型二：用基底表示向量 例2.(多选)分别为的边上的中点，且，，则下列结论中正确的是（ ）. A. B. C. D. 答案：ABC. 解：如图，，A正确；，B正确；，，C正确；，D不正确. 练习 方法技巧： 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义. 练习 用基底表示向量的依据和两个“模型” (2)模型： 模 型 一 条件 结论 多个向量首尾相接，并且最后一个向量的终点与第一个向量的起点重合 这些向量的和为零向量，其中任意一个向量可用其他向量表示 模 型 二 条件 结论 中，为中点 练习 变2.如图所示，在□中，点分别为边上的中点，与交于点.若，，试用表示向量，. 解： 练习 题型三：平面向量基本定理的应用 例3.如图，在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，求与的值. 解：设，，则，.∵和分别共线，∴存在实数使得∴而，由平面向量基本定理，得解得∴ ∴ 练习 方法技巧： 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 练习 变3.平面内有一个和一点(如图)，线段的中点分别为的中点分别为，设，，. (1)试用，，表示向量； 解(1)：∵ ∴ 同理：，. • • • • • • 练习 变3.平面内有一个和一点(如图)，线段的中点分别为的中点分别为，设，，. (2)求证：线段，，交于一点且互相平分. 证明(2)：设线段的中点为， 则 设，的中点分别为， 同理可求得， ∴，即，，交于一点且互相平分. • • • • • • 课堂小结 平面向量基本定理 (1)定理 如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对，使得. (2)基底 若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 课堂小结&作业 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P161的练习，练习. 谢谢学习 Thank you for learning $$