寒假作业09 全等证明按梯度分类训练（7种类型40道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年八年级数学寒假作业（人教版）

寒假作业09 全等证明按梯度分类训练（7种类型40道） 目录 【题型1 “SSS”证明全等】 1 【题型2 “SAS”证明全等】 2 【题型3 “AAS”证明全等】 3 【题型4 “ASA”证明全等】 5 【题型5 “HL”证明全等】 6 【题型6 添加条件证明全等】 7 【题型7 证明两次全等】 8 【题型1 “SSS”证明全等】 1．如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 2．如图，点在同一条直线上，且，求证：． 3．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 4．如图，已知，．求证：． 5．已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 【题型2 “SAS”证明全等】 6．如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 7．如图，点A、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)判断、的关系，并说明理由． 8．如图，已知点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)与交于点G，当，时，求的度数． 9．如图，在中，是的中点，交于点，连接．求证：． 10．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【题型3 “AAS”证明全等】 11．如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 12．如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，的两条高交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 14．如图，在中，过点B作，E是的中点，连接并延长交于F点．    (1)求证：； (2)当、、时，求的长． 15．如图，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【题型4 “ASA”证明全等】 16．如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 17．如图，已知点A在上，，，，，求的长． 18．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．求证：． 19．如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 20．如图， ，，点D在边上，．求证： 【题型5 “HL”证明全等】 21．如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：． 23．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 24．如图，，，于点E，于点F，求证：． 25．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【题型6 添加条件证明全等】 26．如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，，．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件 ，使得，并证明． 27．如图，A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 28．如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． (1)请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 29．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 30．如图，，，点，，在同一直线上，请添加一个条件___________，运用“HL”判定定理，使得，并写出证明过程． 【题型7 证明两次全等】 31．如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 32．如图，在中，，的角平分线分别交于点E，F，相交于点O．求证：． 33．如图，点在线段上，点在线段上，于点，，，，分别是，的中点，连接，求证是等腰直角三角形． 34．如图，平分，于D，于E，点F在上，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 35．如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 36．如图，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点，使得，连接交于点，若，求的长． 37．如图，四边形中，平分于． (1)求证：； (2)若，求和的长． 38．如图，在中，为边上一点，延长至点，使，，，与交于点，连接交边于点．求证：是的中点． 39．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 40．与都是以点A为顶角的等腰三角形，且，，的延长线交于点F， (1)求证：； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业09 全等证明按梯度分类训练（7种类型40道） 目录 【题型1 “SSS”证明全等】 1 【题型2 “SAS”证明全等】 3 【题型3 “AAS”证明全等】 8 【题型4 “ASA”证明全等】 12 【题型5 “HL”证明全等】 16 【题型6 添加条件证明全等】 20 【题型7 证明两次全等】 24 【题型1 “SSS”证明全等】 1．如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∵在和中， ∴． 3．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 4．如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用三角形全等找到证明全等所需要的条件是解题的关键．根据“”判定即可得， 【详解】证明：在和中， ， ． 5．已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据三边相等即可证明． 【详解】解：与全等 理由如下：在和中 ∵（公共边），， ∴ 【题型2 “SAS”证明全等】 6．如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． （1）根据可得，由定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得，由平行线的性质定理易得，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，点A、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)判断、的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据平行线的性质以及线段的和差可得、，再结合即可证明结论； （2）运用全等三角形的性质可得，；再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即． 在和中 ∴． （2）解：，，理由如下： ∵， ∴，； ∴． 8．如图，已知点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)与交于点G，当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，正确寻找全等三角形全等的条件是解题的关键． （1）由线段的和差可得，根据平行线的性质可得，根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得、，再根据三角形内角和定理可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴在中，， ∴． 9．如图，在中，是的中点，交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，由中点得，由平行线的性质得，从而即可证明结论成立。 【详解】证明：是的中点， ， 且， ， ∴， 在和中， ． 10．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 【题型3 “AAS”证明全等】 11．如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件可得、以及，运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，然后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴．． （2）解：∵， ∴， ∴，即． 12．如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判断及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行线的性质证出角相等，再通过证出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 13．如图，的两条高交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）先通过导角证明，再根据“边边角”证明； （2）根据全等三角形对应边相等，即可求解． 【详解】（1）证明： 是的两条高， ，， ，， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， ， ， ． 14．如图，在中，过点B作，E是的中点，连接并延长交于F点．    (1)求证：； (2)当、、时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行，得到，中点，得到，利用，证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，进而得到，证明，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，已知． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定及三角形外角的性质，关键是根据证明． （1）根据证明与全等即可； （2）利用三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， 在和中， , ∴； （2）∵，, ∴． 【题型4 “ASA”证明全等】 16．如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系可求出，再利用三角形外角性质即可求出； （2）由三角形外角性质可得，结合，进而由即可证明； 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 故答案为：； （2）证明：∵， ， ，， ， 在和中， ， ． 17．如图，已知点A在上，，，，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行线的内错角相等得到，进而得到，结合已知条件得到，可得，再由可求得值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 由可得、，再结合可得，然后根据即可证明结论． 【详解】证明：， ，， ． ， 在和中， ， ． 19．如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理“”即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． （2）证明：由（1）知：， 在和中， ， ∴． 20．如图， ，，点D在边上，．求证： 【答案】见解析 【分析】先证明，则可得，然后根据即可证明． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵和相交于点O， ∴． 在和中， ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【题型5 “HL”证明全等】 21．如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)0.8 【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ，， ，， ∴， ∴． 22．如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据推出，即可根据证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 23．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 【详解】证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 24．如图，，，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明． 【详解】证明：，， ． ，，， ∴． 在和中， ． 25．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可； （2）由（1）可得，，则，根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 添加条件证明全等】 26．如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，，．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件 ，使得，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，可以添加条件．先根据， 得出，进而利用证明． 【详解】答案不唯一，参考如下： 解：添加条件．     证明：∵， ∴，即，     在和中， ∴． 27．如图，A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等、全等三角形的判定等知识点；灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键. （1）根据题意添加符合题意的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可添加， 故答案为：（答案不唯一）． （2）证明：在和中， ， ． 28．如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，． (1)请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线） (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活掌握全等三角形的判定更是解答本题的关键． （1）根据已知条件可得有一组对应角和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理可再找一组对应边相等，根据证明即可； （2）运用证明全等即可． 【详解】（1）解：添加的条件可以是， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴，即 又， ∴ ∵， ∴． 29．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 30．如图，，，点，，在同一直线上，请添加一个条件___________，运用“HL”判定定理，使得，并写出证明过程． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”判定判断即可；熟知三角形全等的条件是关键． 【详解】解：添加条件： 在与中， 故答案为：或 【题型7 证明两次全等】 31．如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义． （1）利用证明，则，即可得出结论； （2）利用证明，则． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 平分； （2）在和中， ， ， ． 32．如图，在中，，的角平分线分别交于点E，F，相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据题意证明，在上截取，连接，证明，得，所以，再证明，得，进而可以解决问题．此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】证明：， ， ，是的两条角平分线， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 33．如图，点在线段上，点在线段上，于点，，，，分别是，的中点，连接，求证是等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定． 由得到，证明，则，，由中点定义得到，，则，再证明， 则，，由得到，即，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形． 34．如图，平分，于D，于E，点F在上，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到； （2）由，得到，推出四边形的面积四边形的面积，根据全等三角形的判定定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， 四边形的面积四边形的面积， 在和中， ， ∴， ， ， ． 35．如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 36．如图，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点，使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明； （2）由（1）得，进而得出，证明，则，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． 即， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 37．如图，四边形中，平分于． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，先证明，得出，再证明，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， 平分， ，， 在和中， ， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）， ， 由（1）知， ， ， ， ． 38．如图，在中，为边上一点，延长至点，使，，，与交于点，连接交边于点．求证：是的中点． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证明全等三角形是解题的关键．先证明．推出，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ，． ， ． 在和中， ． ． 在和中， ． ， 即是的中点． 39．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并应用相关性质及判定定理． （1）根据等边三角形的性质和题意，证明，可得，从而进一步得出结论； （2）利用（2）中的结论，根据全等三角形的判定可得，进一步根据全等三角形的性质得证，从而根据等边三角形的判定可以证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ≌， ，， 即， ， ； （2）证明：由知，≌， 则， ，， ， 在和中， ≌， ， ， 是等边三角形 40．与都是以点A为顶角的等腰三角形，且，，的延长线交于点F， (1)求证：； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，即可得出答案； （2）在上取点N，使，根据等腰三角形性质得出，证明，，得出，即可证明，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵与都是以点A为顶角的等腰三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在上取点N，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$