寒假作业08 全等证明基础模型分类训练（6种类型50道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年八年级数学寒假作业（人教版）

寒假作业08 全等证明基础模型分类训练 （6种类型50道） 目录 【题型1 手拉收模型】 1 【题型2一线三等角模型】 16 【题型3三垂直模型】 26 【题型4利用“8”字型探究位置关系】 37 【题型5角平方线模型】 51 【题型6利用垂直平分线性质解题】 63 【题型1 手拉收模型】 1．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 2．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①见解析 ② (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①利用定理证明即可； ②利用全等三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用定理证明，得到，从而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）①证明：因为， 所以，即． 在 和中，， 所以． ②解： 由 ①，可得． 所以． 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以，即． 在 和中， ， 所以， 所以． 所以， 所以． 因为， 所以． 3．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 4．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键．根据条件证即可求解． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质及角的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， 在与中， ． （2），理由如下： 设交于点O， 由（1）得， ， ， ， ． 5．如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)不发生变化，见解析 (3)①，见解析；②能，60° 【分析】（1）延长交于点，证明，得到，，推出，即可； （2）证明，得到，，进一步推出，即可； （3）①证明即可；②证明，得到，，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， 理由如下：延长交于点． ， ． 在 和 中， ， ，．   ，   ． ， ， ， ． （2）不发生变化． 理由如下：  ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． （3）① ，理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ． ②能． 与 所成的夹角的度数为  ． 理由如下： 和 是等边三角形， ，，， ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， 即 与 所成的夹角的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 6．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 7．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 8．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证出，由SAS证明即可； （2）由可得，由 和 均为等腰直角三角形可得，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵ 和均为等腰直角三角形 ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴（SAS）； （2）解：∵, ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质和判定，掌握旋转全等的对应关系是解题的关键． 【题型2一线三等角模型】 11．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 【详解】（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 12．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论成立， 理由如下：如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）结论：是等边三角形． 理由：如图3，由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析 【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出结论; （2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出结论． 【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF， 证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°， ∵∠BCA = 90°, ∴∠BCE＋∠ACF= 90°, ∵∠BCE＋∠CBE =90°， ∴∠ACF = ∠CBE， ∵AC = BC, ∴△BCE≌△CAF, ∴BE =CF,CE = AF, ∵CF =CE＋EF, ∴EF= CF -CE=BE-AF； ②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180° 当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立; 理由是：如题图2， ∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°, 又∵ ∴∠CBE= ∠ACF, 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS), ∴BE =CF,CE = AF， ∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ； （2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下 ∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA, 又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° , ∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF ∴∠EBC = ∠ACF， 在△BEC和△CFA中 ∴△ABE≌△CFA(AAS) ∴AF = CE，BE = CF ∵EF= CE+CF, ∴EF= BE＋AF． 【题型3三垂直模型】 16．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． （1）①根据，得出，从而得出，再利用即可证明；②由全等三角形的性质可得，，即可得证； （2）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得证； （3）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 17．如图，于点A，点D在直线上，．    (1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论； （2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意，， 在与中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ； （1）中结论仍然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 18．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，作交的延长线于点E． (1)如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：, ∴， ∴． 20．如图①，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图②，将一块三角板放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，直接写出点的坐标； (2)如图③，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． (3)以（2）中的线段为直角边作等腰直角三角形，请写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为：或或或． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义，余角的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． （1）过点B作轴于点D，由“一线三直角”得，则，，即可求解； （2）过点B作轴于点E，证，得，，则，即可求解； （3）分四种情况进行讨论：当，点M在x轴下方时，当，点M在x轴上方时，当，点M在x轴下方时，当，点M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点D，则，如图2所示： ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：如图3，过点B作轴于点E，    ∵点C坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B坐标为． （3）解：当，点M在x轴下方时，过点B作轴于点D，过点M作轴于点N，如图所示： 则， ∵点A的坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 当，点M在x轴上方时，过点B作轴于点D，过点M作轴于点N，如图所示： 则， ∵点A的坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 当，点M在x轴下方时，过点B作轴于点D，并延长，过点M作轴于点N，如图所示： 则， ∵点A的坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 当，点M在x轴上方时，过点B作轴于点D，延长，过点M作轴于点N，如图所示： 则， ∵点A的坐标为，点B坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 综上分析可知：点M的坐标为：或或或． 【题型4利用“8”字型探究位置关系】 21．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： (1)， (2)与的位置关系如何． 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及垂直定义、对顶角相等、三角形全等的判定定理、三角形全等的性质、三角形外角性质、垂直判定等知识、熟练掌握判定与性质是解本题的关键． （1）由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得，由得对顶角相等得，所以．再由，，利用可得出与全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）利用全等得出，再利用三角形的外角性质得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ， 在和中 ， ， （全等三角形的对应边相等）； （2）解：位置关系是， 理由如下： ， ， 又，， ， ． 22．如图，为的高，为上的一点，交于点，且有，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，延长至点D，使，连接，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据即可证明； （2）延长交于点F，交于点N，由全等三角形的性质得，由可证，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）延长交于点F，交于点N ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 25．在和中，，，． (1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； (2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1），．延长交于点，证明，得到，，结合，可得，推出，即可证明； （2），．延长交于点、交于点，证明，得到，，在和中，根据，，可得，即可证明． 【详解】（1）结论：，， 理由：如图，延长交于点， ，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ； （2）结论：，， 理由：如图，延长交于点、交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 在和中， ，， ， ． 26．如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决本题的关键是得到．利用证明，得到，由直角三角形的特征得，再根据，推出，即可解决问题． 【详解】解：，理由如下； 证明： ，， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． 27．如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，又由，即可证明； （2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论； （3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过A分别做，垂足分别为点M，点N， 由（1）知， ∴， 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴ ∴ 28．追本溯源题 来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）（3）． （1）如图1，，，，与交于点．求证：． 方法应用 （2）如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，易得，设与的交点为，由三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （3）分别过点作，，由全等三角形的性质可得，利用面积法证明，进而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2），证明如下， 由（1）知， ∴， 设与的交点为，如下图， ∵， ∴， ∴； （3）解：分别过点作，，如下图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 29．如图，在中，于点D，于点G，延长至点E，使得，连接，在上取点F，使得，连接．    (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由垂线的定义可得，再由等量代换可得，从而证明，即可得出结论； （2）由（1）可得，可得，从而可得，再由等量代换可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）知， ∴． ∵，垂足为G， ∴． ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．    (1)当点在线段上时(不与点重合)，求证： ． (2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：，证明见解析 【分析】（1）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，即可； （2）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，由全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1） 即∶ 在和中 （2）猜想∶ 即∶ 在和中 (全等三角形的对应边相等) (全等三角形的对应角相等) 即∶ 综上所述，． 【题型5角平方线模型】 31．如图，已知平分，于点，，交的延长线于点，且 (1)求证：; (2)若是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据角平分线的性质可得、，利用直角三角形全等的判定定理即可证明结论； （2）由可得：，再根据中点的定义可得；然后证明，最后根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：平分，，， ，． 在和中， , ． （2）解：∵， ． 是的中点， ． 在和中， , ， ， ． 32．如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）得，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∵，， ∴平分． 33．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在射线上，且． (1)当点F在线段上时．求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】本题考查角平分线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． （1）角平分的性质，得到，证明，即可得证； （2）分点在线段和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分交于D，于E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如下图，当F在线段上时， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 即； 如下图，当F在的延长线上时， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 即． 综上所示或． 34．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 35．如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，根据三角形外角性质得； （2）①连接，根据角平分线性质得，结合，，得，得，即得点D在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得， 得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．添加辅助线，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角性质，角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线判定，是解题的关键． 36．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键．要证平分，只需证．可通过证来实现、根据已知条件，利用可直接证明，从而可得出平分． 【详解】证明：， ， 在与中， 是的平分线 37．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明： ，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解： ，， ， 平分， ． 38．如图，平分，于D，于E，点F在上，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到； （2）由，得到，推出四边形的面积四边形的面积，根据全等三角形的判定定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， 四边形的面积四边形的面积， 在和中， ， ∴， ， ， ． 39．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 40．如图，已知， (1)尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹) (2)如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点作于点，于点，结已知条件可得，，再结合角平分线的性质可得，即可证明，则可得． 【详解】（1）解：如图1，射线即为所求． （2）证明：如图2，过点作于点，于点， ， ， ． ，， ， ， 即， ． 又为的平分线，，， ． ， ． 【题型6利用垂直平分线性质解题】 41．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点P在的垂直平分线上， ， 是的平分线，于D，于E， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵平分，于D，于 ∴， 在和中， ， ， ， ，，且， ， 即， 解得 42．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质和全等三角形的判定与性质的运用，解题关键是作辅助线构造全等三角形． （1）连接，由线段垂直平分线和角平分线的性质得到和，再根据证明，从而得到结论； （2）根据证明，从而得到，设，则，根据和得到关于的方程，解方程，从而求得AE的长度． 【详解】（1）解：（1）解：，理由如下： 连接，， 平分，，， ，， 且平分， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ，解得：， ，． 43．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为18，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 44．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，此时，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，连接，由三角形内角和定理可得，进而得到是线段的垂直平分线，即得，又由垂直平分得到，据此即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ，， ∴， ， 点为的中点， ， 是线段的垂直平分线， ， 垂直平分， ， ． 45．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 46．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键 （1）由垂直平分线的性质可得，，，根据，计算求解即可； （2）由垂直平分线的性质可得，，由的周长为 ，，可得，可求，进而可得的长． 【详解】（1）解：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴的长为 ； （2）解：如图， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵的周长为 ，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为7． 47．已知：如图，是外角的平分线，垂直平分，两线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用垂直平分线和角平分线易得到，利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质求出，进而得到，再利等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵垂直平分， ∴． ∵是的平分线，，，垂足分别为、， ∴，，． 在和中，， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴； ∴； ∴． ∵在四边形中，，，，， ∴； ∴． ∵， ∴． 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解答关键． 48．如图，已知：平分，，，，，垂足分别为E、F ． (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1））连接，，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，， ∵平分， ，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 49．如图，在中，G为的中点，，交的平分线于点D，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接、，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出，就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ． 为的平分线，，， ， 在和中 ， ． （2）解：在和中 ． ． ， ． ， ，， ， ， ． 故答案为：8 50．如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中 ， ， ， ，， ， ， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业08 全等证明基础模型分类训练 （6种类型50道） 目录 【题型1 手拉收模型】 1 【题型2一线三等角模型】 4 【题型3三垂直模型】 6 【题型4利用“8”字型探究位置关系】 9 【题型5角平方线模型】 12 【题型6利用垂直平分线性质解题】 15 【题型1 手拉收模型】 1．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 2．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 3．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 4．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 5．如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 6．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 7．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 8．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 9．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型2一线三等角模型】 11．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 12．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 13．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 14．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 15．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【题型3三垂直模型】 16．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 17．如图，于点A，点D在直线上，．    (1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 18．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 19．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，作交的延长线于点E． (1)如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； 20．如图①，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图②，将一块三角板放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，直接写出点的坐标； (2)如图③，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． (3)以（2）中的线段为直角边作等腰直角三角形，请写出点M的坐标．    【题型4利用“8”字型探究位置关系】 21．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： (1)， (2)与的位置关系如何． 22．如图，为的高，为上的一点，交于点，且有，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 23．如图，在中，，，延长至点D，使，连接，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 24．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 25．在和中，，，． (1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； (2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 26．如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 27．如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 28．追本溯源题 来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）（3）． （1）如图1，，，，与交于点．求证：． 方法应用 （2）如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 29．如图，在中，于点D，于点G，延长至点E，使得，连接，在上取点F，使得，连接．    (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 30．如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．    (1)当点在线段上时(不与点重合)，求证： ． (2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明． 【题型5角平方线模型】 31．如图，已知平分，于点，，交的延长线于点，且 (1)求证：; (2)若是的中点，，求的长． 32．如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 33．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在射线上，且． (1)当点F在线段上时．求证：； (2)若，求的度数． 34．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 35．如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 36．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 37．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 38．如图，平分，于D，于E，点F在上，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 39．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 40．如图，已知， (1)尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹) (2)如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：． 【题型6利用垂直平分线性质解题】 41．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 43．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 44．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，此时，．求证：． 45．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 46．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长． 47．已知：如图，是外角的平分线，垂直平分，两线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 48．如图，已知：平分，，，，，垂足分别为E、F ． (1)求证； (2)若，，求的长． 49．如图，在中，G为的中点，，交的平分线于点D，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，则的长为______． 50．如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F． 求证： (1) (2) 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$