精品解析：福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

龙岩一中2024—2025学年第二次月考高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】对于不等式，可解得或，所以可以推出，而不可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 3. 若函数的大致图像是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案． 【详解】， 在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0， 只有符合， 故答案为 【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于基础题． 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以，，的大小关系是. 故选：B 5. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得. 故选：C 6. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断 【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图， 由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，， 由题意知，也即, 由于函数和互为反函数， 二者图像关于直线对称， 而为和的图象与直线的交点, 故关于对称， 故. 故选：B. 7. 函数关于y轴对称的点共有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】因为关于y轴对称的图象为，分别作出与，结合图象即可得结果. 【详解】因为为偶函数，则关于y轴对称的图象为， 分别作出与， 可知与有3个交点， 所以函数关于y轴对称的点共有3个. 故选：B. 8. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论不正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，，则函数的零点为0和ln2 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若为奇函数，且使成立，则a的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性判断A，直接解出零点判断B，利用基本不等式求值域判断C，由奇函数求得，对不等式能成立，进行分离参数转化为求函数的最值得参数范围，从而判断D． 【详解】对于A，当时，，函数定义域为R， 所以，则为偶函数，故A正确； 对于B，若，，， 则函数，整理得，即， 解得，，所以函数的零点为0和1n2，故B正确； 对于C，若，则， 当时，，当且仅当，即时等号成立, 当时，，当且仅当，即时等号成立； 所以，故C错误； 对于D，若为奇函数，则， 所以， 所以，则， 若使成立， 则， 若，则，， 所以，即能成立， 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，则的最小值为，故D正确. 故选：C 【点睛】方法点睛：对不等式恒成立或能成立问题，常用方法是分离参数，例如化为，然后求的最值，如果是恒成立，，如果是能成立，则，其他形式类推． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 【答案】BD 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可判断A；由函数的定义域的定义求解可判断B；对讨论，分，，三种情况求解可判断C；由函数的图象平移变换求解可判断D . 【详解】对于A，令在上单调递增，又在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得函数在上单调递减，故A错误： 对于B，函数的定义域是，可得，解得， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，不等式， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，，所以不等式的解集为； 当时，，所以不等式的解集为，故C错误； 对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 所以可得关于点中心对称，故D正确. 故选：BD. 10. 已知正实数a，b，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 若，则的最大值是 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式等号成立条件判断A；利用基本不等式及“1”的妙用求解判断BCD. 【详解】对于A，，当且仅当， 即时取等号，而，因此不能取等号，A错误； 对于B ，由，得， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. 在上为单调递减函数 D. 方程有且仅有四个不同的解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件判断函数的对称性和周期性，即可判断AB，再根据函数在区间的单调性，结合函数的性质，即可判断C，利用数形结合，判断D. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 则函数关于对称，又为偶函数， 所以，即，即函数关于对称，则， 则有，则，所以是以8为周期的周期函数，故A错误； 对于B，，故B正确： 对于C，当时，，则函数在上递增， 又且函数关于对称，所以函数函数在上递增， 又因函数关于对称，所以在上为单调递减函数，故C正确； 对于D，方程根的个数，即为函数与函数图象交点的个数， 如图，作出两函数的图象，由图可知，两函数的图象有4个交点，即方程有且仅有四个不同的解，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是抽象函数的对称性和周期性的判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合诱导公式可求值. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 已知，且，则A的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数对数互化将转化为，，再利用换底公式表示出， ，求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以由换底公式可知， 则，即，解得. 故答案为： 14. 已知函数，若关于x的方程在内恰有7个实数根，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】先画出函数图像，再结合韦达定理，根据图像分析出的值即可算出答案. 【详解】因为当时，，所以， 所以当时，是周期为4的周期函数，当时，， 当，则时，所以， 所以的图像如图所示， 令，则， 若只有一个根， 则关于x的方程在内恰有偶数个实根， 若有2个根，此时对应方程也有偶数个根， 所以必有一个根为1或时，在可有奇数个根， 故关于x的方程在内恰有7个实数根， 则在有2个根，， 满足， 若时，时，由图形可得有7个根时，，此时， 若时，时，由图形可知时，方程有5个根， 当时，方程有6个根，当时，方程有8个根，故不符合题意， 综上所述，，符合题意，所以，. 故答案为：4. 【点睛】方法点睛：方程根的个数问题与函数零点问题常常转化为两函娄图象的交点个数问题，利用数形结合思想解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式得集合，根据对数函数解不等式得集合，再根据集合的并集得实数a的值即可； （2）根据指数、对数运算化简得实数，从而可得. 【小问1详解】 ，， 又， 所以， 若， 所以，解得； 【小问2详解】 由题知， 所以， . 16. 已知，且是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （1）求，的值； （2）化简并求值 【答案】（1） 若选③，，； 若选④，，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，选③，选④，利用同角公式求出，的值. （2）利用诱导公式化简，再代值计算即可. 【小问1详解】 因为，所以为第三象限角或第四象限角， 若选③，，； 若选④，，. 【小问2详解】 原式. 17. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型为，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量阈值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： （1）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （2）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 【答案】（1）1.5小时，最大值是53毫克/百毫升 （2）6小时 【解析】 【分析】（1）在时，取得最大值，由正弦函数的性质求解； （2）在时，解不等式可得． 【小问1详解】 由图可知，当函数取得最大值时，. 此时. 当时，即时，函数取得最大值为， 故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是53毫克/百毫升; 【小问2详解】 由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升可以驾车，此时， 由，即， 解得， ，的最小值为6，故某人故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车. 18. 已知，函数. （1）当时，求在的值域； （2）当时，若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围； （3）设，若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用，可求值域； （2）由题意可得在上单调递增，进而求解即可； （3）问题等价于方程，当满足时，只有唯一解，据此分类讨论，可求得a的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数，由，得，所以的值域为； 【小问2详解】 当时，， 所以， 令，由在区间上单调递增， 根据复合函数的增减性质得在上单调递增， 所以对称轴，且，解得且， 实数m的取值范围. 【小问3详解】 因有且只有一个零点， 故，原问题等价于方程 当满足时，只有唯一解，方程（*）化为， ①当时，解得，此时，满足题意； ②当时，两根均为，此时也满足； ③当且时，两根为，当时，， 当时，，由题意，，解得， 当时，解得，，不在定义域内， 此时方程有一个根，所以满足题意； 当时，解得，此时，方程无根， 综上，a的取值范围是. 19. 对于函数，，如果，，，……，是任意的非负实数，且是一个n边形的n条边长，则称函数为上的“恒n边形函数”. （1）设函数是上的“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围； （2）设函数， （i）由公式，其中，求函数在上的值域 （ii）若函数为上的“恒m边形函数”.且此m边形中存在11条边长的和是剩下条边长的和的一半，求正整数m的值 【答案】（1） （2）（i）；（ii）的值为32或33或34. 【解析】 【分析】（1）求得，分类求得的值域，依据“恒三角形函数”可得所满足的条件，进而可求得的范围； （2）（i）由公式得函数，结合的范围可求值域；（ii）令，可得，由题意可得问题转化为存在实数，，……，，，，进而依据新定义计算可求得的值. 【小问1详解】 函数， ①时，，由题意得，即， ②时，，由题意得，即， ③时，符合题意 综上可得实数k的取值范围为. 【小问2详解】 化简得， （i）由公式得函数， ，， 即函数的值域为 （ii）令，则由（i）得， 由题意得问题转化为存在实数，，……，，，使得 成立. 若要使的值最大，则. 若要使的值最小，则， 又，所以，即的值为32或33或34. 【点睛】关键点点睛：理解新定义，利用新定义进行转化，如“恒三角形函数”，需满足三边关系定理，即最小两边之和大于第三边，进而计算可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中2024—2025学年第二次月考高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的大致图像是 A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 5. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数关于y轴对称的点共有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数 8. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论不正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若，，则函数的零点为0和ln2 C. 若，则函数的最小值为2 D. 若为奇函数，且使成立，则a的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 10. 已知正实数a，b，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 若，则的最大值是 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最小值是 11. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. 在上为单调递减函数 D. 方程有且仅有四个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 13. 已知，且，则A的值为________. 14. 已知函数，若关于x的方程在内恰有7个实数根，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若，求. 16. 已知，且是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （1）求，的值； （2）化简并求值 17. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型为，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量阈值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： （1）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （2）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 18. 已知，函数. （1）当时，求在的值域； （2）当时，若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围； （3）设，若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 19. 对于函数，，如果，，，……，是任意的非负实数，且是一个n边形的n条边长，则称函数为上的“恒n边形函数”. （1）设函数是上的“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围； （2）设函数， （i）由公式，其中，求函数在上的值域 （ii）若函数为上的“恒m边形函数”.且此m边形中存在11条边长的和是剩下条边长的和的一半，求正整数m的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $