精品解析：重庆市育才中学校2024-2025学年九年级上学期12月定时作业数学试卷

重庆育才中学教育集团2025届初三（上）自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键． 【详解】解：根据有理数大小比较的法则可得， ∴四个数中，最小的数是， 故选：． 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 估计的值应在（ ） A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 若反比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得． 故选：A． 5. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项，幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方和同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、和 不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则 的长应是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意相似三角形的相似比等于对应高的比．由于，那么，于是，进而可求 ． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， 解得． 故选：A． 7. 如图，在中，是斜边的中点，以点 为圆心的半圆与相切于点 ，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点D作于点G，利用分割法，计算面积即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角函数的应用，扇形的面积公式，分割法计算面积，熟练掌握直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，， 是斜边的中点，以点 为圆心的半圆与相切于点 ， ∴ ，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 故选：C． 8. 如图所示的图案是由正方形和三角形组成的．第一个图案有1个正方形和4个三角形；第二个图案有4个正方形和8个三角形；第三个图案有9个正方形和12个三角形，……按照这一规律，则第8个图案中正方形和三角形的数量之和为（ ） A. 94 B. 96 C. 98 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律，正确理解图形的变化规律得到计算规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 根据已知图案中正方形和三角形的数量得到计算规律：第n个图案有个正方形和个三角形，进而可得第8个图案中正方形和三角形的数量，即可解答． 【详解】解：第一个图案有1个正方形和4个三角形，而，； 第二个图案有4个正方形和8个三角形，而，； 第三个图案有9个正方形和12个三角形，而，； …… 第n个图案有个正方形和个三角形， ∴第8个图案有个正方形和个三角形， ∴． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则 的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点 ，由角平分线的性质结合正方形的性质易得，为等腰直角三角形，于是设，则 ，，进而，，再利用，由等角的余角相等得到，以此，利用相似三角形的对应边成比例列出等式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵平分，，， ∴， 由，，得为等腰直角三角形， ∴， 设， 则 ，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质正确表示出、的长是解题关键． 10. 已知，在多项式中任意选择相邻（）个字母，在不包含其中第一个字母前的符号的情况下添加一个绝对值符号，然后进行去绝对值运算，例如：，，下列说法：①至少有一种情况化简后与原式相等；②在所有化简结果中，不能得到“”这一项；③化简后一共有6种不同的结果．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，熟练掌握知识点是解题的关键． 分类讨论，罗列出所有的情况，取绝对值，即可求解． 【详解】解：第一种：∵， ∴ ， ∴； 第二种，∵， ∴， ∴； 第三种，∵， ∴， ∴； 第四种，∵ ∴， ∴； 第五种，∵， ∴， ∴； 第六种，∵ ∴， ∴； 第七种，∵， ∴ ， ∴； 第八种， ∵ ∴， ∴， ； 第九种，∵， ∴， ∴ ∴； 第十种，∵， ∴， ∴ ∴， 综上：有，，，，，共计6种，故③符合题意，②不符合题意，①不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上， 11. 计算：______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的运算法则进行化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：8． 12. 如图， 是正六边形内的一点，连接，若平分，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再根据角平分线的性质及三角形内角和定理求得，根据即可求解． 【详解】解： 六边形是正六边形， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 吴老师从小锦、小宇、小祺、小洋四名同学中随机选择两名参评“优秀学生干部”，小宇和小祺两位同学被选中的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出恰好选中小宇和小祺两名同学的情况数，即可求出所求． 【详解】解：列表如下表示小锦，2表示小宇，3表示小祺，4表示小洋） 1 2 3 4 1 2 3 4 所有等可能的情况有12种，其中恰好选中2，3的情况有2种， 则 （恰好选中小宇和小祺两名同学）， 故答案为： 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率 所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在中，，点 为的中点，，，将沿着 折叠后，点 落在点 处，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中的翻折问题，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理等知识，连接交 点 ，求出 的长，进而求出，由 点为中点得，继续求出，得到 的长，在中，利用中位线定理可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接交 点 ， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∵点 为直角三角形斜边的中点， ∴， ∵， ∴， 由翻转变换的性质可得，，且，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴ 是的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E， ∵Rt△OAB中，∠OAB=90°， ∴DE∥AB， ∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D， ∴DE为Rt△OAB的中位线， ∵△OED∽△OAB， ∴两三角形的相似比为, ∵双曲线，可知， ， 由， 得， 解得 16. 若关于 的不等式组有且仅有三个整数解，且关于 的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数 的积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，先解不等式组和分式方程，然后根据关于 的不等式组有且仅有三个整数解，且关于 的分式方程有非负整数解，进而得出 的取值范围，再写出符合条件的所有整数 的值即可求解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法，解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵关于 的不等式组有且仅有三个整数解， ∴， 解得：， 由得， ， ， ∴（，否则无解）， ∵关于 的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， 综上可知：， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴符合条件的所有整数 的积是， 故答案为：． 17. 如图，已知是的半径，弦，垂足为点 ，且，，过点作的切线，交的延长线于点 ，则的长为______，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由与切于点，则，由垂径定理得，再由，设，，故，，由勾股定理可得，解出 的值，则，根据余角性质得，则，然后代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵与切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，得到新的四位数N，称N为M的“一对称数”，并规定．例如：3412的“对称数”为2143，，则______；若（m为整数，），（n为整数，），且，s和t的各数位数字均不为0，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定，则k最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据代入求解即可；首先表示出s和t的“对称数”，然后求出的取值范围，然后代入求解即可． 【详解】根据题意可得， ； ∵（m为整数，）， ∴s的千位数字为6，百位数字为5，十位数字为，个位数字为1， ∴s的“对称数”为， ∵（n为整数，）， ∴t的千位数字为3，百位数字为2，十位数字为n，个位数字为7， ∴t的“对称数”为， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵m，n都是整数， ∴是整数， ∴，11，12，13，14，15，16，17， ∴ ∵s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除 ∴将，11，12，13，14，15，16，17，分别代入可得， ∴当时，s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除 ∴ 当时，k的最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（ ）根据平方差公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算即可求解； （ ）运用分式混合运算法则即可求解； 本题主要考查了整式的运算，分式的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对初一年级共680名学生进行了航天科普知识测试（满分50分），测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上且为整数．现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析得到下列信息：（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀）， 甲班10名学生的测试成绩为：40，46，47，47，49，49，50，50，50，50． 乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47． 抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表 班级 平均数 众数 中位数 甲班 47.8 a 49 乙班 47.8 49 b 根据以上信息回答以下问题： （1）填空：____________，____________，____________； （2）你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）请估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？ 【答案】（1）50，48，10 （2）甲班的成绩较好， 理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数49都比乙班的中位数48大，所以甲班的成绩好； （3）估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有340名 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． （1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴， ∵乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：47，47，48，48，48，48出现3次，众数是49， ∴49出现4次， 优秀人数为（人）， ∴优秀的学生都是49， ∴从小到大排列后处在中间位置的两个数都是48， ∴中位数， ∵乙组合格的人数为， ∴， ∴． 故答案为：50，48，10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有340名． 21. 如图，在平行四边形中， 点E在边上， 且 （1）用直尺和圆规在上方作 使得 交 于点F． （2）在（1）的条件下， 为了证明小才的思路是：先证明 再结合平行四边形的性质，证明结论． 请根据小才的思路完成下面的填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ∵在与中， ∴． ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ． 小才再进一步研究发现，若点E为边上任意一点，在上方作，使得，交 于点F． 线段的长度与平行四边形的某些边的长度均有此特征，请你依照题意完成下面命题：按上述要求得到的线段的长度等于 (请填入：“E点所在的边与对边”或“E点不在的边与对边”) 【答案】（1） 作图如下： （2），，， ，E点不在的边与对边； 【解析】 【分析】本题考查了作图—作一个角等于已知角，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法， （1）根据要求作出图形即可； （2）利用证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为促进经济发展，A、B两地开通了高速公路，比原国道里程缩短了40千米．甲汽车在高速公路上行驶的速度比在原国道上行驶速度提高了50千米/时，沿原国道行驶需要4小时，沿高速公路行驶只需要1小时20分钟． （1）求A、B两地高速公路的里程； （2）乙汽车沿高速公路从A地去往B地，再从B地沿原国道返回到A地，共用5.5小时，且它在高速路上行驶速度是在国道上行驶速度的2倍，求该汽车在原国道上行驶的速度． 【答案】（1）120千米 （2）40千米/时 【解析】 【分析】（1）设A、B两地高速公路的里程为x千米，根据甲汽车在高速公路上行驶的速度比在原国道上行驶速度提高了50千米/时可得方程，解方程即可得出答案； （2）设该汽车在原国道上行驶的速度为y千米/时，根据共用5.5小时可得方程，解方程并检验即可得出答案． 【小问1详解】 设A、B两地高速公路的里程为x千米，则原国道里程为平米， 由题意得：， 解得：， 答：A、B两地高速公路的里程为120千米． 【小问2详解】 设该汽车在原国道上行驶的速度为y千米/时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该汽车在原国道上行驶的速度为40千米/时． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系列出方程，注意分式方程需要检验． 23. 如图1，在中，，，， 为中点，动点 以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点 运动到点 时停止运动．设运动时间为 秒，的面积为． （1）请直接写出关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； （3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时， 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2） 如图所示： 性质：当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小 （3）． 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质， （1）分两种情况，当点P在线段上时和点P在线段上，分别过点P作边和边上的垂线，根据相似三角形的判定与性质求出的长，运用三角形的面积公式即可解答； （2）根据函数解析式画图，结合图象写出一条性质即可； （3）结合函数图象，直接写出时， 的取值范围．． 【小问1详解】 解：过点D作于点，如图1， 则 ∴ ∴， ∵ 为的中点， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴； 当时，过点D作于点，如图2， 同理可得，， 又 ∴ ； ∴关于 的函数表达式为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 的取值范围为： 24. 为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点 在点 的正东方向．点 在点 的正北方向，米．点正好在点 的东北方向，且在点 的北偏东方向，米．（参考数据：，） （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从 跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【答案】（1）米； （2）选时，消耗的热量更多． 【解析】 【分析】本题主要考查与方位角有关的解直角三角形的应用， 过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，则，根据题意得，利用，解得，由题意知，即可求得． 在中，利用，解得，进一步求得米，分别计算比较两条路线消耗热量即可． 【小问1详解】 解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，如图， 则四边形是矩形， ∴米， ∵点位于点 的北偏东方向， ∴， ∵米， ∴，解得（米）， ∵点正好在点 的东北方向， ∴， ∵米． ∴米． 【小问2详解】 解：在中，，解得（米）， 则米， 那么，选时，消耗热量为：（千卡）， 选时，消耗热量为：（千卡）， ， 选时，消耗的热量更多． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与 轴交于两点，与 轴交于点，抛物线的对称轴是直线 ． （1）求抛物线的表达式 （2）点 是直线上方抛物线上的一动点，过点 作轴，交于点 ，点是 轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； （3）点E坐标为，将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）周长的最小值为； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（ ）利用待定系数法解答即可； （ ）利用抛物线的解析式求得点 ， ，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为 ； 取点 关于 轴的对称点，连接，交 轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论； （）求得的坐标，利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当在 的上方时，如图 ,设交 轴于，当在 的下方时，如图，分别解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线 ， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴或 ， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点 关于 轴的对称点，连接，交 轴于点，连接，如图 ， ∵点是 轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为； 【小问3详解】 解：由， ∵，， ∴。 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移 个单位，再向右平移 个单位， ∴， 分两种情况： 当在 的上方时，如图 ,设交 轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 同理得：的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 当在 的下方时，如图， ∵， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，分类讨论的思想方法，掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 如图，等腰直角三角形中，，点 是线段中点，以 为直角顶点作等腰直角三角形，在的左侧． （1）如图 ，若点与点 重合，连接，，求的长度； （2）如图 ，若点在左侧，且时，过点 作交于点 ，连接，，在线段上取一点 且满足，求证：； （3）如图，若点在左侧，且时，将和分别沿，翻折得到和，连接,，若，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（ ）过点作交 延长线于点，则，证明，则，，故，对中运用勾股定理即可求解； （ ）过点 作的垂线与的延长线交于点，连接，由相似三角形的性质得点 为 中点，可证明四点共圆，则，故为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，可证明，同理可得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，同理可证明：， ，再证明，则，在等腰中，由勾股定理得 ，故，由得，即 ； （）连接，延长交于点，过点作，则，先证明∴三点共线，可得，则，，得到，设，则，由勾股定理得，由，得到，证明，则，，在中，由勾股定理得，在中，，，由勾股定理得，即可求出比值． 【小问1详解】 解：如图，过点作交 延长线于点，则， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点 为中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 证明：过点 作的垂线与的延长线交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点 为中点， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， 同理可证明， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，延长交于点，过点作，则， 由翻折得：，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵ ∴， ∴， 即， ∴， 设，则，由勾股定理得， 由, 得， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 在中，，，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团2025届初三（上）自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 4. 若反比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则 的长应是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 7. 如图，在中，是斜边 的中点，以点 为圆心的半圆与 相切于点 ，交 于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的图案是由正方形和三角形组成的．第一个图案有1个正方形和4个三角形；第二个图案有4个正方形和8个三角形；第三个图案有9个正方形和12个三角形，……按照这一规律，则第8个图案中正方形和三角形的数量之和为（ ） A. 94 B. 96 C. 98 D. 100 9. 如图，在正方形中， ，交于点O，平分交 于点M，交于点E，过点M作交 于点F，，则 的长为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知，在多项式中任意选择相邻（）个字母，在不包含其中第一个字母前的符号的情况下添加一个绝对值符号，然后进行去绝对值运算，例如：，，下列说法：①至少有一种情况化简后与原式相等；②在所有化简结果中，不能得到“”这一项；③化简后一共有6种不同的结果．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上， 11. 计算：______． 12. 如图， 是正六边形内的一点，连接，若平分，，则______． 13. 吴老师从小锦、小宇、小祺、小洋四名同学中随机选择两名参评“优秀学生干部”，小宇和小祺两位同学被选中的概率是 _____． 14. 如图，在中，，点 为 的中点，，，将沿着 折叠后，点 落在点 处，则 的长为______． 15. 如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝_____． 16. 若关于的不等式组有且仅有三个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数 的积是______． 17. 如图，已知是的半径，弦，垂足为点 ，且，，过点作的切线，交的延长线于点 ，则的长为______，则的长为______． 18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，得到新的四位数N，称N为M的“一对称数”，并规定．例如：3412的“对称数”为2143，，则______；若（m为整数，），（n为整数，），且，s和t的各数位数字均不为0，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定，则k最大值为______． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对初一年级共680名学生进行了航天科普知识测试（满分50分），测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上且为整数．现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析得到下列信息：（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀）， 甲班10名学生的测试成绩为：40，46，47，47，49，49，50，50，50，50． 乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47． 抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表 班级 平均数 众数 中位数 甲班 47.8 a 49 乙班 47.8 49 b 根据以上信息回答以下问题： （1）填空：____________，____________，____________； （2）你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）请估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？ 21. 如图，在平行四边形中， 点E在 边上， 且 （1）用直尺和圆规在上方作 使得 交 于点F． （2）在（1）的条件下， 为了证明小才的思路是：先证明 再结合平行四边形的性质，证明结论． 请根据小才的思路完成下面的填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ∵在与中， ∴． ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ． 小才再进一步研究发现，若点E为 边上任意一点，在上方作，使得， 交 于点F． 线段 的长度与平行四边形的某些边的长度均有此特征，请你依照题意完成下面命题：按上述要求得到的线段 的长度等于 (请填入：“E点所在的边与对边”或“E点不在的边与对边”) 22. 为促进经济发展，A、B两地开通了高速公路，比原国道里程缩短了40千米．甲汽车在高速公路上行驶的速度比在原国道上行驶速度提高了50千米/时，沿原国道行驶需要4小时，沿高速公路行驶只需要1小时20分钟． （1）求A、B两地高速公路的里程； （2）乙汽车沿高速公路从A地去往B地，再从B地沿原国道返回到A地，共用5.5小时，且它在高速路上行驶速度是在国道上行驶速度的2倍，求该汽车在原国道上行驶的速度． 23. 如图1，在中，，，， 为 中点，动点 以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点 运动到点 时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； （3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点 在点 的正东方向．点 在点 的正北方向，米．点正好在点 的东北方向，且在点 的北偏东方向，米．（参考数据：，） （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从 跑到有两条路线，分别是与．其中 和 都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与 轴交于点，抛物线的对称轴是直线 ． （1）求抛物线的表达式 （2）点 是直线上方抛物线上的一动点，过点 作轴，交于点 ，点 是 轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； （3）点E坐标为，将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点 ，满足，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在请说明理由． 26. 如图，等腰直角三角形中，，点 是线段中点，以 为直角顶点作等腰直角三角形， 在 的左侧． （1）如图 ，若点 与点 重合，连接，，求的长度； （2）如图 ，若点 在 左侧，且时，过点 作交 于点 ，连接，，在线段上取一点 且满足，求证：； （3）如图 ，若点 在 左侧，且时，将和分别沿 ， 翻折得到和，连接,，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $