复习专题06 函数的零点及函数模型6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题06 函数的零点及函数模型6题型分类 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注：若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 3．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 4.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) （一） 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 题型1：函数零点所在区间的判定 1．（2024高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·甘肃定西·期末）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·云南临沧·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·广东深圳·期末）函数的零点一定位于区间（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． （二） 1.求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 2.对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 题型2：函数零点个数的判定 6．（2024高一上·内蒙古乌兰察布·期末）函数的零点个数是（    ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．（2024高一上·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 8．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．10 B．20 C．21 D．30 9．（2024高二下·陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2024·广东江苏）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 11．（2024高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 题型3：根据函数零点个数求参数 14．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·重庆合川·期末）已知函数，若关于的方程0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． （三） 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 题型4：根据函数零点的范围求参数 18．（2024高一上·安徽合肥·期末）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． （四） 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值． 题型5：二次函数的零点分布 20．（2024高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高二下·浙江绍兴·期末）若函数在上有两个不同的零点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·浙江温州·期末）已知函数有两个大于的零点，，则可以取到的值是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 25．（2024高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 2.已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 3.构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 题型6：函数的应用 26．（2024高一上·江苏淮安·期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 27．（2024高一下·湖南株洲·期末）某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.    (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：） 28．（2024高一上·广东广州·期末）为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t小时后空气中消毒剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中 ①求g(1)的表达式： ②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值． 1、 单选题 1．（2024高一下·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·广东深圳·期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·重庆北碚·期末）南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y与时间（第x天）可以表示为函数（为正实数），则第四天新增感染人数约为（    ）（参考数据：） A．5485 B．4018 C．2143 D．1765 4．（2024高一上·云南临沧·期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·云南保山·期末）已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．（2024·全国·二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024高一上·贵州黔西·期末）已知函数定义在R上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024高一上·上海金山·期末）已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 9．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024高一上·广东广州·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．方程只有一个实数根-3 D．方程有7个不等的实数根 11．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 12．（2024高一上·广东佛山·期末）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·江西南昌·期末）已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．的取值范围为 C． D．最大值为1 14．（2024高一上·四川眉山·期末）已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．的最大值为1 三、填空题 15．（2024高一上·江苏南京·期末）函数有 个零点． 16．（2024高一上·广西玉林·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年3月13日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的 倍． 17．（2024高一下·江苏盐城·期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 . 18．（2024高一上·云南红河·期末）已知函数满足，当时，.函数 (且)，若函数在区间上恰有20个零点，则实数的取值范围为 . 19．（2024高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 20．（2024高一·全国·课后作业）已知方程，则当时，该方程所有实根的和为 ． 21．（2024高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 四、解答题 22．（2024高一上·辽宁朝阳·期末）已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 23．（2024高一下·安徽亳州·期末）已知函数，R． (1)若为偶函数，求a的值； (2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围． 24．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)证明：当时，只有一个零点. 25．（2024高一上·山东泰安·期末）已知函数． (1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求a的值； (3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 26．（2024高一上·广西玉林·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)证明函数在上的单调递增； (3)若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 27．（2024高一上·上海松江·期末）已知函数. (1)当时，求解的零点； (2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的零点个数. 28．（2024高一上·浙江台州·期末）已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围． 29．（2024高一下·云南保山·期末）已知函数，（且）的图象经过点，函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数的零点； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题06 函数的零点及函数模型6题型分类 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注：若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 3．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 4.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) （一） 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 题型1：函数零点所在区间的判定 1．（2024高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点存在定理即可直接判断选项. 【详解】函数为上的增函数， ， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 2．（2024高一上·甘肃定西·期末）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果. 【详解】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又，. 故选：B 3．（2024高一上·云南临沧·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由零点存在性定理求解即可. 【详解】函数是连续增函数， ，，可得， ∴函数的其中一个零点所在的区间是， 故选：D． 4．（2024高一上·广东深圳·期末）函数的零点一定位于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理即可判定函数的零点所在区间. 【详解】因为， 所以，， 又在上连续不间断，且单调增， 所以的零点一定位于区间， 故选：B. 5．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理说明即可． 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增， 所以，所以函数在存在零点. 故选：B. （二） 1.求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 2.对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 题型2：函数零点个数的判定 6．（2024高一上·内蒙古乌兰察布·期末）函数的零点个数是（    ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据题意，分别做出函数和函数的图像，即可判断. 【详解】 分别做出函数和函数的图像，如上图所示， 由图像可知，两个函数的交点个数是， 所以函数的零点个数是. 故选:C 7．（2024高一上·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可. 【详解】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 故选：A. 8．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．10 B．20 C．21 D．30 【答案】B 【分析】首先求出函数在上的零点，再根据函数的周期性计算可得. 【详解】因为当时，，令，即，解得，， 所以在上有且仅有个零点、， 又定义在上的函数满足，所以是以为周期的周期函数， 所以函数在区间上的零点个数为个. 故选：B 9．（2024高二下·陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别判断函数在时以及时的零点个数，即得答案. 【详解】当时，令或，有2个零点； 当时，令，即， 结合函数的图象可知二者在时有1个交点， 即此时有1个零点. 综合可知，的零点个数为3. 故选：D 10．（2024·广东江苏）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 11．（2024高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得. 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 12．（2024高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的图象的交点个数，即可求解. 【详解】当时，令，解得或； 当时，令，则，画出函数与函数的图象， 可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3. 故选：C 13．（2024高一下·青海西宁·期末）定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 【答案】5 【分析】先由和函数奇偶性求得函数的周期，进而结合和作出函数在区间上的图象，再由周期性作出在上的函数，同时作出函数的图像，根据零点定义可将题目问题转化成两个函数和图像交点个数问题，则求出两函数图像交点个数即可得解. 【详解】因为， 所以，可得函数是周期为4的奇函数， 因为，可得的图象关于直线对称， 当时，，又易知，所以时，， 由对称性可先画出函数在区间上的图象， 根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象， 由，得， 分别画出函数和的图象，如图，    由，又，，而， 可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5. 故答案为：5. 题型3：根据函数零点个数求参数 14．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，令，分析出函数有两个不相等零点，且和均有三个根，且根各不相同，所以，由韦达定理分析得到，，由对勾函数单调性得到的取值范围，验证后得到答案. 【详解】画出的图象如下：    令，则函数至多两个零点， 而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点， 需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同， 所以，由韦达定理得，， 显然，故， 故，， 由对勾函数性质得在上单调递减， 所以， 此时满足，故。 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】作出图像， 令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且， 则，解得， 故选：. 16．（2024高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 17．（2024高一上·重庆合川·期末）已知函数，若关于的方程0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析得和共有五个不同的根，作出图象，数形结合求解. 【详解】由得， 所以或， 作出函数的图象如下： 由题可得的图象与有2个交点， 所以的图象必须和有3个交点， 所以解得， 故选:C. （三） 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 题型4：根据函数零点的范围求参数 18．（2024高一上·安徽合肥·期末）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，令，则，可得， 设，其中，任取、， 则. 当时，，则，即， 所以，函数在上为减函数； 当时，，则，即， 所以，函数在上为增函数. 所以，，，，则， 故函数在上的值域为， 所以，，解得. 故选：A. 19．（2024高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解. 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： （四） 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值． 题型5：二次函数的零点分布 20．（2024高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】若时，，则，满足题意， 若，当，解得且，此时满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 当，得时，此时， 此时方差的根为，满足题意， 综上可得或 故选：C 21．（2024高二下·浙江绍兴·期末）若函数在上有两个不同的零点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，即可列出不等式，结合选项即可求解. 【详解】在上有两个不同的零点,则， 故，故B正确，ACD错误， 故选：B 22．（2024高一上·浙江温州·期末）已知函数有两个大于的零点，，则可以取到的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的分布求出a的取值范围，利用根与系数的关系将化为关于a的二次函数，结合其单调性，即可求得答案.. 【详解】由已知函数有两个大于的零点，， 即有两个大于的不等实数根，， 得，解得； 又， 故， 由于在上单调递增， 故，即， 故结合选项可知可以取到的值是10， 故选：D 23．（2024高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可. 【详解】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即. 故选：D 24．（2024高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或，即实数k的取值范围是. 故答案为： 25．（2024高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. （五） 1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 2.已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 3.构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 题型6：函数的应用 26．（2024高一上·江苏淮安·期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 【答案】(1)， (2)11个 【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. 【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得 得，代入有，不合题意． 若选，将，和，代入得， 解得，得．代入有，符合题意． （2）设至少需要x个单位时间，则，即， 则，又，， ，∵， ∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人． 27．（2024高一下·湖南株洲·期末）某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.    (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)13点 (3) 【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可； （2）根据题意列出不等式，求解出答案即可； （3）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. 【详解】（1）当时，， 当时，把代入是常数 得：，解得： （2）设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中. 则， 解得：第一次注射药物后开始第二次注射药物， 即最迟13点注射药物. （3）第二次注射药物后， 每毫升血液中第一次注射药物的含量： 每毫升血液中第二次注射药物的含量：， 所以此时两次注射药物后的药物含量为：. 28．（2024高一上·广东广州·期末）为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t小时后空气中消毒剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中 ①求g(1)的表达式： ②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值． 【答案】(1)10小时 (2)35.73 【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂， 浓度，分类讨论解出即可 （2）①由题意可得（），求即可；②由于利用基本不等式可求出其最小值 【详解】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度 则当时，由，即得，所以， 当时，由，得，得，所以， 综上，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时. （2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为 （毫克/立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为 （）， ② （）， （毫克/立方米） ，当且仅当，即时取等号， 所以第二次喷洒小时内空气中净化剂浓度达到最小值毫克/立方米 1、 单选题 1．（2024高一下·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】在定义域内单调递增， ，，，, 由于，所以零点所在的区间是 故选：C 2．（2024高一上·广东深圳·期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“二分法”的处理过程写出第二次所取区间即可. 【详解】由题意，根据二分法取值，即判断或的符号， 所以第二次所取区间可能是或. 故选：A 3．（2024高一上·重庆北碚·期末）南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y与时间（第x天）可以表示为函数（为正实数），则第四天新增感染人数约为（    ）（参考数据：） A．5485 B．4018 C．2143 D．1765 【答案】D 【分析】代入数据计算，得到，计算得到答案. 【详解】，则，，解得， 第四天新增感染人数约为. 故选：D 4．（2024高一上·云南临沧·期末）已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图象分析得解. 【详解】因为，，所以函数图象如图， 当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解. 同理当也不满足. 当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解. 综上，要使方程有两个不同的解，需． 故选：C 5．（2024高一下·云南保山·期末）已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合图像可知，由此可推得，，再利用二次函数的单调性即可得到的范围. 【详解】不妨设， 因为方程的根的个数即为与的交点个数， 由图象可得：若方程有四个不同的实数根，则， 又因为，且， 则，可得， 又因为，即， 可得， 所以当时，取到最小值. 故选：B.    【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 6．（2024·全国·二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值. 【详解】由题意，， 所以）， 即．又，所以． 因为，所以． 故选：B． 7．（2024高一上·贵州黔西·期末）已知函数定义在R上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用题给条件求得函数的奇偶性对称轴和周期，再利用数形结合的方法即可求得函数的零点个数. 【详解】定义在R上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图像交点的横坐标. 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图像如下： 两函数图像有3个公共点， 则函数的零点个数是3 故选：C 8．（2024高一上·上海金山·期末）已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程，等价于 且，将问题转化为的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解求解. 【详解】解：要使方程， 当且仅当 且， 即方程等价于 且， 即， 所以方程有且仅有两个不同的整数解， 即的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解， 函数的图象如图所示： 因为， 所以要使的整数解有且仅有两个解， 则其中一个整数解为0和-1， 即 ，解得， 故选：A 9．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a的取值范围，进而求出范围作答. 【详解】函数，当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 当时，在上递减，在上递增，， 作出函数的部分图象，如图， 方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的图象有4个公共点， 观察图象知，，， 显然有，且，由得， 即，则有，因此， 所以的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 二、多选题 10．（2024高一上·广东广州·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．方程只有一个实数根-3 D．方程有7个不等的实数根 【答案】BC 【分析】直接代入即可求解A，根据时，即可代入求解B，作出函数图象，结合函数的周期性即可求解CD. 【详解】对A，，故A错误； 对B，当时，，故，故B正确； 对CD，由解析式可得当时，周期为3，当时，，故可作图：      易得当时，且，解得，故C正确； 又当时，，故方程有8个不等的实数根，故D错误； 故选：BC 11．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点． 【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误； 由于，故B正确； 当时，所以在上单调递增，故C正确； 当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误． 故选：BC． 12．（2024高一上·广东佛山·期末）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对C，由零点存在定理判断端点； 对AB，由函数单调性判断不等式； 对D，由对数运算形式分别得，，（），结合函数单调性即可得，即可判断. 【详解】对C，，， ，， 由零点存在定理得，函数的零点，函数的零点，C对. 对AB，由解析式知，、均为增函数，则，，A错B对； 对D，. ，令，则即. ∵是增函数，故，D对. 故选：BCD. 13．（2024高一上·江西南昌·期末）已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．的取值范围为 C． D．最大值为1 【答案】AC 【分析】作出的大致图象，根据图象求出，，，的范围即可判断AB选项，由得到，的关系即可判断CD选项. 【详解】函数图象如图所示：    由图可得，A正确； 当时,, 故，B错误； 又且， 故, 可得，C正确 又可得， 又，故等号不成立, 即，D错误, 故选：AC. 14．（2024高一上·四川眉山·期末）已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．的最大值为1 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，数形结合，可判断A,B,C；结合基本不等式可判断D. 【详解】由函数解析式作出函数图象，如图， 由题意结合图象可知，且，故C正确； 则，，则， 当且仅当时等号成立， 但，故等号取不到，即，D错误； 由于存在，使得， 结合图象可知，A错误； 当时，，直线与的图象只有两个交点， 此时不存在，使得，故B错误， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：诸如此类分段函数的综合性题目，由于解析式中的函数比较简单，故可作出函数图象，数形结合，比如结合图象的对称轴，图像的交点个数等来解决问题. 三、填空题 15．（2024高一上·江苏南京·期末）函数有 个零点． 【答案】2 【分析】将问题转化为方程的根的个数，即函数和的图象交点个数，画出两函数的图象，即可求得结果. 【详解】函数的零点个数，就是方程的根的个数， 即函数和的图象交点个数， 函数和的图象如下图所示，    由图象可知，两函数图象有2个交点， 所以函数有2个零点， 故答案为：2 16．（2024高一上·广西玉林·期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年3月13日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的 倍． 【答案】100 【分析】根据题意得到方程组，两式相减后得到答案. 【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏4.3级地震所散发出来的能量为，则①，②， ②-①得：，解得：． 故答案为：100． 17．（2024高一下·江苏盐城·期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的范围，又即可将问题转化为， 共有四个零点，结合函数的图像即可求解. 【详解】当时，则， 此时，则或， 当时，则， 此时，则， 故问题转为， 共有四个零点， 画出函数图像如下可知：则， 故答案为： 18．（2024高一上·云南红河·期末）已知函数满足，当时，.函数 (且)，若函数在区间上恰有20个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将函数零点个数转化成函数图像交点个数的问题，根据题意分别画出两函数图象，利用数形结合列出所需满足的关系式，解不等式即可得. 【详解】函数在区间上恰有20个零点， 则函数图象与函数图象在区间上有20个交点， 由知，是周期为2的函数， 作函数与函数的部分图象如下：    易知当时，函数图象与函数图象有17个交点，故在上有3个交点， 显然不满足题意， 所以则需，解得 故答案为： 19．（2024高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 20．（2024高一·全国·课后作业）已知方程，则当时，该方程所有实根的和为 ． 【答案】 【分析】作出，的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和. 【详解】方程，即， 令，， 的图象可由的图象向右平移1个单位得到，故关于点对称， 同时也是的一个对称中心； 作图可得，的图象，观察它们在时的图象， 可知二者的图象都关于点成中心对称且，图象在上共有8个交点， 这8个交点两两成对关于点对称， 每一对关于对称的交点的横坐标的和为， 故所有8个交点的横坐标的和为， 即方程所有实根的和为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程的根的问题，转化为，的图象的交点问题； （2）数形结合：作出函数，的图象，判断其对称性，从而求解问题. 21．（2024高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 四、解答题 22．（2024高一上·辽宁朝阳·期末）已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解； （2）首先求出的解析式，令， ，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题意，设（，且）， ∵的图象过点， ∴，解得， 故函数的解析式． （2）∵， ∴， 令，因为，所以， ∴，， 函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点， 则，即，解得， 故实数的取值范围为． 23．（2024高一下·安徽亳州·期末）已知函数，R． (1)若为偶函数，求a的值； (2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可； （2）令求出函数的零点，利用已知条件中零点的范围求解即可. 【详解】（1）由已知得函数为偶函数， 则，即， 化简整理得，即恒成立，故． （2）由得， 即，， 所以的两个零点为，， 因为，，且，所以，且， 解得，且． 故a的取值范围是． 24．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)证明：当时，只有一个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入即可求的，进而得，即可求解； （2）结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴，∴. 从而， ∵， ∴，即， 故不等式的解集为. （2）证明：的定义域为. 当时，在上为增函数， 而在上也为增函数， 则在上为增函数. ∵， ∴当时，只有一个零点. 25．（2024高一上·山东泰安·期末）已知函数． (1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求a的值； (3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验； （3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解． 【详解】（1）由题知，当，， 设．则，所以， 因为是奇函数，所以， 又因为 所以； （2）令，整理得， 因为有且只有一个零点， 所以方程有且只有一根或两相等根， 当时，，符合题意， 当时，只需 所以，此时，符合题意 综上，或． （3）在上任取，且，则，． 所以，所以在上单调递减． 所以函数在上的最大值与最小值分别为，． 所以， 即，对任意成立． 因为，所以函数的图象开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递增， 所以当时，y有最小值，所以，解得． 所以a的取值范围为． 26．（2024高一上·广西玉林·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)证明函数在上的单调递增； (3)若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数为奇函数，由求解； （2）利用函数单调性的定义求解； （3）根据（2）知在上的单调递增，结合在区间上的值域为，转化为在上有两个不同实根求解. 【详解】（1）解：函数为奇函数， ， 即， 当时显然不成立， 故，． （2）证明：定义域， 任取，则， ，，， ， ， ，在上的单调递增． （3）由（2）知在上的单调递增， 在区间上的值域为， ，且且， 即，是方程的实根， 问题等价于在上有两个不同实根， 令，显然， 则， 即，解得，故的范围． 27．（2024高一上·上海松江·期末）已知函数. (1)当时，求解的零点； (2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)当或时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，有3个零点． 【分析】（1）通过解的根即可求解； （2）利用参数分离法将不等式恒成立，进行转化，求的取值范围； （3）结合函数图象的交点个数，即可得到结论． 【详解】（1）当时，， 当时，令，所以，由于， 故此时方程无解，无零点， 当时，令，所以，即，解得，（正根舍去） 综上可知：的零点为． （2）由于对任意的，不等式恒不成立，故对任意的，不等式恒成立， 由于，且恒成立， 由于，故； （3）由可得，变为， 令， 作的图象及直线，由图象可得： 当或时，有1个零点． 当时，有2个零点； 当时，有3个零点． 28．（2024高一上·浙江台州·期末）已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，从而可得，得，，求解即可； （2）由题意可得，设，则，，解法一讨论、、、判断单调性，从而求解；解法二，参变分离后，结合二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时， 设，则，即，得，， 所以方程的解为：，； （2）因为，所以当或时，的最小值为9， 故． 设，则，， 若，在上单调递增， 则，故，不合舍去． 若，任取，则， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递增，，，不合舍去； 当时，，，即； 当时，在上单调递减，，，可得， 综上，． 另解：可得，即在时恒成立， 而在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，最大值为9，所以． 29．（2024高一下·云南保山·期末）已知函数，（且）的图象经过点，函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数的零点； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将代入即可得到解析式； （2）利用，求出，从而得到的解析式，令其为0，解出即可； （3）分离参数得，令，则，设，根据复合函数单调性即可得到其值域，则得到的范围. 【详解】（1）由题意，过点，即，解得 所以，. （2）为上的奇函数，     ∴，解得，即，其定义域为，关于原点对称， 且， 故此时为奇函数， 又， 令，则，即．即，解得． （3）由在区间上恒成立． 得，即， 令，则， 令， 设，，根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减， ∴， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数．∴． 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用分离参数法的，则设新函数，利用对勾函数单调性结合对数函数单调性即可得到的单调性，最后即可得到的范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$