精品解析：山西省太原市山西大学附属中学校2024-2025学年高二上学期12月考试数学试题

山西大学附中2024～2025学年高二年级第一学期12月月考（总第三次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点求出直线斜率即可得解. 【详解】设倾斜角为，因为，所以，又，所以. 故选：D 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A. 3. 已知直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. 或3 B. C. 3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，根据直线截圆所得弦长求出弦心距，结合点到直线距离得到方程，，即可解得 【详解】根据化为，圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，又因为直线截圆的弦长为， 所以有，即，解得； 又圆心到直线的距离为：， 所以，即，解得或. 故选：A 4. 画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率公式得到，再利用给定结论求解即可. 【详解】由题可知，，解得， 则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点， 则圆的方程为. 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 6. 已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动圆圆心为，半径为，根据两圆位置关系得到，再利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】设动圆圆心为，半径为 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，又动圆过点，得， 即，则到两定点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为， 故选：C. 7. 如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论． 【详解】由题意，则，即，由圆方程知， 设，，则，， 又，两式相减得， 所以， 直线方程为，即． 故选：D． 8. 设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点，沿轴正方向作射线轴，若的平分线所在直线的斜率为，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设直线与准线交于点，由抛物线定义得，，又，所以，从而，可解问题. 【详解】根据题意，抛物线的焦点，准线方程：， 设直线与准线交于点，由抛物线定义得，， 根据题意，，， 所以，则， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 则，得， 所以点的坐标为. 故选：D 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A. 焦点 B. 准线方程 C. 点或 D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦半径公式求出点坐标，即可判断C，求出的中点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，故A正确，B错误； 因为为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确； 不妨取，则的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与轴相切，故D错误. 故选：AC 10. 以下四个命题表述正确的是（    ） A. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B. 已知点在圆上，则的最大值是4 C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B设，利用圆心到直线的距离不等于半径得到不等式，求出的范围；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断． 【详解】选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径， 设，则，解得， 所以的最大值是4，故B正确； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形， 所以 ， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 选项D：设点为直线上一点， 则以，为直径的圆的方程为，即：， 两圆的方程相减得到直线方程为， 即，令，解得， 所以直线过定点，故D正确． 故选：BD． 11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（    ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 若，则外接圆的面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值. 【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 所以，解得：，所以，则椭圆， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，所以不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， 若，又， 所以，即， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 设外接圆的半径为 根据正弦定理可知，，则， 即外接圆的面积为，故C正确； D选项，设，则 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的圆的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系不同，则过该点的圆的切线情况也不同，所以先判断点与圆的位置关系，再结合已知条件即可求解. 【详解】因为点的坐标满足圆的方程，所以点在圆上，如图所示： 所以圆的切线方程为：. 故答案为： 【点睛】本题借助于求过圆上一定点与圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题. 13. 已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算可得. 【详解】椭圆，则，，， 所以， 又，由余弦定理， 即， 所以，所以. 故答案为： 14. 过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可. 【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示： 令，于是有， 由双曲线和两条渐近线的对称性可得：， 因为，所以， 即， 在直角三角形中，设， 根据勾股定理可得：，或舍去， 即， 在直角三角形中， ， 由勾股定理可知：， 因为，所以 ，或舍去， 由， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为的齐次方程，进而求出双曲线的离心率. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线，． （1）若，求的值； （2）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行的充要条件计算参数即可； （2）先联立直线方程计算交点，再分类讨论截距是否为0，结合截距式计算即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线，重合，不满足要求， 当时，，，直线，平行，满足要求， 所以； 【小问2详解】 由，解得，即与的交点为， 当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为， 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为， 故满足条件的直线的方程为或. 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）斜率为的直线与交于，两点.若，求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得抛物线方程，设直线的方程为，联立方程组，根据题意，可得直线方程； （2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解可得答案. 【小问1详解】 抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为， 设直线的方程为， 与联立得，， 则，则， 设，则， 由，可得， 解得，符合， 所以的方程为； 【小问2详解】 ，设，则， 所以，由在抛物线上可得， 即， 所以直线的斜率为， 当时，； 当时，， 当时，， 此时当且仅当，即时，等号成立； 综上，直线OQ的斜率的最大值为. 17. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. （1）求双曲线的方程； （2）的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【小问1详解】 椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）①设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；②存在； 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中2024～2025学年高二年级第一学期12月月考（总第三次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. 或3 B. C. 3 D. 或1 4. 画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（    ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点，沿轴正方向作射线轴，若的平分线所在直线的斜率为，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A. 焦点 B. 准线方程 C. 点或 D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 10. 以下四个命题表述正确的是（    ） A. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B. 已知点在圆上，则的最大值是4 C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（    ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 若，则外接圆的面积为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的圆的切线方程为________. 13. 已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为_____． 14. 过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线，． （1）若，求的值； （2）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）斜率为的直线与交于，两点.若，求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值． 17. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. （1）求双曲线的方程； （2）的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $