期末复习专题训练 12与相似及中位线有关的最值问题-2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

专题12与相似及中位线有关的最值问题 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　 　）    A．1 B． C． D． 2．如图，，，直线与交于点H，在绕C点旋转过程中，线段的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 5．如图，在△ABC中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC=12， DQ =5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则下列结论正确的是(   ) A．线段EF的长逐渐增大,最大值是13 B．线段EF的长逐渐减小，最小值是6.5 C．线段EF的长始终是6.5 D．线段EF的长先增大再减小，且6.5≤EF≤13 7．如图，在四边形中，，，，点P，Q分别是边，上的动点（点P不与点C重合），连接，，，点M，N分别是，的中点，连接，对于的长度有以下说法： ①当点Q的位置固定时，的长度随点P位置的变化而变化； ②当点Q的位置变化时，的长度的最大值为5； ③当点Q的位置变化时，的长度的最小值为4． 其中正确的说法是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 8．如图，内接于等腰直角三角形中，，，，顶点在斜边上，，分别在，上，则长度的最大值为（ ）    A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，在△ABC中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为_________．    12．如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为，最大值为_______． 13．如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若△ADE与△BCE相似，则的最大值为________，最小值为________． 14．如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为________． 15．如图，正方形的边长为，点在上运动（点不与重合），点在射线上，且与相交于点，连接．则下列结论中：①；②；③的最大值是；④的最小值是．正确的是________（填写所有正确结论的序号）．    16．如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为________，线段长度的最小值为_________． 17．如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是_________．（只填写序号） 18．如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为_____，线段长度的最小值为_______．    19．如图，已知，点A在边OX上，，过点A作于点C，以AC为一边在内作等边三角形ABC，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交OX于点D，作交OY于点E，则的最大值与最小值的积是______． 20．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为_________. 三、解答题 21．已知点M是矩形ABCD的边AB上一个动点，过点M作MG⊥CD于点G，交对角线AC于点E，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线DC于点F． (1)如图1，若AB＝AD，则FG与DG的数量关系是　； (2)如图2，若AB＝4，AD＝3， ①当点M在边AB上移动时，FG与DG的数量关系是否保持不变？若不变，请仅就图2求出它们之间的数量关系；若变化，请说明理由． ②当时，请直接写出AM的最大值和最小值． 22．（1）如图1，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，求出的大小． （2）如图2，正方形的边长为2，，在下方以为斜边作等腰直角，求的最大值． （3）如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连AF 取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN． (1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论； (2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)连接DN，若AB＝3，CE＝2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出△DMN面积的最大值和最小值． 24．某中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究． 【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为O．如图1，同学们将该工具放入正方形中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H． （1）若点O在边长为1的正方形的中心，直接写出的最大值和最小值． （2）试猜想的值，并证明你的猜想． 【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H．若，，则．（直接写出答案） 【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形中，使其经过C、B两点，并与边交于点，与边交于点．已知，，．求的值． 25．【问题提出】 （1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，，可得到，点D，E分别在边，上，且，把△ADE绕点A旋转时，则的值是 　　； 【问题探究】 （2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．    试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12与相似及中位线有关的最值问题 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　 　）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N．    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴△CDM是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 易知的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为．故选：C． 2．如图，，，直线与交于点H，在绕C点旋转过程中，线段的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形斜边与一直角边的比是，先证明△ACF∽△BCE，得，根据8字形和三角形的内角和定理得出△BGH 是等腰直角三角形，利用垂线段最短可得结论． 【详解】解：过点B作于G，如图， ∵， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴△ACF∽△BCE， ∴， ∴， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴线段的最大值是2．故选：C． 3．如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件以及正方形的性质得出，证明，设，则，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，故选：D． 4．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】由，，，得，，，进而证明，，由，，分别为，，的中点，得，得腰直角三角形，得△PMN面积，由，从而即可得解． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴，，， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，分别为，，的中点， ∴， ∴△MNP是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴面积的最大值；故选： A． 5．如图，在△ABC中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．延长交于点D，根据三角形重心的性质可得，D是的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出，然后根据得出，的长度，则当时，的面积最大，求其最大值即可． 【详解】解：延长交于点D， G是△ABC的重心， ，D是的中点， ， ，即， ， ， （负值舍去）， ， 当时，的面积最大，最大值为．故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC=12， DQ =5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则下列结论正确的是(   ) A．线段EF的长逐渐增大,最大值是13 B．线段EF的长逐渐减小，最小值是6.5 C．线段EF的长始终是6.5 D．线段EF的长先增大再减小，且6.5≤EF≤13 【答案】C 【详解】连接AQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=12，∠D=90°， ∴AQ==13， ∵E、F分别是AP、PQ的中点， ∴EF是△PAQ的中位线， ∴EF=AQ=6.5， 即线段EF的长始终是6.5， 故选：C. 7．如图，在四边形中，，，，点P，Q分别是边，上的动点（点P不与点C重合），连接，，，点M，N分别是，的中点，连接，对于的长度有以下说法： ①当点Q的位置固定时，的长度随点P位置的变化而变化； ②当点Q的位置变化时，的长度的最大值为5； ③当点Q的位置变化时，的长度的最小值为4． 其中正确的说法是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据点M，N分别是，的中点，得出；再根据当点Q与点C重合时，此时最大；点Q与点D重合时，此时最小，即可判断． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点Q的位置固定时，的长度不变，故①不正确； 当点Q与点C重合时，此时最大， 由勾股定理，得， 此时的长度的最大，，故②正确； 当点Q与点D重合时，此时最小， 此时的长度的最小，，故③正确； 故选：C． 8．如图，内接于等腰直角三角形中，，，，顶点在斜边上，，分别在，上，则长度的最大值为（ ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理分逆定理得到，过作于于，推出，得到相似比为，设，得到，在中，当最大时，最大，即最大时，最大，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： 是等腰直角三角形， 过E作于于，如图：    设， 与是等腰直角三角形， 在中，当最大时，最大， 即最大时，最大， 在中，， ， ， ， ， 的最大值， 的最大值， 的最大值， 的最大值， 长度的最大值为7，故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点， 则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∵， ∴长的最大值为8；故选C． 10．如图，在△ABC中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，得到，推出，，得到，，当最大时，最大，过点作于，当最大时，最大，由，得到当时，，根据三角形面积公式求出面积的最大值． 【详解】解：连接， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当最大时，最大， 过点作于， 当最大时，最大， ， 当时，，此时， 故选：A． 二、填空题 11．如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为_________．    【答案】 【分析】延长到点F，使得，连接，由中位线定理得到，由勾股定理求出，由D是平面内的一个动点得到，求出，当且仅当C、D、F三点共线时，有最小值，有最大值，由得到的最小值为，的最大值为，即可到的最大值与最小值的差． 【详解】解：延长到点F，使得，连接，    ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵D是平面内的一个动点， ∴， ∴，即， 当且仅当C、D、F三点共线时， 有最小值，有最大值， ∵， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最大值与最小值的差为，故答案为： 12．如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为，最大值为_______． 【答案】 1 2 【分析】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，连接，根据三角形的中位线定理，得到，进而得到当最小时，最小，最大时，最大，根据垂线段最短，结合为线段上的动点（含端点），得到最小为的长，最大为的长，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小，最大时，最大， ∵为线段上的动点（含端点）， ∴时，最小， ∵， ∴当点与点重合时，最小，为的长为2， ∴的最小值为1， 当点与点重合时，最大，为的长， ∵，，， ∴， ∴的最大值为2． 故答案为：1，2． 13．如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若△ADE与△BCE相似，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 要使与相似，那么分两种情况： ①，则，即，解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②，则，即，解得或， 经检验，或是分式方程的解且符合题意， 综上，的长为或或， ， 的最大值为6，最小值为1． 故答案为：，． 14．如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为________． 【答案】 【分析】首先说明拼成的四边形是平行四边形，周长=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得结论． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知，BC=N′N″，M′M″=2DE， ∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，BC=2DE， ∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″， ∴四边形M′M″N″N′是平行四边形， ∴四边形M′M″N″N′的周长=2MN+10， 如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J． ∵S△ABC=•BC•AH=10，BC=5， ∴AH=4， ∵∠ABC=45°， ∴AH=BH=4， ∴CH=CB-BH=5-4=1， ∵AH∥EJ，AE=EC， ∴JH=JC=， ∴EJ=AH=2，BJ=BH+JH=， ∴BE=， 当MN⊥BC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值=14， 当MN与线段BE重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的最大，最大值= ， ∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为．故答案为． 15．如图，正方形的边长为，点在上运动（点不与重合），点在射线上，且与相交于点，连接．则下列结论中：①；②；③的最大值是；④的最小值是．正确的是________（填写所有正确结论的序号）．    【答案】①②③④ 【分析】对于①证可得，对于②证，对应边成比例可得，对于③表示出的长，，可证最大值是否为，对于④运用将军饮马模型可得． 【详解】解：在线段上取，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为a， ∴，故②符合题意， 过F作，交的延长线于点P， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值是，故③符合题意， 作C关于射线的对称点，连接，交射线于点，连接， 过作，交线段的延长线于点K， ∵， ∴， ∴，即的最小值是，故④符合题意， 故答案为：①②③④． 16．如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为________，线段长度的最小值为_________． 【答案】 【分析】当点P与点A重合时，线段长度的最大，求出长度的最大值，连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：当点P与点A重合时，线段长度的最大， ∵点P的速度是点Q的速度的倍， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， 连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于，如图所示：    则，， ∵矩形中，，，，， ∴， ∴， ∵E，F分别为，边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ，由于和点都是定点，所以其中点也是定点，当，，共线时，此时最小， 的最小值为，故答案为：；． 17．如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是_________．（只填写序号） 【答案】②③ 【分析】由矩形的性质推出，，，判定四边形是矩形，推出，，，得到，，而，得到，又，得到，由三角形中位线定理推出，当与重合时，的值最小，当与重合时，的值最大，求出的最小值是4，的最大值是，即可求出的最小值和最大值． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； 连接， 是中点，是中点， 是的中位线， 当与重合时，的值最小，当与重合时最大， 正方形的边长是4，是等腰直角三角形， ， 的最小值是4，的最大值是， 的最小值是，的最大值是， 故④不符合题意，③符合题意， 其中正确的是②③． 故答案为：②③． 18．如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为_____，线段长度的最小值为_______．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．连接交于M，连接，取的中点O，连接，，过点O作于N．首先利用相似三角形的性质证明，推出，，当点P与A重合时，的值最大，解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】连接交于M，连接，取的中点O，连接，，过点O作于N．    ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ∴ ∴ 当点P与A重合时，的值最大， 此时 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ 由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当垂直于时，共线，此时最小， ∴的最小值为 故答案为： 19．如图，已知，点A在边OX上，，过点A作于点C，以AC为一边在内作等边三角形ABC，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交OX于点D，作交OY于点E，则的最大值与最小值的积是______． 【答案】40 【分析】结合题意，得四边形ODPE是平行四边形，从而得到；结合点P是围成的区域（包括各边）内的一点，推导得当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值；再分别根据两种情况，结合平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质计算，即可完成求解． 【详解】过点P做交于点H ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形ODPE是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∵点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点 结合图形，得：当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值； 当点P在AC上时， ∵， ∴ ∴最小值； 当点P与点B重合时，如下图，AC和BD相交于点G ∴ ∵，， ∴ , ， ∵等边三角形ABC ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴GB是等边三角形ABC的角平分线 ∴ 又∵，即 ∴是的中位线 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴最大值 ∴最大值与最小值的积；故答案为：40． 20．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为_________. 【答案】②③ 【分析】①根据三角形三边之间的关系得，进而得，同理得，即，进而得，由此得与不可能相等． ②假设与相似，设，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x的值，再与x的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过P作于E，过D作于F，过C点作于G点，利用函数求四边形面积的最大值．设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值； ④作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、，则可得四边形是平行四边形．进而可得则四边形的周长，此时四边形的周长最小，计算出，根据勾股定理即可求出的值，进而可得四边形周长的最小值，即可得解． 【详解】①在中，， ， ， 即， 当Q点与A点重合时， ． 在中，， ， ， ， ， 当P点与B点重合时， ． 综上，当Q点与A点重合时，； 当P点与B点重合时，； 当P、Q不与A、B重合时． ∴与不可能相等， 故①错误． ②设， ，， ， ． 假设与相似， ， ， ， 整理得，， 解得：，， ， ∴或1.5都符合题意， ∴与可能相似， 故②正确． ③如图，过P作于E，过D作于F，过C点作于G点． 设，则， ． ， ， ． ，， ， ． 中，，， ， ， ， ∵S随x的增大而增大， ∴当x取最大值2.5时，S的值最大， ， 故③正确． ④如图，作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、， 则，，且四边形是平行四边形， ， 则四边形的周长 ， 此时四边形的周长最小． 连接， ，且， ， ， ，且， ． 在中，， ∴四边形的周长的最小值为， 故④错误． 故答案为：②③ 三、解答题 21．已知点M是矩形ABCD的边AB上一个动点，过点M作MG⊥CD于点G，交对角线AC于点E，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线DC于点F． (1)如图1，若AB＝AD，则FG与DG的数量关系是　； (2)如图2，若AB＝4，AD＝3， ①当点M在边AB上移动时，FG与DG的数量关系是否保持不变？若不变，请仅就图2求出它们之间的数量关系；若变化，请说明理由． ②当时，请直接写出AM的最大值和最小值． 【答案】(1)FG＝DG，见解析 (2)①不成立，FG＝DG；②AM的最大值为，最小值为． 【分析】（1）结论：FG＝DG．先证明四边形ADGM是矩形，再得到DG＝AM，AM＝EM，EM＝GF，可得结论． （2）①不成立，FG＝DG．如图2中，设DG＝x，GF＝y，利用相似三角形的性质求解可得结论．②利用①中结论，根据，构建不等式，可得结论． 【详解】（1）解：结论：FG＝DG． 理由：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵MG⊥CD， ∴∠D＝∠DAM＝∠DGM＝90°， ∴四边形ADGM是矩形， ∴AD＝MG＝AB，DG＝AM，∠AME＝90°， ∴AM＝EM， ∴BM＝GE， ∵∠EMB＝∠EGF＝∠BEF＝90°， ∴∠BEM+∠FEG＝90°，∠FEG+∠EFG＝90°， ∴∠BEM＝∠EFG， ∴△BEM≌△EFG（AAS）， ∴FG＝EM， ∴DG＝GF． （2）解：①不成立，FG＝DG． 理由：如图2中，设DG＝x，GF＝y， ∵四边形ADGM是矩形， ∴AM＝DG＝x，AD＝GM＝3， ∵EM∥BC， ∴， ∴， ∴EM＝x， ∵∠EFG＝∠BEM，∠EGF＝∠EMB＝90°， ∴△EGF∽△BME， ∴， ∴， ∴y＝x，∴GF＝DG． ②∵CF＝CG﹣GF＝4﹣x﹣x＝4﹣x， 由题意，≤4﹣x≤1，解得，≤x≤， ∴≤AM≤，∴AM的最大值为，最小值为． 22．（1）如图1，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，求出的大小． （2）如图2，正方形的边长为2，，在下方以为斜边作等腰直角，求的最大值． （3）如图3，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）周长的最小值为 【分析】（1）在取，连接，根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据邻补角的定义，得出，进而得出，再根据角之间的数量关系，即可得出的大小； （2）连接、、、，根据正方形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，，进而得出，判断出，再根据相似三角形的性质，得出，进而计算出，再根据勾股定理，得出，再根据两点之间线段最短，，进而计算即可得出的最大值； （3）连接，作，交的延长线于点，交于，连接，得出是等腰直角三角形，再根据三线合一的性质，得出点与关于对称，则的最小值为的长，再根据勾股定理，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，在取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图，连接、、、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由两点之间线段最短，可知：， 即， ∴的最大值为； （3）如图，连接，作，交的延长线于点，交于，连接， 由（1）可知：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点与关于对称， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连AF 取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN． (1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论； (2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)连接DN，若AB＝3，CE＝2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出△DMN面积的最大值和最小值． 【答案】(1)MD=MN；(2)成立，见解析；(3)最大值为，最小值为 【分析】（1）连接，证明可得， 由为的中位线得到， 为的中线可得，故证明； （2）证明过程同（1）； （3）由（2）可知，证明，于是，根据旋转性质得到，即，将与代入中即可得到． 【详解】（1）， 证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 为的中位线， ， 为 的中线， ， ； （2）（3）解：结论仍然成立． 理由：如图2，连接， 四边形是正方形， ，， ， 即， ， ， 、分别为、中点， ，， ，， ； （3）解：如图2，连接，设交于，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形，， ， ， ， 由题可知，即， 当时，最小值；   当时，最大值， 最大值为，最小值为． 24．某中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究． 【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为O．如图1，同学们将该工具放入正方形中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H． （1）若点O在边长为1的正方形的中心，直接写出的最大值和最小值． （2）试猜想的值，并证明你的猜想． 【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H．若，，则．（直接写出答案） 【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形中，使其经过C、B两点，并与边交于点，与边交于点．已知，，．求的值． 【答案】（1）①最大值为，最小值为2；②，证明见详解；（2）；（3） 【分析】（1）①，由②知，∴即求的最值，过点O作的垂线交于点M，N，由垂线段最短可知，由正方形，得，可知的最大值为，最小值为，即可求解． ②过点A作交于点，作交的延长线于点，利用正方形，，求证即可． （2）过点作交于点，作交的延长线于点，利用在矩形中，，，求证．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可． （3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解． 【详解】（1）①，由②知， ∴即求的最值，过点O作的垂线交于点M，N， 由垂线段最短可知， ∵正方形， ∴， ∴的最大值为，最小值为， 在中，， ∴， ∴最大值为为，最小值为2． ②解：， 理由为：过点作交于点，作交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， 在正方形中，， ， ， ， 在和中，，， ， ∴AM=AN，即， ． （2）解：过点作交于点，作交的延长线于点， 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， 在矩形中，，， ， ， ． ， ， ，，，， ， ；故答案为：． （3）解：，， 是等边三角形， 设， 过点，垂足为，交于点，则， 在 中，， ，， ，， 又， ， ，， ， ， ，即． 25．【问题提出】 （1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，，可得到，点D，E分别在边，上，且，把△ADE绕点A旋转时，则的值是 　　； 【问题探究】 （2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．    【答案】（1），；（2）；（3）8 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得，结合旋转的性质，证，即可求得； （2）过点作于点，作于点，证，设，分点在线段上和点在线段上两种情况讨论，分别求出关于的一次函数解析式，根据一次函数性质即可求解； （3）将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，根据矩形的判定和性质可得和的比值，然后根据三角形外接圆性质得，，最后根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）是等腰直角三角形，， ， ， ； ， ， ∴△ADE也是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图，过点作于点，作于点， 四边形是矩形，O为矩形对角线的交点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 当点在线段上时，点在线段上， 设，则， ， 当时，取得最大值，最大值为6， 当点在线段上时，点在线段上， 设，则， ， 当时，取得最大值，最大值为， ，四边形面积的最大值；    （3）四边形是矩形，， ， 如图，将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ，， ， 过点作于点，于点， ， 四边形是矩形，且， ， 设的外接圆半径为， ，， 由题意得，即， ， ， 的面积最小值为， 的面积最小值为．    试卷第40页，共41页 试卷第1页，共41页 学科网（北京）股份有限公司 $$