精品解析：湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

2024年湖北云学部分重点高中高二年级12月联考 数学试卷 命题单位：武汉经开一中 命题人：王再盛 梅小林 杨昌颢 审题人：襄阳市教科院邓超群 考试时间：2024年12月16日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据长轴的概念即可得结果. 【详解】在椭圆中，，所以长轴长为6， 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可. 【详解】根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点， 可得点关于y轴的对称点为. 故选：A. 3. 在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 4. 树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则（ ） A. B. C. D. X，Y的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用中位数和平均数的求法求解. 【详解】由图可知，的频率分别为： ， 所以的频率为， 因为， 所以中位数在内，所以, 又因为， 所以， 故选:A. 5. 动直线被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线恒过点，依题意可得圆C的圆心为，半径，即可求出圆的方程. 【详解】动直线，即， 令，解得， 所以动直线恒过点， 又动直线被定圆C截得的弦长等于， 所以圆C的圆心为，半径， 所以圆C的方程为. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】易知直线与圆，圆均相切，判断两圆位置关系，进而确定公切线条数. 【详解】与原点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 因为圆心距， 所以圆与圆外切，这两圆共有条公切线， 所以适合条件的直线共有条， 故选：C. 7. 直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设方程为：，与抛物线方程联立计算与，设，由得，利用的值得，计算点的坐标，利用计算的值，即可得到直线的斜率以及的值，利用过焦点的弦长公式可得结果. 【详解】 不妨设点在点上方，设. 由题意得直线斜率存在，且， 设方程为：， 由得，， ∴. 设，由得，， ∴，解得， 由得，∴，即， 由得，，解得，则，， ∴，∴， ∴. 故选：A. 8. 点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由易知，根据线面角的定义可得点坐标满足双曲线方程，进而可得结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，所以，， 故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点）， 过点作于点，易知面， 即，所以，即， 化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机事件满足，，，则有（ ） A. B. C. 不是互斥事件 D. 相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据概率的性质即可判断AB；根据互斥事件的定义即可判断C；根据相互独立事件的定义即可判断D. 【详解】因为，，， 所以， 所以，故A正确，B错误； 因为，所以不是互斥事件，故C正确； 因为，所以不相互独立，故D错误. 故选：AC. 10. 平行六面体所有棱长都等于1，，如图，则有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平行六面体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：可知：，结合三角形的性质分析判断即可；对于B：取的中点，可证平面，即可得结果；对于C：可证平面，即可得面面垂直，对于D：可知：三棱锥为正三棱锥，结合正三棱锥的结果特征求高，即可得体积. 【详解】对于选项A：由题意可知：， 若，则，这与三角形性质不符， 所以，故A错误； 对于选项B：取的中点，连接， 由题意可知：均为正三角形，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以，故B正确； 对于选项C：设，连接， 因为为菱形，则，且为的中点， 又因为均为正三角形，则，可得， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面， 对于选项D：由题意可知：三棱锥为正三棱锥， 可知顶点在底面的投影为正的中心， 则， 所以平行六面体的体积为，故D正确； 故选：BCD. 11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据得，以替换、替换，方程不变可得选项A正确；令得可得选项B错误；利用余弦定理结合题目条件得，当且仅当时等号成立，由点P位于B点处时满足此条件可得选项C正确；利用面积的两种表示形式可得选项D正确. 【详解】设，则， 由得，即. A.以替换得， ，方程不变，曲线C关于y轴对称， 以替换得，，方程不变，曲线C关于x轴对称， 选项A正确. B.令得，，即，或（舍）， 解得，即，故，选项B错误. C.由题意得，，. ，当且仅当时，. 在方程中令得，故. 当点P位于B点处时满足，有最小值， 由在上为减函数可得此时最大，选项C正确. D.设点P到x轴的最大距离为，则，即， 由选项C得当时，，取得最大值，最大值为， 所以，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与方程综合问题，解决选项C的关键是利用基本不等式分析出取到最小值时，结合余弦函数的单调性可得结论正确.解决选项D的关键是利用面积转化点P到x轴的距离，根据三角形面积最大值距离最大即可得到结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 13. 在直棱柱中，，，，D为中点，则直线，所成角的余弦值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】证明，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】因为，D为中点， 所以， 如图以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的切线长定理和双曲线的定义证明在定直线上，即可得到及内切圆半径，再由面积公式计算可得. 【详解】如图所示： 设圆与三边、、切点分别为、、，则， 由双曲线定义有，从而. 又，，所以， 设，，（为双曲线的半焦距）， 所以，解得，即点在定直线上， 又的内切圆圆心为，所以，内切圆半径， 又，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，离心率.求双曲线的方程，及其焦点坐标和渐近线方程. 【答案】 若双曲线的焦点在轴，则双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线为； 若双曲线的焦点在轴，双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线为. 【解析】 【分析】分焦点在、轴两种情况讨论，分别设出双曲线方程，求出、、，即可求出双曲线方程，从而求出相应的焦点坐标与渐近线方程. 【详解】若双曲线的焦点在轴，设双曲线方程为， 依题意可得，解得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线为； 若双曲线的焦点在轴，设双曲线方程为， 依题意可得，解得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线为； 综上可得： 若双曲线的焦点在轴，则双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线为； 若双曲线的焦点在轴，双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线为. 16. 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式求解即可； （2）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意所求概率为； 【小问2详解】 乙答对一题的概率为， 甲乙都没有答对一题的概率为， 甲乙都答对一题的概率为， 甲乙都答对两题的概率为， 所以甲乙两人答对题目的个数相等的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，，，，经过点C的平面与侧棱、、分别相交于点Q、E、F，且平面. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，且，求线段的长度. 【答案】（1） 证明：因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质证明平面，再根据面面垂直的性质即可得证； （2）连接，根据线面平行的性质证明，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设平面的法向量为，则， 因为，所以， 则有，令，则， 所以， 设平面的法向量为， 则有，可取， 由题意可得，解得， 所以的长度为. 18. 如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. （1）求证：为定值； （2）当时，求直线的方程和直线的方程. 【答案】（1）证明： 如图，当直线斜率不存在时，直线的斜率为0. 在方程中，令得，令得， ∴，∴. 当直线斜率为0时，直线的斜率不存在，，. 当直线斜率存在且不为0时，设，则， 由得，， 设，则， ∴，∴， ∴， ∴， 综上得，为定值，定值为. （2）， 【解析】 【分析】（1）计算特殊情况下的值，当直线斜率存在且不为0时，设，利用弦长公式表示，即可证明结论. （2）利用条件得到，为等腰直角三角形，，根据（1）可求出直线斜率，利用求出直线的斜率，联立直线与圆方程求点坐标即可得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由圆周角定理得，. 由得，， ∵，∴，为等腰直角三角形， ∴，∴. ∵，∴. 由（1）得，当直线斜率不存在或斜率为0时不合题意. 取中点，连接，则，故三点共线， ∵，∴. 易知斜率大于0， 由得， 由得或， ∴. 方程为，即，方程为，即. 综上得，， 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用垂径定理和等腰直角三角形的性质得到，求得直线的斜率，根据（1）中的结论求出直线的斜率，即可得到点的坐标，进而计算出直线方程. 19. 已知直线l：与圆O：相切. （1）求的值； （2）已知椭圆E：在点处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程； （3）是否存在这样的二次曲线F：，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切得到，化简即可； （2）解法1：根据切线结论得到，再利用直线与圆相切得到方程，化简即可；解法2：根据切线方程结论变形得，再次化简有，最后平方即可得到方程； （3）联立得到韦达定理式，根据化简并代入韦达定理式即可. 【小问1详解】 由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离， 即； 【小问2详解】 解法1：设，由条件所给的公式， 可知椭圆在点处的切线方程为. 又因为点在切线上，可得①， 同理可得②， 由①②，可知都在直线上， 即直线方程为③， 因为圆与直线相切， 所以点到直线的距离 所以， 由于点具有任意性，故点的轨迹方程为. 解法2:设，由条件所给的公式， 可知直线方程为①，直线方程为②， 由①②，得， 又， ， 由①②，得，则， 所以， 故点的轨迹方程为. 【小问3详解】 假设存在曲线满足条件，设， 联立，消去，得，， 由韦达定理，有. 由，所以 恒成立， 所以存在曲线，且. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与曲线方程得到韦达定理式，再利用向量点乘为0代入化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖北云学部分重点高中高二年级12月联考 数学试卷 命题单位：武汉经开一中 命题人：王再盛 梅小林 杨昌颢 审题人：襄阳市教科院邓超群 考试时间：2024年12月16日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则（ ） A. B. C. D. X，Y的大小关系不能确定 5. 动直线被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机事件满足，，，则有（ ） A. B. C. 不是互斥事件 D. 相互独立 10. 平行六面体所有棱长都等于1，，如图，则有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平行六面体的体积为 11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 13. 在直棱柱中，，，，D为中点，则直线，所成角的余弦值为_________. 14. 双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，离心率.求双曲线的方程，及其焦点坐标和渐近线方程. 16. 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，，，，经过点C的平面与侧棱、、分别相交于点Q、E、F，且平面. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，且，求线段的长度. 18. 如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. （1）求证：为定值； （2）当时，求直线的方程和直线的方程. 19. 已知直线l：与圆O：相切. （1）求的值； （2）已知椭圆E：在点处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程； （3）是否存在这样的二次曲线F：，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $