期末重难点真题特训之压轴满分题型（73题20个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练 （人教版)

期末重难点真题特训之压轴满分题型（73题20个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、反比例函数的求值 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … (1)函数的自变量x的取值范围______； (2)绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 压轴满分题二、反比例函数的图象与性质 1．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 3．（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】 （3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． 压轴满分题三、反比例函数与几何综合压轴题 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，边在轴上，边在轴上，点在边上，反比例函数，在第二象限的图像经过点，则正方形与正方形的面积之差为（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形都是正方形，其中点在y轴上，点在反比例函数的图象上，已知B1（-1，1），则点的坐标为 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． (1)求反比例函数解析式； (2)点为轴上一点，在图中用直尺作出（不写作法），要求这个三角形满足下列条件：①三角形顶点在格点上，且其中两个顶点为点和；②三角形面积为． (3)写出（2）中点的坐标． 压轴满分题四、一次函数与反比例函数的交点问题 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，若已知．      (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)点为y轴负半轴上一点，若的面积为16，求a的值； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知直线与双曲线相交于点， (1)求直线与双曲线的解析式； (2)直接写出的x的取值范围． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 压轴满分题五、一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 4．（23-24九年级·江苏苏州·自主招生）阅读材料： 对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用： （1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题： （3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． 压轴满分题六、实际问题与反比例函数 1．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离，看弹簧测力计的示数的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm a 30 32 37.5 F/N 4.8 4 b 3.2 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求与的函数表达式； (2)补充表中数据：______，______； (3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______ A．变大    B．变小    C．不变 (4)若弹簧测力计的最大量程是，求L的取值范围． 3．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 压轴满分题七、由平行截线求相关线段的长或比值 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    压轴满分题八、相似三角形的判定与性质综合 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知中，点D与点E分别在边与上，其中， (1)求证：； (2)若的面积为4，求四边形的面积． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【课本再现】《苏科版》教材九年级上册第57页有这样一道习题：如图①，是的直径，点A在上，于点D，，分别交、于点F、G．课本已经给出证明是等腰三角形． 【类比探究】 （1）如图②，若点E与点A在直径的两侧，其余条件不变，是等腰三角形还成立吗？请说明理由． 【深入思考】 （2）小明提出了新的思考：“可以进一步证明”，请你帮助小明完成证明． 【迁移应用】 （3）如图②，若，，求长． 压轴满分题九、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 压轴满分题十、相似三角形的综合问题 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 2．（2024九年级·陕西·专题练习）如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形． 3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）在梯形中，，，，对角线和相交于点，等腰直角的直角顶点与梯形的顶点重合，将绕点旋转 （1）如图1，当的一边落在边上，另一边落在边的延长线上时，求证： （2）继续旋转，旋转角为，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由； （3）如图3，继续旋转，当三角形的一边与梯形对角线重合，与相交于点时，若，，，分别求出线段、、的长． 压轴满分题十一、相似三角形应用举例 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？ 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    3．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 压轴满分题十二、求两个位似图形的相似比 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24九年级上·上海徐汇·开学考试）如图，与位似，点O为位似中心，若，则 ． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 压轴满分题十三、在坐标系中求位似图形的相似比、周长比或面积比 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·广西·专题练习）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 压轴满分题十四、三角函数的定义求边长计算 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正方形的边长为4，点P为边上任意一点，连接，以为边，在的右侧做正方形，连接，在点P由B运动到C的过程中，下列判断正确的是 嘉嘉说：有最小值，最小值为 琪琪说：点E所走的路程为    A．只有嘉嘉说的对 B．只有琪琪说的对 C．嘉嘉、琪琪说的都对 D．嘉嘉、琪琪说的都不对 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 压轴满分题十五、根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（2025九年级下·全国·专题练习）若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 3．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 压轴满分题十六、三角函数综合 1．（2024九年级·全国·专题练习）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）． （1）求边BC的长； （2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长； （3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长． 压轴满分题十七、解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E是的中点，点F为边上的一点，联结、、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的长． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 压轴满分题十八、解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度坡比、方位角）问题 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点在点的正南方，点在点的东南方向，在点的北偏东方向上，点在点的正西方，在点的南偏西方向上，若．（参考数据：，）    (1)求的长度； (2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点，他的平均速度是，爸爸选择沿路线散步到点，他的平均速度为，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点． 2．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若高度的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 压轴满分题十九、求三视图的侧面积与表面积 1．（24-25九年级下·全国·期中）下图是由大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别画出这个几何体的主视图与左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，求该几何体的体积和表面积． 2．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据两种视图中尺寸（单位：），计算这个组合几何体的表面积及体积．（用表示） 3．（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 压轴满分题二十、求几何体的面积 1．（23-24九年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，画出它的左视图并求其面积． 2．（23-24九年级·广东茂名·期末）如图是一个正三棱柱的俯视图： （1）你请作出它的主、左视图； （2）若AC＝2，AA'＝3，求左视图的面积． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动，根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1），长方体纸箱的长为厘米，宽为厘米，高为厘米． （1）请用含有，，的代数式表示制作长方体纸箱需要________平方厘米纸板； （2）如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体的三视图，则组成这个几何体的玩具个数最少为多少个； （3）由于旗舰店在双十一期间推出买一送一的活动，现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内（如图1），已知单个乐高积木的长方体纸盒长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式，请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由． 1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图①，点、是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点， 运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（　　）    A． B． C． D． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有 ．（直接填序号） 6．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长是 ． 7．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）在平面直角从标系中，的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线经过点A，双曲线经过点B，则    9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与x轴和y 轴分别交于点 C、点 D． (1)根据图象直接写出不等式的解集： (2)求反比例函数与一次函数的解析式： (3)若点P在y轴上，且，请求出点 P的坐标． 11．（24-25九年级上·四川达州·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． (1)如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________； A． B．           C． D． (2)如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，线与轴重合，线与轴重合，、、是量角器边缘上三点，对应的度数分别是，、（），连接、、，若点坐标为过点作轴的垂线，垂足为． (1)______，______（用含或的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系：______（用“”连接）； (3)请借助该图形，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（73题20个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、反比例函数的求值 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … (1)函数的自变量x的取值范围______； (2)绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (3)获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②图见解析；③图见解析； (3)①函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线；②和；③． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量取值范围及反比例函数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． （1）根据函数的分母不为即可求解； （2）①将代入中求解即可； ②根据描点法描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即可； （3）①观察函数图象可知函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②结合函数图象即可得出不等式的解集； ③根据题意求出点的坐标，再求出的长即可求解． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是：， 故答案为：； （2）解：①将代入中得：， 故答案为：； ②根据表中的数值描点，如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，如图： （3）解：①由（2）中图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②当时，，当时，， 由图象可知不等式的解集为：和， 故答案为：和； ③如图： ∵点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）， ∴点M，N的纵坐标为， ∵当时， ， ∴点在的右侧， ∵当时，， ∴， ∴点，点， ∴，， ∴， 故答案为：． 压轴满分题二、反比例函数的图象与性质 1．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 2．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 3．（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】 （3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． 【答案】（1），；（2），图见解析，或；（3） 【分析】（1）由图象可知，两个图象的交点坐标为，的解集为，然后作答即可； （2）由，可得，则不等式需要借助函数和函数的图象来求解，作函数图象，然后结合图象求不等式的解集即可； （3）结合图象求，的解集，然后求不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两个图象的交点坐标为，的解集为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴需要借助函数和函数的图象来求解， 作函数的图象，如图2， 由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：∵， ∴， 如图3，作函数的图象， 由图象可知，的解集为或， ∵， ∴， 由图象可知，的解集为， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数形结合求不等式（组）的解集，反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象等知识．数形结合是解题的关键． 压轴满分题三、反比例函数与几何综合压轴题 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，边在轴上，边在轴上，点在边上，反比例函数，在第二象限的图像经过点，则正方形与正方形的面积之差为（  ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意找到E点坐标． 设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，根据E在反比例函数上得到，再求出，，即可求出面积之差． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 则， ∵E在反比例函数上， ∴，即， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形都是正方形，其中点在y轴上，点在反比例函数的图象上，已知B1（-1，1），则点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数系数的几何意义、待定系数法求函数解析式及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质设出所求点的坐标是解题的关键．由四边形为正方形且是对角线知与关于轴对称，得出点，由点坐标及正方形的性质知，据此可设的坐标为，代入解析式求得的值即可，同理可得点的坐标，根据、，的坐标得规律：知点的坐标为． 【详解】解：在正方形中，是对角线， 则与关于轴对称， ， ， 则，即反比例函数解析式为； 设，代入， ， ， ， ， ，， 设，代入， ， ， ， ， ，， 的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． (1)求反比例函数解析式； (2)点为轴上一点，在图中用直尺作出（不写作法），要求这个三角形满足下列条件：①三角形顶点在格点上，且其中两个顶点为点和；②三角形面积为． (3)写出（2）中点的坐标． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)， 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，求解反比例函数解析式； （1）把代入即可得到答案； （2）由的几何意义可得轴，再结合三角形中线的性质可得的位置，再画图即可； （3）结合（2）中的位置可得其坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． ∴， ∴反比例函数． （2）解：∵， 如图，即为所求； ； （3）解：由的几何意义可得： 轴， ∴， 由三角形的中线的性质可得：， ∴， 综上：的坐标为：或． 压轴满分题四、一次函数与反比例函数的交点问题 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，若已知．      (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)点为y轴负半轴上一点，若的面积为16，求a的值； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查求一次函数与反比例函数的解析式，根据函数图象解不等式，反比例函数图象上点与y轴上点围成图形面积问题，解题的关键是求出解析式，并学会看图象． （1）将代入求出m，再将代入求出n，最后将、代入一次函数即可得到答案； （2）解出一次函数图象与y轴的交点，根据，求出，即可得到答案； （3）根据函数图像直接求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代，得， ∴， 把，分别代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：设一次函数图象与y轴交点为C，    在中，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵点为y轴负半轴上一点， ∴a的值为； （3）解：由图象可得，当反比例函数图像在一次函数下方时， ∴的解为：或． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知直线与双曲线相交于点， (1)求直线与双曲线的解析式； (2)直接写出的x的取值范围． 【答案】(1)直线，双曲线 (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题． （1）将代入反比例函数的解析式即可求出m的值，然后将代入反比例函数解析式即可求出n的值．最后将M、N的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式． （2）实际就是求x为何值时一次函数值大于反比例函数值．可以由图象得知． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在上， ∴， ∴， 将点，代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：如图，不等式的解集为：或． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，得到，进而求出，设出点坐标，列出方程进行求解即可； （3）找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）设点， ∵点在双曲线上，轴， ∴， ∴， ∴，解得：或， ∴或； （3）由图象可知：当时，直线在双曲线的上方， ∴的取值范围为：． 压轴满分题五、一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】(1)20 (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 【答案】(1)直线为，反比例函数的表达式为 (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式； （2）分两种情况：如图，连接，，当在的右边时，当时，则，如图，当在的左边时，如，连接，，交于，当为的中点时，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）解： 中，，，轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， 设直线为 ， 解得， 直线为， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，，当在的右边时， 当时，则， 设直线为，而， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去） 此时， ∴； 如图，当在的左边时，如，连接，，交于， 当为的中点时，则， 设，，而， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分段成比例定理，一元二次方程的解法，求得坐标是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析，函数的图象在时，有最大值3 (3)或 【分析】（1）根据局 等腰三角形三线合一证明是的角平分线，是垂直平分线，求出，再利用直角三角形30度角所对的边是斜边的一半，得到，勾股定理求出，即可得到； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：等腰中，，，点为的中点， ，是的角平分线，， ， ， ， 的周长为：； 根据题意得：， ，， ， ， 在中，， 的周长为：， ； ， 当时，点Q在上运动，此时，； 当时，点Q在上运动，此时，； 综上，； （2）解：函数图象如图所示： 函数的图象在时，有最大值3； （3）解：根据函数图象： 当时，， 时，或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 4．（23-24九年级·江苏苏州·自主招生）阅读材料： 对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用： （1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题： （3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． 【答案】（2）；（2）；（3）48 【分析】（1）求得，进而求得结果； （2）变形，进一步求得结果； （3）设点，求出的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得的关系，进而表示出四边形的面积，进一步得出结果． 【详解】解：（1）∵， ， 故答案为：； （2）， 当时， 即：当时，， 故答案为：； （3）把代入得， ， ， 设点， ∴直线的解析式为：， 由得，， ∵直线与双曲线只有一个公共点， ， ， 由得：， ， ∴， ∴当，即：时，四边形的面积最小值为：48． 【点睛】本题以阅读题方式给出一个基本不等式，考查了求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解方程等知识，解决问题的关键是设点的坐标，转化为一元二方程的有关问题． 压轴满分题六、实际问题与反比例函数 1．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】(1) (2)8天 (3)能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离，看弹簧测力计的示数的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm a 30 32 37.5 F/N 4.8 4 b 3.2 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求与的函数表达式； (2)补充表中数据：______，______； (3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______ A．变大    B．变小    C．不变 (4)若弹簧测力计的最大量程是，求L的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)A (4) 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键． （1）由表格中第2组和第4组的数据可得，从而可得结论； （2）根据（1）中关系式可得结论； （3）根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大； （4）根据弹簧秤的最大量程是5牛，即可得到结论． 【详解】（1）解：表格数据知． F与L的函数关系式为：； （2）解：在中， 当时，，所以，； 当时，, 故答案为：25；； （3）解：根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大； 故选：A； （4）解：当时，由得． 由题意可知，， ∴根据反比例函数的图象与性质可得，L的取值范围为． 3．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②函数值逐渐减小 (3) 【分析】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由，解并检验得， 当时，， 故答案为：2，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当时，， 即当时，的解集为， 故答案为：． 压轴满分题七、由平行截线求相关线段的长或比值 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，可以求出的值．过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图：过点作交于， 是边上的中线， ， ， ． ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知． 【详解】解：如图，作与交于点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 压轴满分题八、相似三角形的判定与性质综合 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质： （1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用，计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理解答，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知中，点D与点E分别在边与上，其中， (1)求证：； (2)若的面积为4，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，根据相似三角形的判定方法可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出，求出三角形的面积，则可得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， ∴． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【课本再现】《苏科版》教材九年级上册第57页有这样一道习题：如图①，是的直径，点A在上，于点D，，分别交、于点F、G．课本已经给出证明是等腰三角形． 【类比探究】 （1）如图②，若点E与点A在直径的两侧，其余条件不变，是等腰三角形还成立吗？请说明理由． 【深入思考】 （2）小明提出了新的思考：“可以进一步证明”，请你帮助小明完成证明． 【迁移应用】 （3）如图②，若，，求长． 【答案】（1）成立，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）延长交于H，首先由直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后等量代换得到，于是结论得证； （2）延长交于点H，连接，首先由垂径定理得到，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等可证得，由相似三角形的性质可得，于是结论得证； （3）连接，根据勾股定理得出，然后得到，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图所示，延长交于H ∵为直径，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：如图①所示，延长交于点H，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图②所示，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理等知识点，推出等腰三角形，而后利用边长的数量关系列方程求解是解题的关键． 压轴满分题九、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象．熟练掌握勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 当时，根据，得出；当时，过点P作于点H，证，得出，根据，即可得出． 【详解】∵在中，，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线； 当时， 过点P作于点H，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解． 【详解】解；根据题意，， 在矩形中，，则 ①当时，，有：，解得， 即当时，； ②当时，，有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【答案】(1)为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. (2)当为或2时，中有一个内角与相等. 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题关键． （1）根据面积列出一元二次方程，求值即可. （2）分两种情况讨论：或，再根据相似三角形的判定和性质即可求得答案. 【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿方向向点运动，点的速度是， ， ∵动点从点出发，沿线段方向向点运动，点的速度是， ， ． 四边形的面积是面积的2倍，，， ， ， 即：，解得：． 为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. （2）， ①当时，， ， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：． 综上所述，当为或2时，中有一个内角与相等． 压轴满分题十、相似三角形的综合问题 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到； （2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答． 【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC ∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE   ∴∠BAD＝∠BCE 而∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE （2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝， ∴∠ADC＝ 又∵CD＝CF ∴∠ADC＝∠DFC＝   ∴    ∴ 即    【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键． 法的应用是解题关键． 2．（2024九年级·陕西·专题练习）如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形． 【答案】见解析 【分析】连接BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线于点F，将△DA′E绕点E旋转至△FD′E的位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3． 【详解】解：①连接BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线于点F； ②将△DA′E绕点E旋转至△FD′E的位置，则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3． 由题意可知，AB=AD=A′D=A′E=D′E=D′F， 可证△ADB≌△A'ED≌△DEF，BC：FC'=1：3， C'、D、'F在同一直线上， 则△BAD∽△FC′B，且相似比为1：3． 【点睛】此题主要利用了相似三角形的判定和正方形、旋转的性质等作图，难度中等． 3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）在梯形中，，，，对角线和相交于点，等腰直角的直角顶点与梯形的顶点重合，将绕点旋转 （1）如图1，当的一边落在边上，另一边落在边的延长线上时，求证： （2）继续旋转，旋转角为，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由； （3）如图3，继续旋转，当三角形的一边与梯形对角线重合，与相交于点时，若，，，分别求出线段、、的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）；； 【分析】（1）由BC=DC，是等腰直角三角形，可得CE=CF，∠ECF=90°，可证≌ （SAS）； （2）成立，所画图形如图所示，由，可得，可证（SAS）； （3）由，， 用勾股定理求得，，可证，可求，，，可证，即可求． 【详解】解：（1）∵BC=DC，是等腰直角三角形， ∴CE=CF，∠ECF=90°， 在和中， ， ∴≌ （SAS）； （2），所画图形如图所示， 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴（SAS）； （3）∵，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等，掌握应用相关性质定理是解题关键． 压轴满分题十一、相似三角形应用举例 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？ 【答案】跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米． 【分析】过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，即可得出答案． 【详解】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M， 可得HO∥BN， 则△AOH∽△ABN， 故， ∵AB长为3米，BN长为1.5米， ∴， ∴ 同理可得：△BOH∽△BAM， 则， ∵AB长为3米，AM长为1米， ∴，即 ∴OH＝0.6， 答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键． 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【答案】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设米，如图，    根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 压轴满分题十二、求两个位似图形的相似比 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海徐汇·开学考试）如图，与位似，点O为位似中心，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．与位似，则，先证明，进一步可求，据此可得答案． 【详解】解：∵与位似， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 3．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 【答案】(1) (2)见解析， (3)与是位似图形，位似中心，位似比为 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）先确定点到，，的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可； （3）先根据题意画出，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：，， 故如图所示：      由题意得：，， ． （3）解：把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标 与是位似图形，位似中心． 位似比为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、位似作图、位似中心、位似的定义等知识点，掌握位似的相关概念是解答本题的关键． 压轴满分题十三、在坐标系中求位似图形的相似比、周长比或面积比 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 2．（2024九年级上·广西·专题练习）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 由题意可得根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点为所作； （2）解：如图所示，为所作； （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 压轴满分题十四、三角函数的定义求边长计算 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正方形的边长为4，点P为边上任意一点，连接，以为边，在的右侧做正方形，连接，在点P由B运动到C的过程中，下列判断正确的是 嘉嘉说：有最小值，最小值为 琪琪说：点E所走的路程为    A．只有嘉嘉说的对 B．只有琪琪说的对 C．嘉嘉、琪琪说的都对 D．嘉嘉、琪琪说的都不对 【答案】C 【分析】在线段上取点，使得，连接，，由，，，得到，，由，，得到是等腰直角三角形，进而得到，，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，，即可判断嘉嘉的说法，由是等腰直角三角形，得到，由点P为边上任意一点，得到，进而得到，点E所走的路程为，即可判断琪琪的说法， 本题考查了，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数值，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】解：在线段上取点，使得，连接，，    ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，取得最小值， 此时是等腰直角三角形，，故嘉嘉说得对， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点P为边上任意一点， ∴， ∴，点E所走的路程为，故琪琪说的对， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 【答案】(1)①4，；②（） (2)①点D在上运动，的面积为0；② 【分析】本题考查了考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式； （1）①由点M坐标可得此时点D在点B处，即可求解；②由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）①由图象可直接求解；②先求出点D在上时的解析式，可得点D在上和点D在上的图象开口相反，大小相同，由面积的和差关系可求解． 灵活运用二次函数和这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点M的坐标为， ， ， 当点D在点A时， ， ∴点， 故答案为：4，； ②如图1，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，（）； （2）解：①由图象可得：表示的实际意义是点D在上运动，的面积为0， 故答案为：点D在上运动，的面积为0； ②当点D在上时， ， 同理可求：， ， ， （）， ∴点P坐标为，点， ∴S与t的函数图象和线段围成的图形的面积：． 压轴满分题十五、根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（2025九年级下·全国·专题练习）若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查实数的综合运算能力，先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，，且， ∴是直角三角形． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 压轴满分题十六、三角函数综合 1．（2024九年级·全国·专题练习）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【详解】小正方形面积为20，大正方形面积为100， 小正方形的边长是，大正方形的边长是10， 即，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角形函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的边解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，tan∠ABC＝3，BF⊥AC，垂足为F．点D是边AB上一点（不与A，B重合）． （1）求边BC的长； （2）如图2，联结DF，DF恰好经过△ABC的重心，求线段AD的长； （3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q．联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长． 【答案】（1）10；（2）；（3）BD＝或BD＝ 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论； （2）作BN⊥BC，CM⊥BC，根据梯形中位线和平行线分线段成比例解答即可； （3）分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H， ∴∠AHB＝90°， ∵AB＝AC＝5， ∴BC＝2BH， 在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝3， ∴AH＝3BH， 根据勾股定理得，AH2＋BH2＝AB2， ∴（3BH）2＋BH2＝（5）2， ∴BH＝5， ∴BC＝2BH＝10； （2）∵BC＝10，tan∠ABC＝3， ∴CF＝，BF＝3，如图2，作BN⊥BC，CM⊥BC， ∵G为重心， ∴AG＝10，GH＝5， ∵AH⊥BC，CM⊥BC ∴， ∴∠ACM=∠CAG，∠GMC=∠AGM ∴△CMF∽△AGF 则＝， ∴CM＝AG＝， ∵AH⊥BC，CM⊥BC，BN⊥BC ∴ ∴ ∴G为MN中点 ∴HG为梯形CMNB的中位线， ∴BN＝2GH﹣CM＝， ∵， ∴∠DAG=∠NBD,∠AGD=∠BND ∴△ADG∽△BDN ∴， ∴AD＝AB＝； （3）∵BF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠BFC＝∠DEB＝90°， ∴∠BQE＝∠ACB（同角的余角相等） ∵∠BQE＝∠DQF， ∴∠DQF＝∠ACB ∵△DQF和△ABC相似， ∴或， ∵tan∠BQE＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝3， ∴， 设QE＝x，BE＝3x，则DE＝9x， ∴BQ＝，BD＝，DQ＝8x， ∵BF＝3CF＝， ∴QF＝， （ⅰ）当时，则，， 解得x＝， ∴BD＝＝， （ⅱ）当时，则，， 解得x， ∴BD＝， 综上所述，BD＝或BD＝． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线分线断成比例及推论，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 压轴满分题十七、解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）直接利用正弦函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用正切函数的定义求解即可； （3）作的平分线，作于点，证明，求得，，设，则，在中，由勾股定理得列式计算求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：作的平分线，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E是的中点，点F为边上的一点，联结、、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，得到，勾股定理求出，证明，又由，即可证明； （2）延长交于点G，过点G作，交延长线于H，在中，由勾股定理得：，在中，，可设，，得到，证明，得到，得到，则，得到，证明，则．即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长交于点G，过点G作，交延长线于H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴可设，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 由，得：， 由，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、正方形的性质、勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求： (1)k的值； (2)利用图象求出时x的取值范围； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图象法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立， 解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移6个单位， ∴， 直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 压轴满分题十八、解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度坡比、方位角）问题 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点在点的正南方，点在点的东南方向，在点的北偏东方向上，点在点的正西方，在点的南偏西方向上，若．（参考数据：，）    (1)求的长度； (2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点，他的平均速度是，爸爸选择沿路线散步到点，他的平均速度为，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点． 【答案】(1) (2)爸爸先到达点 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，数形结合、正确计算是解题的关键． （1）连接AC，过连接，过点作于点，利用解直角三角形，求出再通过解直角三角形求出计算结果保留整数即可． （2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，    依题意得，，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， 答：的长度约为； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ，， 小聪所需要的时间为： ， 爸爸所需要的时间为： ， ， 爸爸先到达点． 2．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若高度的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)会碰到，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，进一步求出的长即可； （2）延长交于点，过点作于点，求出的长，进而求出的长，再求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵新坡面的坡度 ∴， 设，则：， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）会，理由如下： 延长交于点，过点作于点，由题意，得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴会碰到． 压轴满分题十九、求三视图的侧面积与表面积 1．（24-25九年级下·全国·期中）下图是由大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别画出这个几何体的主视图与左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)见详解 (2)它的体积为，它的表面积为． 【分析】本题主要考查了画主视图与左视图，以及求几何体的体积和表面积． （1）根据从正面看和从左面看分别画出主视图与左视图即可． （2）先算出小立方块的数量，即可得出几何体的体积，再计算出体积和表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：从正面看和从左面看的图如下所示： （2）解：一共有小立方块数为：个， ∴该几何体的体积为， 该几何体的表面积为： 2．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据两种视图中尺寸（单位：），计算这个组合几何体的表面积及体积．（用表示） 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题考查了几何体的三视图、圆柱和长方体的表面积及体积，熟练掌握三视图的概念是解题关键．先根据三视图得出圆柱和长方体的数据，再根据这个组合几何体的表面积等于长方体的表面积与圆柱的侧面积之和、这个组合几何体的体积等于圆柱与长方体的体积之和计算即可得． 【详解】解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为、、，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，则圆柱的底面半径为， 所以这个组合几何体的表面积为 ， 这个组合几何体的体积为， 答：这个组合几何体的表面积为，体积为． 3．（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)三角形、四边形（长方形、梯形）、五边形（任选2种即可） (3) 【分析】本题主要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和体积的求法，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据图示可知有个长方形和个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）根据三棱柱所截面即可求解； （3）根据多面体侧面积公式计算即可； 【详解】（1）解：由图形可知，共有个长方形组成侧面， 个三角形组成底面，即组成几何体三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：根据题意，用一个平面去截这个几何体，那么截面有三角形、四边形（长方形、梯形）和五边形； （3）解：，，，， ，，， ， 压轴满分题二十、求几何体的面积 1．（23-24九年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，画出它的左视图并求其面积． 【答案】14.4． 【分析】利用几何体的形状得出左视图，再利用面积法求出左视图的宽然后得出左视图的面积． 【详解】如图所示： 如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， 故斜边上的高为 ∵左视图为长方形，其长为6，宽为 ∴左视图的面积 【点睛】考查了作三视图，解题关键是正确掌握三视图的观察角度并正确画出三视图． 2．（23-24九年级·广东茂名·期末）如图是一个正三棱柱的俯视图： （1）你请作出它的主、左视图； （2）若AC＝2，AA'＝3，求左视图的面积． 【答案】（1）见解析（2）3 【分析】（1）利用左视图和主视图的定义作图即可； （2）先求出AB在右侧面的正投影长度，再根据矩形的面积公式计算可得． 【详解】（1）作图如下： （2）如图，过点B作BD⊥AC于点D， ∵AC＝2， ∴AD＝1，AB＝AD＝2， ∴BD＝， 则左视图的面积为3． 【点睛】本题考查简单的几何体的三视图，三视图的面积的计算，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动，根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1），长方体纸箱的长为厘米，宽为厘米，高为厘米． （1）请用含有，，的代数式表示制作长方体纸箱需要________平方厘米纸板； （2）如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体的三视图，则组成这个几何体的玩具个数最少为多少个； （3）由于旗舰店在双十一期间推出买一送一的活动，现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内（如图1），已知单个乐高积木的长方体纸盒长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式，请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由． 【答案】（1）  （2）9  （3）甲摆放方式所需纸板面积更少，证明见解析． 【分析】（1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据三视图，得出该几何体的玩具数量最少的情况即可； （3）设单个乐高积木的长方体纸盒长和高为，宽为，，求出甲摆放方式的纸板面积和乙摆放方式的纸板面积，并作它们的差，根据差的正负性即可得出哪一种方式所需纸板面积更少． 【详解】（1） 故制作长方体纸箱需要平方厘米纸板． （2）如图，组成这个几何体的玩具个数最少 故组成这个几何体的玩具个数最少为9个． （3）设单个乐高积木的长方体纸盒长和高为，宽为， 甲摆放方式的纸板面积 乙摆放方式的纸板面积 甲摆放方式的纸板面积-乙摆放方式的纸板面积 ∴甲摆放方式所需纸板面积更少． 【点睛】本题考查了几何体的表面积问题，掌握长方体的表面积公式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 由题意可知，， 由平行线分线段成比例定理得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，勾股定理，矩形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，则易知四边形是矩形，故，然后根据勾股定理，角所对直角边是斜边的一半即可求解，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象，反比例函数的图象， 观察二次函数的图象可知，再根据，得，进而得出一次函数得图象经过一，二，四象限，反比例函数位于二，四象限，可得答案． 【详解】观察二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，反比例函数的图象位于二，四象限， 可知C符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图①，点、是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点， 运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的动点问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用及锐角三角函数等知识，由图②可得，当时，，即此时共线，则圆的半径为，当时，即，由勾股定理的逆定理可得，进而得到当时，点走过的角度为，算出点走过的弧长为，点运动的速度为，当时，，过点作于点，算出点走过的角度为，点走过的弧长为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图②可得，当时，，即此时共线， ∴圆的半径为：， 当时，，即， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 当时，点运动到点，如图： ∴点走过的角度为， ∴点走过的弧长为：， ∴点运动的速度为：， 当时，， 过点作于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点走过的角度为：， ∴点走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）在如图所示的四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体有 ．（直接填序号） 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是解题的关键． 根据主视图与俯视图分别是从物体正面、上面看得到的图形来解答． 【详解】解：正方体，主视图、俯视图都为正方形，即主视图和俯视图相同； 球，主视图、俯视图都为圆，即主视图和俯视图相同； 圆柱，主视图是长方形，俯视图是圆，即主视图和俯视图不相同； 圆锥，主视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，即主视图和俯视图不相同； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据折叠可得，在直角中，设，则，根据，可得，可以根据勾股定理列出方程，从而解出的长，再由，求得，进而求得，设，用表示与，在中, 由勾股定理列出的方程，便可求得的长度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设交相交于点，，则， ∵，，， ∴ ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：，即， ∴线段的长是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）在平面直角从标系中，的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线经过点A，双曲线经过点B，则    【答案】 【分析】作轴于M，轴于N，由反比例函数系数k的几何意义得到，，解直角三角形求得，通过证得，得到，进而得到． 【详解】解：作轴于M，轴于N，    ∴，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． （1）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证； （2）设，由得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：∵， 设，则 在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ， ∵点为的中点， ， ， ， ， ，且， ， 解得， ． 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与x轴和y 轴分别交于点 C、点 D． (1)根据图象直接写出不等式的解集： (2)求反比例函数与一次函数的解析式： (3)若点P在y轴上，且，请求出点 P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出 函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）找到直线在双曲线上方的自变量的范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出点坐标，分割法求出，根据，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图象可知，的解集为：； （2）解：由题意，得：， ∴； 把两点代入， ，解得：， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点P在y轴上， ∴，即：， ∴， ∴或． 11．（24-25九年级上·四川达州·期中）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． (1)如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________； A． B．           C． D． (2)如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； （2）根据题意可得出，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； （2）解：， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，线与轴重合，线与轴重合，、、是量角器边缘上三点，对应的度数分别是，、（），连接、、，若点坐标为过点作轴的垂线，垂足为． (1)______，______（用含或的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系：______（用“”连接）； (3)请借助该图形，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质和判定，以及等边三角形的性质和判定，求角的余弦值，以及其值的大小比较，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 （1）证明是等边三角形，即可求出，根据求解即可． （2）过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为R，根据余弦定义分别表示出、、，再根据其值判断大小即可解题． （3）过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为I，、相交于点Q．根据余弦定义分别表示出、，得到，根据题意证明是等边三角形，推出，最后根据，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， 是等边三角形， ， 过作轴于， 由题知，，且为半径长度为， ， ， ． 故答案为：1，． （2）解：过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为R，如图所示：    有、、， ， 、、， ， ． 故答案为：． （3）解：如图，过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，作轴，垂足为I，,、相交于点Q． 则四边形是矩形，则四边形是矩形，， , 由（2）知，． ． 是等边三角形． ，． ， ，即的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$