期末考前满分冲刺之优质压轴题 -2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、轴对称的规律 1．如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，图形类的规律探索，根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴．， 在和中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 2．如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律．根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解． 【详解】解：由题意，∵， ∴在x轴的负半轴上， ∵，，，，…， ∴的横坐标为，即， 故选：A． 4．如图，在射线OA，OB上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，按此规律下去，记，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，据三角形外角性质找到等腰三角形的底角度数变化规律，用表示出等腰三角形的底角，再平角等于列式用表示出，同理表示出、……，由此即可找到规律求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴， 同理可求：，， ……以此类推， ，， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，则，      即的横坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 类型二、等腰三角形的手拉手 1．如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证明，再证明，即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作于M，于N，则，证明，可证，再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， 是等边三角形， 故②正确； 过B作于M，于N，则， ， ， ， ，， 平分， 故③正确； 为的中点， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．如图，点C在上，作线段的同侧作等边和等边相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（   ） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】证明即可证明①正确；证明全等，即可证明②正确，从而证明④正确；根据三角形外角的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：等边和等边， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ，故③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③错误，④正确， 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在直线的同一侧作两个等边和，连接与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】连接，过点作于，于；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得，；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案． 【详解】连接，过点作于，于 ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故③正确；， ，，， ， 平分，，故⑤正确； 根据题意，无法判断，故④错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的内角和定理知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 5．如图，中，，，D是斜边上一动点，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，．点O是的中点，连接、，下列结论：①；②；③；④的最小值为4．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）    【答案】①②④ 【分析】证明，根据三角形全等的判定定理可证明；根据三角形全等性质可得，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质可证得；根据可得；如图2，根据可知点O在的垂直平分线上，找到点O的起始位置及终点位置，即可求出的最小值为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是由旋转得到， ∴， 又∵， ∴，①正确； ∴， ∴， ∵点O是的中点，， ∴，， ∴，②正确； ∴，③错误； ∵，， ∴， 如图2，    当D与A重合时，与重合，O是的中点P； 当D与B重合时，与重合，O是的中点Q； 由②知， ∴点O在的垂直平分线上， ∴当D在边上运动时，点O在线段上运动， ∴当O与P重合时，的值最小，最小值为，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理以及性质，难点是判断点O的运动路径． 6．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，本题中求证和是解题的关键． 证明，可得①正确；即可求得，可得②错误；再证明，可得③正确和，即可证明④正确；即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形 ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，①符合题意； ∴，， ， ∵， ∴，②不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，，③符合题意； ∵， ∴是等边三角形，④符合题意； 故答案为：①③④． 类型三、分式中的“倒数法” 1．若，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由得到，设，得到，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由知， ∴， ， 设， 则， ∴， 即， 故选：． 2．若，则 的值等于 A．9 B．7 C．11 D．3 【答案】B 【详解】试题分析：因为，所以，故选B． 考点：分式的化简求值 3．若x＜0，，则的值为（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】结合题意，根据完全平方公式的性质计算，得x2的值；再结合完全平方公式的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵x， ∴（x）2=5， ∴x2﹣2=5， ∴x2=7， ∴x2+2=9， ∴（x）2=9， ∴x=±3， ∵x＜0， ∴ ∴x<0， ∴x=-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式的性质，从而完成求解． 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用关系式是解题的关键． 根据，把已知条件代入可得结果． 【详解】解：， 又， ， ． 故答案为： 5．若，则 ， ．若，则 ． 【答案】 /3.5/ 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，立方根的应用，由可得，进而根据完全平方公式的变形运算可求出、，由得，根据立方根的定义即可求出，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，． 6．已知：，且，则 ． 【答案】 【分析】由题可知，根据完全平方公式可得，进而得到，所以，得到，根据，可知，最后求出答案即可． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，实数的运算，准确运用公式是解题的关键． 类型四、最值问题 1．如图，在中，，，，平分，点P、Q分别是，边上的动点，则的最小值是（   ）      A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称中的最短路线问题,．熟练掌握轴对称性质，垂线段性质，含30度的直角三角形性质，是解题的关键． 作点P关于直线的对称点，连接，，则，由角平分线性质知点在上，根据，得，当．的值最小，根据，得． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，， 则， ∵平分， ∴点在上， ∵在中，， ∴， ∴当点Q在上，且点与点C重合时， ．的值最小， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是5． 故选：C．    2．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 3．如图，是边长为4的等边三角形，是等边的边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点．当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最短路线问题、等边三角形的性质等知识点，根据轴对称性和等边三角形的性质，作于点，交于点，此时最小，进而即可求解，解决本题的关键是准确找到点和的位置． 【详解】解：是边长为4的等边三角形，是等边的边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点， 点C关于直线的对称点是点B， ∴， ， 当，且B、F、E三点共线时，取得最小值， 过点作于点，交于点，连接， 是等边三角形， ∴垂直平分， ,， ， 是等边的边上的中线， ， ， 故选：． 4．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴有最小值为的长． 故答案为：． 5．在 中，，平分 ，是上一动点，取中点，连接、，若 ，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．延长交于点，连接，构造，得到周长的最小值是，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，连接， 平分 ， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， 周长的最小值是， 故答案为：． 6．如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的定义，垂线段最短，三角形的面积公式等知识．根据等边三角形的定义得到周长，过点A作于点，根据“垂线段最短”得到周长的最小值为，根据三角形面积公式得到，即可求出的最小值为30． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴周长， 过点A作于点， 则， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为30． 故答案为：30 类型五、几何中的正确结论 1．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】①由等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得．故①正确．②计算出，则得到，可判断为等腰三角形，故②正确．③求出，，，证，故③正确．④证明，得，由③知，得．故④正确．⑤过作，．证明，得，故平分，故⑤正确． 【详解】解：等腰中，，， ， 平分， ， ， 故①正确． ， 由①知， ， ， 故②正确； ，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 故③正确； 在和中， ， ， 由③知 ． 故④正确． 过作，． 在和中， ， ， 平分， 故⑤正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键． 2．如图，在中，，平分，于点，于点，与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．根据，得到，根据，得到，即可判断①；根同角的余角相等可判断②，连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，进而得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，即可判断③． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ②， ， ， ， 故本选项符合题意； ③如图，连接， ，平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； 故选：． 3．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定①；设、相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得，判定②；过点E作的延长线于P，过点G作于Q，根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得判定④，全等三角形对应边相等可得，同理可证，从而得到，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是的中线，可判定③． 【详解】解：在正方形和中，，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； 设、相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 点E作的延长线于P，过点G作于Q， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故④正确， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：D． 4．如图所示，在中，D是上一点，，E是的中点，设，，，的面积分别为，，，，给出下面四个结论：①；②；③与的周长相等；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查三角形的高，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”判断①②即可； 根据与各边长之间的数量关系判断③即可； 设，，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出即可判断④． 【详解】解：①∵E是的中点， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴②正确，符合题意； ③∵，，但与不一定相等， ∴③与的周长不一定相等， ∴③不正确，不符合题意； ④如图，设，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴④正确，符合题意． 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 5．如图，已知，点在、之间，点、分别在、上，连接、，的平分线的反向延长线与的角平分线交于点，交于点，，，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有 ．（填出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外交的定义及性质、平行线的性质、利用邻补角求角的度数，由邻补角计算出，由角平分线的定义计算出，由对顶角相等得出，由平行线的性质得出，再由三角形外交的定义及性质得出，即可判断①；求出，即可判断②；分别求出、的度数，即可判断③；根据计算出度数即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，平分， ，， ， ， ，故②正确，符合题意； 如图，作，则， ， ， ， ， ， ，故③错误，不符合题意； ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 6．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故④正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故②错误； 在中，和的平分线相交于点， ∴，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故④正确； 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点到各边的距离相等，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义及性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 类型六、多边形的平面镶嵌 1．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】(1)，，； (2)正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形； (3)正方形和正八边形，图见解析，符合条件的图形只有一种，理由见解析． 【分析】（）利用求解即可； （）根据正多边形的内角能构成角即可； （）设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解即可； 本题考查了正多边形的内角问题，平面镶嵌，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）解：正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解， 即的正整数解，只有一组， ∴符合条件的图形只有一种． 2．阅读与思考 请阅读下面小论文，并完成相应的学习任务． 关于同一种正多边系的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分定全覆盖，一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度就是，如果一个内角度数能整除，那么这样的正边形其可以进行平面密铺，图1而图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形，德国数学家莱因哈特（1895-1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西-曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形，图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案． (1)面小论文中提到“对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是_____．（填出字母代号即可） A．数形结合思想    B．转化思想    C．方程思想 (2)图3中的度数为_____． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请你再写出一种可以进行密铺的正多边形 (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，求的度数． 【答案】(1)B (2) (3)正六边形（答案不唯一） (4) 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式． （1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解； （2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解； （3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解； （4）先求出五边形的内角和，然后根据求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B． （2）解：， 故答案为：． （3）解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形， 故答案为：正六边形．（答案不唯一） （4）解：五边形的内角和为：， 又∵， ， ． 3．【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数                   … （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ． ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． 【答案】（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或 【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； 【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为， 正方形的每一个内角的度数为， 正五边形的每一个内角的度数为， 故答案为：，； （2）由（1）的方法可求出， ①正三角形的每一个内角的度数是， ②正五边形的每一个内角的度数是， ③正六边形的每一个内角的度数是， ④正七边形的每一个内角的度数是， ⑤正八边形的每一个内角的度数是， 由于， 所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形， 故答案为：①③； （3）由题意得，x、y满足的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 答：x和y是值为或． 4．【问题再现】 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角． 【问题提出】 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？ 【问题解决】 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_____________________； 结论2：_____________________； 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 【问题拓广】 请你仿照上面的研究方式，探索出同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案：①_________；②__________（直接写出两种方案）． 【答案】试想：3； 验证2：可以找到适合方程的正整数解为或；结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角可以拼成一个周角，或者在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌； 【问题拓广】①正三角形、正方形、正六边形；②正方形、正六边形、正十二边形；（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正多边形，看位于同一顶点处的几个角之和能否为是解题的关键．根据常用的正多边形内角进行解答即可． 试想：根据正六边形的内角为即可得到答案； 问题解决：列出方程找出合适的正整数解即可得到答案； 问题拓广：根据上述方法进行扩展即可； 【详解】解：试想：根据正六边形的内角为， ， 故在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角； 问题解决：验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角， 根据题意，得：， 整理得， 可以找到适合方程的正整数解为或； 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角可以拼成一个周角，或者在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌； 问题拓广：①猜想：是否可以同时存在用正三角形，正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌； 验证：设围绕某一点有个正三角形，个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角， 依题意，得： 整理得： 可以找到唯一一组方程的正整数解为， 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正三角形，个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角； ②猜想：是否可以同时存在用，正方形，正六边形和正十二边形三种正多边形组合进行平面镶嵌； 验证：设围绕某一点有个正方形，个正六边形和个正十二边形的内角可以拼成一个周角， 依题意，得： 整理得：， 可以找到唯一一组方程的正整数解为， 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正方形，个正六边形和个正十二边形的内角可以拼成一个周角； 5．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5） 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，即得答案； （2）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （3）根据五边形的内角和等于，即可列方程，计算即得答案； （4）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （5）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）由题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想； 故选B． （2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺， 为整数， 当时，， 除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺； 故答案为：正六边形． （3）根据五边形的内角和可知， ，， ， 解得； （4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ， 正三角形和正六边形能密铺； 正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ， 正方形和正八边形能密铺； 故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一） 若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形： ， 正三角形，正方形和正六边形能密铺； ， 正方形，正六边形和正十二边形能密铺； 故答案为：①②④或②④⑦． （5）由题意可得， ． 故答案为：． 6．阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【答案】任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析 任务二：问题③三角形，四边形；问题④ 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案． 【详解】解：任务一： 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 问题④：由图形并结合题意可得：的度数为． 类型七、平面直角坐标系中的三角形 1．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，．      (1)①求点到的距离； ②点为的三条________线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号） (2)如图1，射线交的垂直平分线于点，证明是等腰直角三角形． (3)如图2，为轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与轴，线段分别交于点，，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 【答案】(1)①1；②① (2)见解析 (3)的周长不变，为4， 【分析】本题主要考查坐标与图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识： （1）①过点分别作，，的垂线，垂足分别为、、，由得，再根据可得结论； ②，进而得解； （2）延长交轴于点，作于，于，根据垂直平分线的性质得，证明，，分别平分，，得，，证明得，得，再证明，得出，即可得到结论； （3）过点分别作垂线，，，，连，．证明，，得到，，可求出的周长为，故可得结论 【详解】（1）解：①过点分别作，，的垂线，垂足分别为、、，如图 ，，， ，，， ， ， ， ∵, ∴， ∴ ． 即点到的距离为； ②，， ， 点到三边的距离相等， 点为的三条角平分线的交点， 故答案为：①； （2）解：如图．延长交轴于点，作于，于， 点是垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 到，，的距离均为1， ，，分别平分，，， ， ， 于，于，平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且． （3）解：的周长不变，为4，理由如下： 过点分别作垂线，，，，连，． 将沿所在直线翻折， ， ， ，， ，， 的周长为， ，， ， 的周长为． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案； （2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案． 【详解】（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：、 （1）如图，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出 ， ； ②点的坐标是 ； （2）如图3，当（大于）的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作 ，并且，连接 ，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变，请说明理由； 【拓展应用】如图，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的一个动点，点在第一象限（且在的上方）．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①，；②；（2）的面积是定值，定值为，理由见解析；[拓展应用] 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，坐标与图形， （1）①若，则，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； [拓展应用]过点作于，交于，分两种情况：当点在下方时；当点在上方时，分别 求出值即可． 【详解】（1）解：①若，， 又 ，； ②作于，   ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图，   ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． [拓展应用]解：能，构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点作于，交于， 分两种情况：当点Q在下方时，如图，   ，， ， 由“型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：，则； 当点在上方时，如图，    同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：，则； 综上，当在上方时，时，能构成以点为直角顶点的等腰直角三角形． 4．已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰． (1)若点A的横坐标是，直接写出线段的长为______； (2)连，若P为上一点，过点P作，垂足为Q，且． ①直接写出______； ②求证：； (3)在（2）下，连，若，求点P到x轴的距离的长． 【答案】(1)12 (2)①；②见解析； (3)12 【分析】（1）过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，证明，得，则可得的长； （2）①过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，由（1）知，四边形是正方形，得，由此即可计算的度数； ②延长交x轴于点M，易得，从而证明，即可证明结论成立； （3）过C点作x轴垂线与延长线交于点H，过点B作x轴平行线交于D，由平行线的性质得，由（2）②中，得；首先证明，得；由，，，可得；其次证明，则得，从而可由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F， 则，； ∴； ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，点A的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12； （2）解：①如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：45； ②如图，延长交x轴于点M， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：过C点作x轴垂线与延长线交于点H，过点B作x轴平行线交于D，如图所示，则， ∴； ∵，， ∴； 由（2）②知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 即； ∵由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用这些知识，构造辅助线得到全等三角形是解题的关键与难点． 5．如图，在平面直角坐标系内，有一个等腰．        图1           图2            图3 (1)如图1，点，点，点的坐标为________________． (2)如图2，点，点在轴负半轴上，点在第四象限，过点作垂直于轴于点，求的值． (3)如图3，点与原点重合，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点为轴负半轴上一点，点为线段中点，在轴正半轴上取点，使，过点作，交的延长线于点，请补全图形，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)4 (3)，证明见解析 【分析】（1）如图，过点C作轴于D．证明，即可解决问题； （2）如图，由（1）知：，，则，证明四边形是矩形，得出，可得结论； （3）结论：．连接，并延长交于G，利用证明，得出，利用三角形的内角和定理以及对顶角的性质可证明，进而证明，得出，利用证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）如图中，过点C作轴于D．    ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图2中，过点C作轴于H，过点C作轴于D，    由（1）知：，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：4． （3）结论：． 理由：连接，并延长交于G．    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 6．如图，在平面直角坐标系中，，点B为y轴正半轴上一动点，点C落在y轴的右侧． (1)如图1，若，直接写出点C的坐标； (2)如图1，当x轴平分，且与交于点D，，之间的数量关系； (3)如图2，过B点作垂直于y轴，且，连接交y轴于E，问当B点运动时，线段BE的长度是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1中，作轴于H．只要证明即可解决问题； （2）结论：．如图1﹣1中，设交y轴于F．连接．只要证明，即可解决问题； （3）结论：是定值，．如图2中，作交于N，作交的延长线于M，设交于K．利用全等三角形的性质证明即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中，作轴于H． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图8﹣1中，设交y轴于F． ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）结论：是定值，． 理由：如图2中，作交于N，作交的延长线于M，设交于K． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 类型八、归纳问题 1．观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 2．观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见详解： 【分析】本题考查了数字类型规律，通分、完全平方公式，约分化简，异分式的加减法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知等式的各部分和序号的关系即可得出结果． （2）根据发现的规律，归纳出第个等式，再利用分式的通分、完全平方公式，约分化简即可即可证明． 【详解】（1）根据以上等式的规律， 可得第个等式为：． （2）根据以上等式的规律，可得第个等式为， 证明：∵ ． ∴． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯⋯ 第6个等式：； 故答案为：； （2）猜想：第个等式：， 证明：∵ ， ∴成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 4．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式，不难得出第n个等式为：，通过对等式的左边的运算即可证明． 本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 【详解】（1）由题给出的等式可得第5个等式为：， 故答案为：； （2）猜想：第n个等式为：， 证明：等式左边右边， 故猜想成立． 第n个等式为：． 5．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算；发现规律是解答本题的关键． （1）根据规律，写出第5个等式即可； （2）根据规律猜想，再进行证明即可． 【详解】（1）解：根据规律，第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想：， 证明：左边右边， 等式成立． 故答案为：． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算； （1）根据前5个等式规律写出第6个等式； （2）根据前5个等式猜想出第个等式并验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）由题意可猜想得，第个等式为：， 证明： ， 第个等式为：． 类型九、新定义问题 1．我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)平行，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出； （3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 2．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质； （1）根据“对补四边形”可得，再结合外角可得，即可得到； （2）先证明，得到，再证明得到，，最后根据，得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是“对补四边形” ∴， ∵， ∴； （2）解：，，证明如下： ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴．． 3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【答案】(1)①是；② (2) (3)的值为4或 【分析】（1）①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明，得出，即可证明； （2）在线段上取点G，使，连接，由（1）可得，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解； （3）分两种情况：当时；当时． 【详解】（1）①∵ ∴ ∵ ∴与是“融通三角形”； ②如图，在线段上取点G，使，连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）由题意可得： 在线段上取点G，使，连接 由（1）可知 ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得： ∴ ∴融通角是 （3）分两种情况：当时，如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴符合题意 ∴； 当时，过点D作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴符合题意 设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 综上：的值为4或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 4．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如，． 观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当，即或1时，的值均为0；当，即或0时，的值均为3． 我们给出如下定义： 对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于x的多项式关于对称，则 ； (3)代数式的对称轴是 ． 【答案】(1)，对称轴是 (2)4 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）利用完全平方公式把原式变形，结合对称轴的意义解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故的对称轴是． （2）解：根据题意，得， 故的对称轴是． ∵关于x的多项式关于对称， ∴， 解得， 故答案为：4． （3）解：根据题意，得 ， 故代数式的对称轴是， 故答案为：． 5．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，请求的取值范围． 【答案】(1)真， ； (2)或或或； (3)． 【分析】（）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为逆用分式的加减法运算可得第二空的答案； （）先把原分式化为 ，再结合为整数，为整数，可得或或或，从而可得答案； （）先把原分式化为，再结合，从而可得答案； 本题考查了新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解“真分式”“假分式”“带分式”的定义以及转化方法是解题的关键． 【详解】（1）根据新定义可得： 是真分式，， 故答案为：真，； （2）∵且为整数，为整数， ∴或或或， 解得：或或或； （3）∵而， ∴， ， ∴， ∴． 6．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 类型十、乘法公式与因式分解的应用 1．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）利用两种方法表示出面积，即可得出结论； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 2．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【答案】(1)； (2)B (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字作呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积；图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的面积可表示为：， 图3中阴影部分的面积可表示为：； （2）解：由图2、图3面积相等得，， 故选： B； （3）解：原式， ， ， ， ∵， ， ∴的个位数字为． 3．借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ； 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则 ； （3）若满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，； （2）由题意知，，进而将，代入求解即可； （3）设，，根据求解即可； （4）因为种花区域的面积和为，所以，根据即可求解； 【详解】解：（1）， ； 故答案为：， （2），， ； 故答案为： （3）设，，则，． 所以． 所以的值是； （4）种草区域的面积和为． 因为，，，所以，． 因为种花区域的面积和为，所以． 因为，所以． 所以． 所以． 所以种草区域的面积和为． 4．数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1：________； 方法2：________． 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出，，三个代数式之间的等量关系为________； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值． 【答案】（1）①方法1：；②方法2：；（2）；（3）65 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景以及应用，根据阴影部分的两个面积代数式相等得出是解此题的关键． （1）①方法1：求出阴影部分正方形的边长即可得出答案；②方法2：用大正方形的面积减去个小正方形的面积即可得出答案； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得出答案； （3）将，代入（2）中的等量关系即可得出答案． 【详解】解：（1）根据图形可得： ①方法1：； ②方法2：； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得：； （3）∵，，， ∴． 5．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)，时多项式有最小值，最小值4． (3)是等腰三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出，，，即可判断的形状． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ∵， ∴ ∴当，时，有最小值，最小值为4． 即，原式有最小值4． （3） ∴ 则， ∵， ∴，，， 解得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 6．综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中，得到的结论，解决问题：若，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计算中的应用，本题具有一定的综合性，数形结合是解决问题的关键． （1）根据图1中大正方形面积的两种求法即可得到结论； （2）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等，表示出面积列等式问题可解； （3）由（2）中得到的结论得到，代入已知条件计算即可； （4）数形结合得到所拼成的长方形或正方形的面积为：，从因式分解的角度看，可分解为或，展开计算即可得的值． 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ， 的值为； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 或7． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、轴对称的规律 1．如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在射线OA，OB上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则 ．（用含的代数式表示） 5．如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，按此规律下去，记，，则 ．    6．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    类型二、等腰三角形的手拉手 1．如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 2．如图，点C在上，作线段的同侧作等边和等边相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（   ） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 3．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 4．如图，在直线的同一侧作两个等边和，连接与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的结论有 ． 5．如图，中，，，D是斜边上一动点，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，．点O是的中点，连接、，下列结论：①；②；③；④的最小值为4．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）    6．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有 类型三、分式中的“倒数法” 1．若，则的值是（    ）． A． B． C． D． 2．若，则 的值等于 A．9 B．7 C．11 D．3 3．若x＜0，，则的值为（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．已知，则 ． 5．若，则 ， ．若，则 ． 6．已知：，且，则 ． 类型四、最值问题 1．如图，在中，，，，平分，点P、Q分别是，边上的动点，则的最小值是（   ）      A．7 B．6 C．5 D．4 2．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 3．如图，是边长为4的等边三角形，是等边的边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点．当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为 ． 5．在 中，，平分 ，是上一动点，取中点，连接、，若 ，则周长的最小值是 ． 6．如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 ． 类型五、几何中的正确结论 1．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，在中，，平分，于点，于点，与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图所示，在中，D是上一点，，E是的中点，设，，，的面积分别为，，，，给出下面四个结论：①；②；③与的周长相等；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 5．如图，已知，点在、之间，点、分别在、上，连接、，的平分线的反向延长线与的角平分线交于点，交于点，，，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有 ．（填出所有正确结论的序号） 6．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 ． 类型六、多边形的平面镶嵌 1．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 2．阅读与思考 请阅读下面小论文，并完成相应的学习任务． 关于同一种正多边系的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分定全覆盖，一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度就是，如果一个内角度数能整除，那么这样的正边形其可以进行平面密铺，图1而图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形，德国数学家莱因哈特（1895-1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西-曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形，图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案． (1)面小论文中提到“对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是_____．（填出字母代号即可） A．数形结合思想    B．转化思想    C．方程思想 (2)图3中的度数为_____． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请你再写出一种可以进行密铺的正多边形 (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，求的度数． 3．【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数                   … （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ． ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． 4．【问题再现】 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角． 【问题提出】 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？ 【问题解决】 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_____________________； 结论2：_____________________； 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 【问题拓广】 请你仿照上面的研究方式，探索出同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案：①_________；②__________（直接写出两种方案）． 5．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 6．阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 类型七、平面直角坐标系中的三角形 1．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，．      (1)①求点到的距离； ②点为的三条________线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号） (2)如图1，射线交的垂直平分线于点，证明是等腰直角三角形． (3)如图2，为轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与轴，线段分别交于点，，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 3．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：、 （1）如图，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出 ， ； ②点的坐标是 ； （2）如图3，当（大于）的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作 ，并且，连接 ，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变，请说明理由； 【拓展应用】如图，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的一个动点，点在第一象限（且在的上方）．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 4．已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰． (1)若点A的横坐标是，直接写出线段的长为______； (2)连，若P为上一点，过点P作，垂足为Q，且． ①直接写出______； ②求证：； (3)在（2）下，连，若，求点P到x轴的距离的长． 5．如图，在平面直角坐标系内，有一个等腰．        图1           图2            图3 (1)如图1，点，点，点的坐标为________________． (2)如图2，点，点在轴负半轴上，点在第四象限，过点作垂直于轴于点，求的值． (3)如图3，点与原点重合，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点为轴负半轴上一点，点为线段中点，在轴正半轴上取点，使，过点作，交的延长线于点，请补全图形，判断与的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，在平面直角坐标系中，，点B为y轴正半轴上一动点，点C落在y轴的右侧． (1)如图1，若，直接写出点C的坐标； (2)如图1，当x轴平分，且与交于点D，，之间的数量关系； (3)如图2，过B点作垂直于y轴，且，连接交y轴于E，问当B点运动时，线段BE的长度是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由 类型八、归纳问题 1．观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 2．观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 4．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明． 5．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 类型九、新定义问题 1．我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 2．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 4．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如，． 观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当，即或1时，的值均为0；当，即或0时，的值均为3． 我们给出如下定义： 对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于x的多项式关于对称，则 ； (3)代数式的对称轴是 ． 5．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，请求的取值范围． 6．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 类型十、乘法公式与因式分解的应用 1．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 2．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 3．借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ； 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则 ； （3）若满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 4．数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1：________； 方法2：________． 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出，，三个代数式之间的等量关系为________； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值． 5．“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 6．综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中，得到的结论，解决问题：若，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$