第12章　定义　命题　证明 课件 2024-2025 学年苏科版数学七年级下册

12.1　定　义 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题6分，共30分） 1. 下列语句中，属于定义的是（　C　） A. 对顶角相等 B. 作一条直线和已知直线垂直 C. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 D. 图形的平移不改变图形的形状和大小 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 有下列语句：① 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角；② 大于90°且小于180°的角叫作钝角；③ 同位角相等吗；④ 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.其中，是定义的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 有理数与整数、 之间的从属关系如图所示，则 表示的内容是（　B　） A. 0 B. 分数 C. 小数 D. 正整数 B 4. ★如果一个n位数中各数字的n次幂之和等于该数本身，那么这个数叫作“自恋数”.下列数中是“自恋数”的为（　B　） A. 66 B. 153 C. 225 D. 250 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. ★★如果10b＝n，那么b叫作n的“拉格数”，记为d（n）.由定义可知：d（n）＝b.如102＝100，则d（100）＝d（102）＝2.给出下列关于“拉格数”d（n）的结论：① d（10）＝10；② d（10－2）＝－2；③ ＝3；④ d（mn）＝d（m）＋d（n）；⑤ d ＝d（m）÷d（n）.其中，正确的有（　B　） A. ①③④ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每题6分，共24分） 6. 写出倒数的定义： 　如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数　. 7. 有下列语句：① 两点确定一条直线；② 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；③ 三角形的边是一条线段；④ 同角的余角相等.其中，不是定义的有 　3　个. 8. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，它有一定的规律性，数55 　是　（填“是”或“不是”）三角形数. 9. ★★任意两个数a，b，按规则c＝a＋b－ab扩充得到一个新数c，新数c叫作“鸿蒙数”.例如：数1，2的“鸿蒙数”c＝1＋2－1×2＝1.若 a＝2，b＝x2－2x＋2，试比较b，c的大小：b 　≥　c. 如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数 关系，其中一个数叫作另一个数的倒数　 3　 是　 ≥　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共46分） 10. （8分）请用两种方法将如图所示的几何体进行分类，并指出分类的依据. 第10题 解：答案不唯一，如按柱体、锥体、球体分：柱体有①③④，锥体有②⑤，球体有⑥.按表面是平面还是曲面分：表面都是平面的有③④⑤，表面既有平面又有曲面的是①②，表面都是曲面的有⑥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. （12分）写出下列概念的定义： （1） 数轴； 解：（1） 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 （2） 乘方； 解：（2） 求相同因数的积的运算叫作乘方 （3） 线段的中点； 解：（3） 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （4） 对顶角. 解：（4） 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （10分）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”.判断下面各数是否为“好数”： （1） 250； 解：设两个连续奇数为2n＋1，2n－1，则（2n＋1）2－（2n－1）2＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n＋1）＝4n×2＝8n. （1） 因为250＝8×31＋2，所以250不是“好数” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 520. 解：设两个连续奇数为2n＋1，2n－1，则（2n＋1）2－（2n－1）2＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n＋1）＝4n×2＝8n. （2） 因为520＝8×65，所以520是“好数” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★（16分）王老师下定义如下： 有序数对（a，b，c）叫作关于x的二次多项式ax2＋bx＋c的附属系数对；关于x的二次多项式ax2＋bx＋c叫作有序数对（a，b，c）的附属多项式. 试根据王老师所下定义解决问题： （1） 关于x的二次多项式x2－2x＋3的附属系数对为 　（1，－2，3）　； （1，－2， 3） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 若有序数对（a，2，－1）的附属多项式与有序数对（－3，－2，4）的附属多项式的差中不含二次项，求a的值. 解：依题意，得（ax2＋2x－1）－（－3x2－2x＋4）＝ax2＋2x－1＋3x2＋2x－4＝（a＋3）x2＋4x－5.因为差中不含二次项，所以a＋3＝0，解得a＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$12.4　定　理 第1课时　三角形内角和定理及其推论 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题6分，共30分） 1. （盐城中考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠1的度数为（　C　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 第1题　　 　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A的度数为（　B　） A. 95° B. 85° C. 75° D. 65° 第2题　　 　 B 3. 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C的度数为（　A　） A. 32° B. 36° C. 40° D. 128° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　B　） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 第4题　　 　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. （大庆中考）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是△ABC的外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E. 若∠A＝60°，则∠BEC的度数是（　B　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 第5题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题（每题7分，共28分） 6. 某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的∠3＝110°，则∠1比∠2大 　70　°. 第6题　　 70　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB. 若∠A＝70°，∠B＝50°，则∠BDC＝ 　100　°. 第7题　　 100　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB，AC于点E，F. 若∠B＝30°，∠AEF＝50°，则∠DCB＝ 　20　°. 第8题　　 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. ★★如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　（填“增加”或“减少”） 　10°　（填度数）. 第9题 减少　 10°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题（共42分） 10. （10分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠B，求证：DE⊥AB. 第10题 解：∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.∵ ∠1＝∠B，∴ ∠A＋∠1＝90°.∴ ∠ADE＝180°－（∠A＋∠1）＝180°－90°＝90°. ∴ DE⊥AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （14分）如图，在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD＝ ∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数. 第11题 解：∵ ∠ADB＝100°，∠C＝80°，∴ ∠DAC＝∠ADB－∠C＝100°－80°＝20°.∵ ∠BAD＝ ∠DAC，∴ ∠BAD＝ ×20°＝10°. ∴ ∠ABC＝180°－∠ADB－∠BAD＝180°－100°－10°＝70°.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝ ∠ABC＝ ×70°＝35°. ∴ ∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝10°＋35°＝45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. ★★（18分）如图所示的几个图形是五角星和它的变形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 如图①，该图形的形状是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 解：（1） 如图①，由三角形内角和定理的推论，得∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D. 由三角形内角和定理，得∠A＋∠1＋∠2＝180°. ∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 当图①中的点A向下移动到BE上时（如图②），五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？试说明理由. 解：（2） 无变化　理由：如图②，由三角形内角和定理的推论，得∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠CAD＋∠D. 由三角形内角和定理，得∠B＋∠1＋∠2＝180°.∴ ∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 当图②中的点C向上移动到BD上时（如图③），五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？试说明理由. 解：（3） 无变化　理由：∵ ∠ECD是△BCE的一个外角，∴ ∠ECD＝∠B＋∠E. ∴ ∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠CAD＋∠ACE＋∠D＋∠ECD＝∠CAD＋∠ACD＋∠D＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.4　定　理 第2课时　多边形的内角和、外角和定理 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题6分，共30分） 1. 下列各度数不是多边形的内角和的为（　D　） A. 540° B. 900° C. 1080° D. 1700° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°，则∠5的度数为（　B　） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 第2题　　　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于（　C　） A. 1440° B. 1620° C. 1800° D. 1980° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为（　D　） A. 270° B. 360° C. 450° D. 540° 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ★★一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　D　） A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题（每题7分，共28分） 6. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 　六　边形. 7. 如图，小明从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线走6米后再向左转θ……如此走下去.当他第一次回到点A时，发现自己走了72米，则θ的度数为 　30°　. 第7题　　 　　 六　 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A，D分别落在点A1，D1处.若∠1＋∠2＝145°，则∠B＋∠C＝ 　107.5°　. 第8题 9. ★★一条直线把五边形分成两个多边形，它们的内角和的度数分别是a和b，则a＋b最大为 　900°　. 107.5°　 900°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题（共42分） 10. （12分）已知n边形的内角和θ＝（n－2）·180°. （1） 甲同学说：“θ能取360°.”而乙同学说：“θ也能取630°.”甲、乙两人的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由. 解：（1） 甲的说法对　当θ＝360°时，（n－2）·180°＝360°，解得n＝4　乙的说法不对　理由：当θ＝630°时，（n－2）·180°＝630°，解得n＝ .∵ n为整数，∴ θ不能取630°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若n边形变为（n＋x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值. 解：（2） 由题意，得（n－2）·180°＋360°＝（n＋x－2）·180°，解得x＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （12分）如图，将六边形纸片ABCDEF沿BG，DG剪去四边形BCDG后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝400°，求∠G的度数. 第11题 解：∵ 六边形ABCDEF的内角和为180°×（6－2）＝720°，且∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝400°， ∴ ∠GBC＋∠C＋∠CDG＝720°－400°＝320°.∵ 四边形BCDG的内角和为360°， ∴ ∠G＝360°－（∠GBC＋∠C＋∠CDG）＝40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. ★★（18分） （1） 如图①，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分△ABC的外角∠DBC，∠ECB. ① 若∠A＝50°，则∠O＝ 　115°　，∠P＝ 　65°　； ② 若∠A＝α，则∠O＝ 　90°＋ α　， ∠P＝ 　90°－ α　（用含α的代数式表示）. 115°　 65°　 90°＋ α　 90°－ α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 如图②，BP，CP分别平分四边形ABCD的外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由. 　　 解：∠P＝180°－ （∠A＋∠D）　理由：∵ BP，CP分别平分∠EBC，∠FCB，∴ ∠PBC＝ ∠EBC，∠PCB＝ ∠BCF. ∵ ∠P＝180°－（∠PBC＋∠PCB），∴ ∠P＝180°－ （∠EBC＋∠BCF）＝180°－ [180°＋180°－（∠ABC＋∠DCB）]＝ （∠ABC＋∠DCB）.∵ ∠ABC＋∠DCB＝360°－∠A－∠D， ∴ ∠P＝ （360°－∠A－∠D）＝180°－ （∠A＋∠D）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.4　定　理 第3课时　反 证 法 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题6分，共30分） 1. （常州中考）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例.举的反例中的n可以为（　A　） A. －2 B. － C. 0 D. 2. 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　B　） A. a∥c B. a与b不平行 C. b∥c D. a⊥b A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 对于命题“如果∠1＝∠2＝90°，那么∠1与∠2互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例为（　C　） A. ∠1＝80°，∠2＝110° B. ∠1＝10°，∠2＝169° C. ∠1＝60°，∠2＝120° D. ∠1＝60°，∠2＝140° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图，AB∥CD，直线AD与直线BC有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（　B　） A. ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠3 D. ∠B＝∠3 第4题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. ★用反证法证明“a，b至少有一个是0”时，应该假设（　A　） A. a，b都不是0 B. a，b只有一个是0 C. a，b至多有一个是0 D. a，b两个都是0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每题7分，共28分） 6. 用一个a的值说明命题“若a＞0，则a2＞ ”是假命题，这个值可以是 　 （答案不唯一）　. 7. 用反证法证明“若a＞b，则－3a＜－3b”时，应先假设 　－3a≥－3b　. （答案不唯一）　 －3a≥ －3b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：① ∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；② 所以一个三角形中不能有两个直角；③ 假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为 　③①②　. 9. ★可以说明命题“不等式组 没有整数解”是假命题的反例最多有 　2　个. ③①②　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共42分） 10. （9分）举反例说明下列命题是假命题： （1） 任何数的绝对值都大于0； 解：（1） 0的绝对值是0，但它不大于0，∴ 是假命题 （2） 两个锐角的和是直角； 解：（2） 举例不唯一，如45°与60°的角都是锐角，但45°＋60°≠90°，即和不是直角，∴ 是假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） 两条直线被第三条直线所截，内错角相等. 解：（3） 举例不唯一，如图，∠1与∠2是内错角，但它们不相等， ∴ 是假命题 　第10题答案 第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. （12分）试用举反例的方法说明下列命题的逆命题是假命题. （1） 负数是－a； 解：（1） 它的逆命题是“－a是负数”.反例：当a＝－3时，－a＝－（－3）＝3，而3是正数，不是负数（反例不唯一），∴ 逆命题是假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） x＝3是不等式x－1＞1的解； 解：（2） 它的逆命题是“不等式x－1＞1的解是x＝3”.反例：当x＝4时，x－1＝3，此时x－1＞1成立（反例不唯一），∴ 逆命题是假命题 （3） 有无数个解的是不等式； 解：（3） 它的逆命题是“不等式的解有无数个”.反例：不等式（x－1）2≤0的解只有一个，即x＝1，不是无数个（反例不唯一），∴ 逆命题是假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （4） 只有一个解的是二元一次方程组. 解：（4） 它的逆命题是“二元一次方程组的解只有一个”.反例：二元一次方程组 的解有无数个，不是一个（反例不唯一），∴ 逆命题是假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （10分）用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.求证：∠1＝∠A＋∠B. 证明：假设∠1≠∠A＋∠B. ∵ ∠1＋∠ACB＝180°，∴ ∠A＋∠B＋∠ACB≠180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾. ∴ 假设不成立.∴ 原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B 第12题答案　 第12题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★（11分）用反证法证明：如果两个整数的乘积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数. 解：假设这两个整数都是奇数，分别为2m＋1，2n＋1（m，n为整数），则（2m＋1）（2n＋1）＝4mn＋2m＋2n＋1＝2（2mn＋m＋n）＋1.∵ m，n为整数，∴ 2（2mn＋m＋n）是偶数.∴ 2（2mn＋m＋n）＋1是奇数，这与“两个整数的乘积是偶数”相矛盾.∴ 假设不成立.∴ 这两个整数中至少有一个是偶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第12章检测卷 一、 选择题（每题2分，共16分） 1. 下列语句中，不属于命题的是（　C　） A. 如果两个角都是30°，那么这两个角是对顶角 B. 不平行的两条直线只有一个交点 C. x与y的差等于x－y吗 D. 如果b＋1＜a＋1，那么a＋1＞b＋1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 下列命题是真命题的为（　D　） A. 若x2＋kx＋ 是完全平方式，则k＝1 B. 三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同角或等角的余角相等 3. 对于命题“若a＋b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的反例为（　C　） A. a＝2，b＝3 B. a＝－2，b＝3 C. a＝2，b＝－3 D. a＝－2，b＝－3 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 下列命题的逆命题是假命题的为（　D　） A. 若a＋b＞0，则a＞0，b＞0 B. 二元一次方程3x＋y＝1的一个解是 C. 若两个角互余，则这两个角的度数为38°，52° D. 若ax＝6，ay＝8，则ax＋y＝48 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图，下列推理不正确的是 （　C　） A. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC＋∠C＝180° B. ∵ ∠1＝∠2，∴ AD∥BC C. ∵ AD∥BC，∴ ∠3＝∠4 D. ∵ ∠A＋∠ADC＝180°，∴ AB∥CD 第5题　　　　　　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1的度数为（　D　） A. 45° B. 60° C. 65° D. 75° 第6题　　　　　　 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 如图，把△ABC沿EF翻折，点B，C的对应点分别为B'，C'.若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（　C　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 第7题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 有下列命题：① 若C是线段AB的中点，则AC＝BC；② 若射线OC平分∠AOB（∠AOB小于平角），则∠AOB＝2∠AOC；③ 若AB＝BC＝ AC，则B是线段AC的中点；④ 若∠AOC＝∠BOC，则射线OC平分∠AOB（∠AOB小于平角）.其中，原命题与逆命题都是真命题的个数是（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、 填空题（每题3分，共30分） 9. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是 　两个角为一个直角三角形的两锐角　. 10. 将命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……，那么……”的形式：如果 　两条直线垂直于同一条直线　，那么 　这两条直线互相平行　. 两个角为一个直角 三角形的两锐角　 两条直线垂直于同一条直线　 这两条 直线互相平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 第11题　　　　 11. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝ 　101　°. 101　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 命题“同角的余角相等”的逆命题是 　如果几个角相等，那么这几个角是同一个角的余角　. 13. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中 　三个角都小于60°　. 14. 如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是 　五　边形. 如果几个角相等，那么这几 个角是同一个角的余角　 三个角都小于60°　 五　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 第15题　　　　 15. （黄冈中考）如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 　30　°. 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，在△ABC中，∠A＝86°，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠EDF的度数为 　47°　. 第16题　　　　 47°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后变成四边形，则∠1＋∠2＝ 　220°　. 第17题 220°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. 如图，直线a∥b，在图①中，可得∠1＋∠2＝180°；在图②中，可得∠1＋∠2＋∠P1＝360°，则按照以上规律，∠1＋∠2＋∠P1＋ 　　 　　 　　 第18题 （n＋1） ×180°　 …＋∠Pn＝ 　 （n＋1）×180°　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、 解答题（共54分） 19. （6分）已知一个多边形的边数为n. （1） 若n＝5，求这个多边形的内角和； 解：（1） 当n＝5时，（5－2）×180°＝540°，∴ 这个多边形的内角和为 540° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 若这个多边形的内角和的 比一个四边形的外角和多90°，求n的值. 解：（2） 由题意，得 ×（n－2）×180°－360°＝90°， 解得n＝12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. （8分）用反证法证明：任意三角形的三个外角（每个顶点外取一个外角）中至多有一个直角. 第20题 已知：如图，∠BAD，∠CBE，∠ACF是△ABC的三个外角. 求证：∠BAD，∠CBE，∠ACF中至多有1个直角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：假设∠BAD，∠CBE，∠ACF中至少有2个直角，不妨设∠BAD＝∠CBE＝90°.∵ ∠BAD＋∠BAC＝180°，∠CBE＋∠ABC＝180°，∴ ∠BAC＝90°，∠ABC＝90°.∴ ∠BAC＋∠ABC＝180°.∴ ∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＞180°，这与三角形三个内角的和等于180°相矛盾.∴ 假设不成立.∴ ∠BAD，∠CBE，∠ACF中至多有1个直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. （10分） （1） 如图，∠A＝∠C. 若AB∥CD，则BC∥AD. 请说明理由. 理由：∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠ABE＝∠ 　C　（　 　两直线平行，同位角相等　　）. ∵ ∠A＝∠C（已知）， ∴  　∠ABE＝∠A　（　 　等量代换　　）. ∴ BC∥AD（　 　内错角相等，两直线平行　　）. C　 两直线平行，同位角相等　 ∠ABE＝∠A　 等量代换　 内错角相等，两直线平行　 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.若是真命题，请写出证明过程；若是假命题，请举出反例. 解：问题（1）的逆命题：已知∠A＝∠C，若 BC∥AD，则AB∥CD　它是真命题　∵ BC∥AD（已知），∴ ∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等）.∵ ∠A＝∠C（已知），∴ ∠ABE＝∠C（等量代换）.∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. （6分）求证：四位数 一定能被101整除. 解：∵ ＝1000a＋100b＋10a＋b＝1010a＋101b， ∴ ÷101＝（1010a＋101b）÷101＝10a＋b.∵ a为1～9的自然数，b为0～9的自然数，∴ 10a＋b为整数，即四位数 一定能被101整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. （12分）如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E. （1） AD与BC平行吗？请说明理由. 解：（1） AD∥BC　理由：∵ ∠ADE＋∠ADF＝180°，∠ADE＋∠BCF＝180°，∴ ∠ADF＝∠BCF. ∴ AD∥BC. 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） AB与EF的位置关系如何？请说明理由. 解：（2） AB∥EF　理由：∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠ABE＝ ∠ABC. 又∵ ∠ABC＝2∠E，即∠E＝ ∠ABC，∴ ∠E＝∠ABE. ∴ AB∥EF. 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3） 若AF平分∠BAD，求证：∠BAD＝2∠F. 解：（3） ∵ AB∥EF，∴ ∠BAF＝∠F. ∵ AF平分∠BAD，∴ ∠BAD＝2∠BAF. ∴ ∠BAD＝2∠F 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （12分）感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD＝∠A＋∠B（不需证明）. 探究：如图②，在四边形ABDC中，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的关系，并说明理由. 解：探究：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C　理由：如图②，连接AD并延长至点F. ∵ ∠BDF＝∠BAD＋∠B，∠CDF＝∠C＋∠CAD，又∵ ∠BDC＝∠BDF＋∠CDF，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD， ∴ ∠BDC＝∠BAD＋∠B＋∠C＋∠CAD＝∠BAC＋∠B＋∠C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C. 若∠A＝50°，则∠ABX＋∠ACX＝ 　40　°.拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD. 若∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，则∠BEC＝ 　125　°. 40　 125　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$第12章小测 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题6分，共30分） 1. 下列命题是真命题的为（　C　） A. 垂直于同一条直线的两直线垂直 B. 相等的角是对顶角 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两点之间，直线最短 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，说明它是假命题的反例可以是（　D　） A. ∠1＝50°，∠2＝40° B. ∠1＝50°，∠2＝50° C. ∠1＝40°，∠2＝40° D. ∠1＝∠2＝45° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3的度数为（　A　） A. 59° B. 60° C. 56° D. 22° 第3题　　　 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE. 给出下列四个结论：① ED∥AC；② BE∥CD；③ CA平分∠BCE；④ ∠BED＝∠ACD. 其中，正确的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第4题　　　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ★★如图，在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与四边形ABCD的外角∠CBE的平分线相交于点P，且∠D＋∠C＝210°，则∠P的度数为（　B　） A. 10° B. 15° C. 30° D. 40° 第5题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题（每题7分，共28分） 6. 把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成“如果……，那么……”的形式： 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行　. 7. “任意两个负数之和是负数”的逆命题是 　如果两个数的和是负数，那么这两个数都是负数　. 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线 平行　 如果两个数的和是负 数，那么这两个数都是负数　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B与∠D的度数分别是20°和30°，牛叔叔量得∠BCD＝140°，请你帮助牛叔叔判 断该零件 　合格　（填“合格”或“不合格”）. 合格　 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第9题 9. ★★如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠C＝100°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则∠BED＋∠BFD＝ 　220　°. 220　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题（共42分） 10. （10分）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补. 解：已知：如图，l1∥l2， l1，l2都被 l3所截.求证：∠1＋∠2＝180°.证明：假设∠1＋∠2≠180°.∵ l1∥l2，∴ ∠1＝∠3.∵ ∠1＋∠2≠180°，∴ ∠3＋∠2≠180°，这与平角为180°矛盾.∴ 假设不成立.∴ ∠1＋∠2＝180° 　第10题答案 第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （14分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，∠3＋∠2＝180°，∠1＝∠B. （1） 求证：DE∥BC； 解：（1） ∵ ∠DFE＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∴ ∠DFE＝∠3.∴ BD∥EF. ∴ ∠1＝∠ADE. ∵ ∠1＝∠B，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ DE∥BC 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数. 解：（2） 由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF. ∴ ∠2＝∠ADC. ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADC＝2∠ADE＝2∠B. ∵ ∠3＋∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，∴ 3∠B＋2∠B＝180°.∴ ∠B＝36°.∴ ∠ADC＝72°.∴ ∠2＝72° 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. ★★（18分）如图①，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线. （1） 若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BPC的度数为 　120°　； 120°　 （2） 若∠A＝80°，求∠BPC的度数； 解：（2） ∵ BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴ ∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB. ∴ ∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A. ∵ ∠A＝80°，∴ ∠BPC＝90°＋ ∠A＝90°＋ ×80°＝130° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 写出∠BPC与∠A之间的数量关系，并说明理由； 解：（3） ∠BPC＝90°＋ ∠A　理由：∵ BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴ ∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB. ∴ ∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （4） 如图②，在四边形ABCD中，BP，CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，直接写出∠BPC与∠A＋∠D的数量关系. 　　　 解：（4） ∠A＋∠D＝2∠BPC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$12.3　证　明 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题7分，共35分） 1. 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（　D　） A. 只需观察得出 B. 只需依靠经验获得 C. 通过亲自试验得出 D. 必须进行有根据地推理 2. 通过观察你能肯定的是（　C　） A. 图中线段是否相等 B. 图中线段是否平行 C. 图中线段是否相交 D. 图中线段是否垂直 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，直线l∥AB，AC为角平分线，下列结论错误的是（　B　）A. ∠1＝∠4 B. ∠1＝∠5 C. ∠2＝∠3 D. ∠1＝∠3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如图，直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c. 证明：① ∵ a⊥b（已知）， ∴ ∠1＝90°（垂直的定义）. ∵ b∥c（已知）， ② ∴ ∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）. ③ ∴ ∠2＝∠1＝90°（等量代换）. ④ ∴ a⊥c（垂直的定义）. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 阅读下面的材料，其①～④步中数学依据错误的是（　B　） B 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. ★★已知α，β是两个钝角的度数，计算 （α＋β）的值，甲、乙、丙、丁四名同学算出了四个不同的结果：24°，48°，76°，86°.其中只有一个结果是正确的，则正确的结果是（　C　） A. 86° B. 76° C. 48° D. 24° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题（每题7分，共21分） 6. 如图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵  　∠1＋∠3＝180°　，∴ a∥b. 第6题　　　 ∠1＋∠3＝180°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 　BC　∥ 　ED　，理由是 　内错角相等，两直线平行　. 第7题　　　 BC　 ED　 内错角相等，两直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，在横线上填写推理依据. ∵ ∠1＝∠2（已知）， ∴ l1∥l2（内错角相等，两直线平行）. ∴ ∠3＝∠4（　 　两直线平行，同位角相等　　）. 第8题 两直线平行，同位角相等　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、 解答题（共44分） 9. （12分）填空，完成下列证明过程. 第9题 如图，点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，连接AE，∠1＝∠2，∠B＝∠D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 求证：AB∥CD. 证明：∵ ∠1＝∠2（　 　已知　　）， ∴ AD∥BC（　 　内错角相等，两直线平行　　）. ∴ ∠D＝∠DCE（　 　两直线平行，内错角相等　　）. ∵ ∠B＝∠D（　 　已知　　）， ∴ ∠B＝∠DCE（　 　等量代换　　）. ∴ AB∥CD（　 　同位角相等，两直线平行　　）. 已知　 内错角相等，两直线平行　 两直线平行，内错角相等　 已知　 等量代换　 同位角相等，两直线平行　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. ★（14分）已知：一个三位数的百位数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1. 求证：这个三位数一定能被3整除. 解：设十位数字为n，则百位数字为n＋1，个位数字为n－1，则三位数为100（n＋1）＋10n＋（n－1）＝111n＋99.∵ 111n＋99＝3（37n＋33），∴ 这个三位数一定能被3整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. ★★（18分） （1） 如图①，在四边形ABCD中，O是对角线BD上的任意一点，连接OA，OC. 求证：S△OBC∶S△OCD＝S△OAB∶S△OAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：（1） 如图①，过点C作CM⊥BD于点M，过点A作AN⊥BD于点N. ∵ S△OBC＝ OB·CM，S△OCD＝ OD·CM，S△OAB＝ OB·AN，S△OAD＝ OD·AN，∴ S△OBC∶S△OCD＝OB∶OD，S△OAB∶S△OAD＝OB∶OD. ∴ S△OBC∶S△OCD＝S△OAB∶S△OAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： （2） 能　答案不唯一，如S△ABD∶S△CBD＝S△AOD∶S△COD （2） 如图②，在△ABC中，你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论（写出一个即可）；若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$12.2　命　题 第12章　定义　命题　证明 一、 选择题（每题6分，共30分） 1. 下列语句中，不是命题的为（　C　） A. 两点之间线段最短 B. 在同一个平面内，两直线不平行就相交 C. 连接A，B两点 D. 对顶角相等 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 关于命题“内错角相等，两直线平行”的条件和结论，下列说法中正确的是（　A　） A. 条件是内错角相等，结论是两直线平行 B. 条件是两直线平行，结论是内错角相等 C. 条件和结论都是内错角相等 D. 条件和结论都是两直线平行 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 下列命题中，属于真命题的是（　B　） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为180°，则这两个角互补 C. 若a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b D. 同位角相等 4. 下列命题的逆命题是真命题的为（　A　） A. 两直线平行，内错角相等 B. 如果a＝b，那么a2＝b2 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 如果x＞1，那么x2＞1 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. ★有下列命题：① 如果a＞b，那么｜a｜＞｜b｜；② 如果ac2＞bc2，那么a＞b；③ 二元一次方程2x－y＝3的解为 ④ 若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余.其中，假命题的个数为（　D　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每题6分，共24分） 6. （无锡中考）命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是 　假　命题（填“真”或“假”）. 7. （宿迁中考）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　. 8. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 　如果两个角相等，那么它们的补角相等　. 假　 同位 角相等，两直线平行　 如果两个角相等，那么它们的补角相等　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. ★★如图，在从① ∠1＝∠2；② ∠C＝∠D；③ ∠A＝∠F这三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，真命题有 　3　个. 第9题 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共46分） 10. （12分）下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1） 同角的余角相等； （2） 三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分； （3） 在锐角三角形中，最大的角一定大于或等于60°. 解：（1）（3）是真命题，（2）是假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. （12分）已知命题：① 绝对值相等的两个数相等；② 能被2整除的数是偶数. （1） 将这两个命题分别改写成“如果……，那么……”的形式，并指出命题的条件与结论. 解：（1） 命题①改写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等.条件：两个数的绝对值相等，结论：这两个数相等　命题②改写为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数.条件：一个数能被2整除，结论：这个数是偶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 分别判断这两个命题是真命题还是假命题. 解：（2） 命题①是假命题，命题②是真命题 （3） 命题“相等的两个数的绝对值相等”与命题①是互逆命题吗？ 解：（3） 是互逆命题 （4） 命题“偶数能被2整除”与命题②是互逆命题吗？ 解：（4） 是互逆命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. （10分）对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：① a∥b；② b∥c；③ a⊥b；④ a∥c；⑤ a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成你认为正确的三个不同的命题，不必说明理由. 解：答案不唯一，如命题1：条件：b∥c，a⊥b，结论：a⊥c；命题2：条件：b∥c，a⊥c，结论：a⊥b；命题3：条件：a⊥b，a⊥c，结论：b∥c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★★（12分）如图，∠ABC的两条边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°. （1） 图①中：∠DEF＝ 　45°　，图②中：∠DEF＝ 　135°　； 45°　 135°　 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 观察图①、图②中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，并请你归纳出一个真命题. 　　 第13题 解：图①中，∠DEF与∠ABC相等；图②中，∠DEF与∠ABC互补　真命题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$