3.3.2抛物线的简单几何性质（二）课件 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 人教A版选修第一册 3.3 抛物线 第3课时 抛物线的简单几何性质（二） 学习目标 1.会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系. 2.能运用直线与抛物线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 3.掌握抛物线中的定点与定值问题的求解方法. 环节一 创设情境，提出问题 一、直线与抛物线的位置关系 问题1.类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系,思考直线与抛物线有几种位置关系?怎样判断其位置关系? 提示:直线与抛物线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与抛物线方程,转化为关于x(或y)的方程,利用方程的解来判断. 追问1.设直线l:y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0),两方程联立消去y,会得到一个什么样的方程?怎样判断这个方程的解的个数? 提示:两方程联立消去y,得k2x2+2(kb-p)·x+b2=0.当k=0时,方程有一解;当k≠0时,Δ>0⇒方程有两解;Δ=0⇒方程有一解;Δ<0⇒方程无解. 4 环节一 创设情境，提出问题 追问2.如果直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗? 提示:可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点. 5 环节一 创设情境，提出问题 填空:直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组 解的个数,即方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数. (1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有 一个公共点. (2)当k≠0时,Δ>0⇒直线与抛物线有两个不同的公共点,此时称直线与抛物线相交; Δ=0⇒直线与抛物线有一个公共点,此时称直线与抛物线相切; Δ<0⇒直线与抛物线没有公共点,此时称直线与抛物线相离. 6 环节二 例题练习，巩固理解 例1、 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点?有两个公共点?没有公共点? 分析:直线与抛物线方程联立,根据“Δ”的正负判断. 解:由题意,直线l的方程为y-1=k(x+2), 环节二 例题练习，巩固理解 (2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1). 环节二 例题练习，巩固理解 反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二项系数是否为0.若该方程为二次方程,利用判别式判断方程解的个数. 环节二 例题练习，巩固理解 例2、(1)已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,则AB所在直线的方程为　　　　　.  解析:(方法一)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 点差法 环节二 例题练习，巩固理解 消去x,得ky2-8y-32k+8=0, 此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标, 由根与系数的关系得y1+y2= . 又y1+y2=2,∴k=4. ∴所求弦AB所在直线的方程为4x-y-15=0. 答案:4x-y-15=0 传统方法：设而不求，韦达定理 环节二 例题练习，巩固理解 反思感悟 直线与抛物线相交的弦长问题,设直线和抛物线相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,直线的斜率为k. (2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p. (3)求解“中点弦”问题的两种方法: 环节二 例题练习，巩固理解 【变式训练2】 已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程. 解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y), 环节二 例题练习，巩固理解 环节二 例题练习，巩固理解 A B F x y D 图3.3-5 例3、经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.． 环节二 例题练习，巩固理解 A B F x y D 图3.3-5 环节二 例题练习，巩固理解 A B F x y D 图3.3-5 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 环节二 例题练习，巩固理解 A B F K x y 环节二 例题练习，巩固理解 A B F K x y 环节二 例题练习，巩固理解 A B F K x y 环节二 例题练习，巩固理解 反思感悟 直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,若该定值是个待求的未知量,则可以先利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,再证明该定值即为所求. 课后作业 1.教材P138 练习1、2、3、4、5. 2. 教材P138习题3.3 5、6、9、10、11、12 由方程组(*) 可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① (1)当k=0时,由方程①得y=1, 把y=1代入y2=4x,得x=, 这时,直线l与抛物线只有一个公共点. 当Δ=0,即2k2+k-1=0时,解得k=-1或k=,方程①只有一个解,从而方程组(*)只有一个解,这时直线l与抛物线只有一个公共点. 当Δ>0,即2k2+k-1<0时,解得-1<k<,即当-1<k<,且k≠0时,方程①有两个解,从而方程组(*)有两个解,这时直线l与抛物线有两个公共点. 当Δ<0,即2k2+k-1>0时,解得k<-1或k>,即当k<-1或k>时,方程①没有实数解,从而方程组(*)没有解,直线l与抛物线无公共点. 则有=8x1,=8x2, ∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). 又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2), 即4=,∴k=4. ∴所求弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0. (方法二)设弦AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1.联立 (1)一般的弦长公式:|AB|=|x1-x2|. 则y1+y2=2y,kAB=. ∵两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2), ∴2y·=2,即2y·=2.即=x-. 当AB⊥x轴时,AB中点为(2,0),适合上式, 故所求轨迹方程为=x-. 解法二:设直线AB的方程为y-1=k(x-2), 由y2-y+1-2k=0. 由已知可知恒成立. 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y),则y1+y2=,y1y2=, ∴x1+x2=)=[(y1+y2)2-2y1y2]=, ∴消去参数k,得=x-. 当AB⊥x轴时,AB中点为(2,0),适合上式,故所求轨迹方程为=x-. $$