精品解析：福建省晋江市 2024—2025学年上学期学科抽测诊断模拟（一）八年级数学试题

晋江市2024—2025年秋初中学科抽测诊断模拟（一）初二数学 2024.12 （本卷共8页，25道题．满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 学校______ 姓名______ 考生号______ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要调查九年级学生周末完成作业的时间，下面最恰当的是（ ） A. 对任课教师进行问卷调查 B. 查阅学校的图书资料 C. 进入学校网站调查 D. 对学生进行问卷调查 【答案】D 【解析】 【分析】对调查方式的合理性，调查对象的全面性，代表性，逐一判断． 【详解】解： A．对任课教师进行问卷调查，这种方式不合理； B．查阅学校的图书资料，不合理； C．进入学校网站调查，不合理； D．对学生进行问卷调查，合理． 故选：D． 【点睛】本题考查了调查特点，关键是在选取样本时，选取的样本要全面，具有代表性． 2 如图，AC平分∠BAD，∠B=∠D，AB=8cm，则AD=（　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据AC平分∠BAD可知∠DAC=∠BAC，再由∠B=∠D，AC=AC可证△DAC≌△BAC，因此可得AB=AD=8cm. 故选B 考点：全等三角形 3. 如图，中，是线段的垂直平分线，且分别交，于点D，E，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出是正确解决本题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线且分别交，于点D和E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 故选：B． 4. 在中，，若、分别垂直平分、，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线定理等知识点的应用，解此题的关键是求出的度数，进一步求出的度数，题目比较典型，难度不大． 根据线段垂直平分线性质求出，，推出，，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，就能求出答案． 【详解】解：∵、分别垂直平分、， ∴， ， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 5. 下列数组是勾股数的是（ ） A. 2、3、4 B. 0.3、0.4、0.5 C. 6、8、10 D. 7、12、15 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可． 【详解】A．，此数组不是勾股数； B．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数； C．，此数组是勾股数； D．，此数组不是勾股数； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足，则△ABC是直角三角形． 6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键．分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， 故选C． 7. 如图，在中，，平分交于点，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解此题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵，且， ∴，解得， ∴， 故选：B． 8. 观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 9. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 10. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列五个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】可证，可得，可判断①；可证，可得，，可判断③；再证是等边三角形，可判断⑤②；可证，，可判断④；即可求解． 【详解】解：、是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ()， ， 故①正确； 由①可得：， ， ， 即：， 在和中 ， ()， ，， 故③正确； 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， 故②正确； ，， ， ， ， ， ， ， ； 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，那么第三条斜边的长是 _________ 【答案】13cm 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三角形直角三角形，且两条直角边长分别为5cm、12cm ∴斜边长：cm 故答案为：13cm 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理求算是解题关键． 12. 如果，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根、立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是正确解决本题的关键． 先依据立方根的定义求得x的值，然后求得的值，最后再求平方根即可． 【详解】解：， ， ， ， 64的平方根是， 故答案为：． 13. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____． 【答案】40海里 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里， 根据勾股定理得：=40（海里）． 故答案为：40海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 14. 我们把顶角为的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的倍，如图，是“黄金三角形”，，的垂直平分线交于点，交于点，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，，如图，过作于，证明，可得，可得，可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵是“黄金三角形”， ∴，，， 如图，过作于， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查的是黄金三角形的定义，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=6，BM=5，则△EFM的周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】由垂直的定义可得出∠BFC=∠BEC=90°，结合M为BC的中点可得出EM=FM=BC=BM=5，再利用三角形的周长公式即可求出△EFM的周长． 【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E， ∴∠BFC=∠BEC=90°． 又∵M为BC的中点， ∴EM=FM=BC=BM=5， ∴C△EFM=EF+FM+EM=6+5+5=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及三角形的周长，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 16. 如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质与添加适当的辅助线是解答此题的关键． 如图1，根据同角的余角相等，即可判断①∶通过证明得，进而得出，从而可以判断②；由，再证、、，进而可以判断③；利用线段的等量代换可以判断④；通过证明，即可判断⑤． 【详解】解：设于Q，于K，如图1所示， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 若，则为等边三角形， ∴， 但题目中没有条件得到， 故②不一定成立； 如图2所示，连接， 由可得， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， ∵， ∴ ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴的周长为：， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故④错误； 如图3所示，过点N作于I，过点F作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴； 故⑤正确： 故答案为：①③⑤． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 18. 有一个小朋友拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，求竹竿高． 解：设竹竿高为尺，则门高______________尺．（用的代数式表示） 请将解答过程补充完整 【答案】，过程见解析 【解析】 【分析】根据把竹竿竖着放比门高出1尺，即可得到门高为尺，根据斜着放恰好等于门的对角线长，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设竹竿高为尺，则门高尺 根据题意，得： 解得：， 答：竹竿高为8.5尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，勾股定理．解题的关键是读懂题意，正确的表示出门高和门的对角线长． 19. 小范博士给同学们定义了一种新运算，规定，例如，．若关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，以及二元一次方程组、解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合新定义，得出，再运用加减消元法得，，结合，得，然后解出． 【详解】解：∵规定，且， ∴， ，得， ∴； 把代入， 得， ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 已知：△ABC求作：点P，使P到∠ABC的两边的距离相等，且使PB=PC（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析. 【解析】 【详解】试题分析：分别作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点． 试题解析：如图所示： ①以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点D、E； ②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧相交于点F，连接BF； ③分别以BC为圆心，以大于BC为半径画弧，两弧相交于H、G，连接HG， 则BF与HG的交点P即为所求点． 考点：1.作图—基本作图；2.角平分线的性质；3.线段垂直平分线的性质． 21. 已知和，AB=AD，，，AD与BC交与点P，点C在DE上． （1）求证：BC=DE （2）若，， ①求的度数 ②求证：CP=CE 【答案】（1）见解析；（2）②70°；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC≌△ADE即可得到BC=DE； （2）①先根据外角的性质求出∠BAP，进而求出∠CAE，然后根据等腰三角形的性质求解即可； ②根据“AAS”证明△ACP≌△ACE即可得到CP=CE； 【详解】解：（1）∵， ∴， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴BC=DE； （2）①∵，， ∴∠BAD=70°-30°=40°， ∴∠CAE=∠BAD=40°． ∵△ABC≌△ADE， ∴AC=AE， ∴∠E=∠ACE=； ②∵，∠E=∠ACE =70°， ∴∠APC=∠E=∠ACE =70°． ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ACP=∠E =70°， ∴∠APC=∠E=∠ACE =∠ACP =70°． 在△ACP和△ACE中 ， ∴△ACP≌△ACE（AAS）， ∴CP=CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在高AE上，且OA=OB，连接BO并延长交AC于点D， （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）若△BCD是等腰三角形，求∠BAC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45°或36°． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得AE平分∠BAC，再由OA=OB，得∠ABD=∠BAE，由此解答即可； （2）用分类讨论的思想，分为三种情况，分别是BD=BC，BD=DC，BC=DC，进行解答即可． 【详解】解：(1)∵AE为高，AB=AC ∴AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC ∵OB=OA ∴∠ABD=∠BAE ∴∠BAC=2∠ABD (2)∵△BCD是等腰三角形 ∴分为三种情况，分别是BD=BC，BD=DC，BC=DC ①若BD=BC 则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC ∵∠BAC=2∠ABD ∴∠C=∠BDC=3∠ABD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠DBC=2∠ABD ∵∠C+∠DBC+∠BDC=180° ∴8∠ABD=180° ∴∠ABD=22.5° ∵∠BAC=2∠ABD∴∠BAC=22.5°×2=45° ②若BD=DC 则∠C=∠DBC ∵∠C=∠ABC ∴点D与点A重合,这种情况不存在 ③若BC=DC 则∠CBD=∠CDB=∠ABD+∠BAC ∵∠BAC=2∠ABD ∠CBD=∠CDB=3∠ABD ∴∠C=∠ABD+∠DBC=4∠ABD ∵∠C+∠DBC+∠BDC=180° ∠ABD=18° ∵∠BAC=2∠ABD ∴∠BAC=18°×2=36° 综上所述∠BAC=45°或∠BAC=36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 23. （1）如图1，在中，D为的中点，若，求的取值范围； （2）如图2，在中，，D是线段上一动点，F为的中点，且，求与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，D是内一点，E是的中点，连，作，若，直接写出与的之间关系是______． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使，证明，再根据三角形的三边关系可得，再计算即可； （2）延长至G，使，连接，证明，由全等三角形的性质可得出，证出．证明，由全等三角形的性质可得出； （3）延长至G，使，连接，证明，由全等三角形的性质可得出，证明，由全等三角形的性质可得出，证出，由三角形内角和定理可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至G，使，连接， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点．如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为_________； （2）在绕点旋转的过程中，直接写出与的数量关系； 问题2：在绕点旋转的过程中，如图2，探究当直线时，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点旋转过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】问题1：（1）；（2）；问题2：；问题3： 【解析】 【分析】问题1：（1）先由折叠性质得，，然后证明，利用相似三角形的性质可求得； （2）连接，先由旋转性质得，，再证明即可得到结论； 问题2：先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； 问题3：如图2，连接、，由知，当、、共线时取等号，此时最小，由勾股定理求得，根据直角三角形的斜边中线性质得到，则，证明，利用相似三角形的性质求得 ，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：问题1：（1）由折叠性质得，， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接， 由旋转性质得，，又， ∴， ∴； 问题2：如图2， ∵， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴； 问题3：如图1，连接， 则，当、、共线时取等号，此时最小， 如图： ∵， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，涉及折叠性质、旋转性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江市2024—2025年秋初中学科抽测诊断模拟（一）初二数学 2024.12 （本卷共8页，25道题．满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 学校______ 姓名______ 考生号______ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要调查九年级学生周末完成作业的时间，下面最恰当的是（ ） A. 对任课教师进行问卷调查 B. 查阅学校的图书资料 C 进入学校网站调查 D. 对学生进行问卷调查 2. 如图，AC平分∠BAD，∠B=∠D，AB=8cm，则AD=（　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm 3. 如图，中，是线段的垂直平分线，且分别交，于点D，E，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若、分别垂直平分、，那么为（ ） A B. C. D. 5. 下列数组是勾股数的是（ ） A. 2、3、4 B. 0.3、0.4、0.5 C. 6、8、10 D. 7、12、15 6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 如图，在中，，平分交于点，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ） A 1 B. 3 C. 5 D. 7 9. 已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列五个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，那么第三条斜边的长是 _________ 12. 如果，则的平方根是__________． 13. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____． 14. 我们把顶角为的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的倍，如图，是“黄金三角形”，，的垂直平分线交于点，交于点，则与的面积比为______． 15. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=6，BM=5，则△EFM的周长是______． 16. 如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 有一个小朋友拿一根竹竿要通过一个长方形门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，求竹竿高． 解：设竹竿高为尺，则门高______________尺．（用代数式表示） 请将解答过程补充完整 19. 小范博士给同学们定义了一种新运算，规定，例如，．若关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 20. 已知：△ABC求作：点P，使P到∠ABC的两边的距离相等，且使PB=PC（不写作法，保留作图痕迹） 21. 已知和，AB=AD，，，AD与BC交与点P，点C在DE上． （1）求证：BC=DE （2）若，， ①求的度数 ②求证：CP=CE 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在高AE上，且OA=OB，连接BO并延长交AC于点D， （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）若△BCD是等腰三角形，求∠BAC的度数． 23. （1）如图1，在中，D为的中点，若，求的取值范围； （2）如图2，在中，，D是线段上一动点，F为的中点，且，求与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，D是内一点，E是的中点，连，作，若，直接写出与的之间关系是______． 24. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点．如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为_________； （2）在绕点旋转的过程中，直接写出与的数量关系； 问题2：在绕点旋转的过程中，如图2，探究当直线时，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $