14 第二章 6.受迫振动 共振-【名师导航】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册同步讲义(人教版2019)

6．受迫振动　共振 [学习任务]　1．知道什么是阻尼振动和受迫振动，会用能量观点分析阻尼振动的振幅变化和受迫振动的共振现象。 2．通过实验认识固有频率、驱动力频率与振动频率之间的区别和联系。 3．了解产生共振的条件，认识共振是受迫振动的一种特殊情况。 4．能够根据实际生活中的振动特点，应用振动的规律解释与解决相关问题。 [问题初探]　问题1．什么叫阻尼振动？ 问题2．受迫振动的频率与什么因素有关？ 问题3．什么是共振？ [自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。 　振动中的能量损失 1．固有振动和固有频率 如果振动系统在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定，这种振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。 提醒：系统的固有频率由系统自身的性质决定，与振幅无关。 2．阻尼振动 (1)阻尼振动 振幅随时间逐渐减小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。 (2)振动系统能量衰减的两种方式 ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去。 一位大人带着小朋友荡秋千。 问题1　如果大人开始时只推了小朋友一次，使小朋友自己荡起秋千，以后秋千振动是什么振动？振幅怎样变化？ 提示：秋千振动是阻尼振动，振幅越来越小。 问题2　为了保证秋千的振幅不变，每次小朋友荡到最高点时大人就适当用力推一次小朋友，这相当于给秋千施加了什么？ 提示：周期性的驱动力。 1．阻尼振动 产生原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。其振动图像如图所示。 2．阻尼振动系统能量衰减的方式 (1)振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为内能。 (2)振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周散射出去，从而自身机械能减少。 3．对阻尼振动的理解 (1)同一振动系统做简谐运动能量的大小由振幅决定。 (2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关。阻尼越大，振幅减小得越快。 (3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由系统自身的结构特点决定，并不会随振幅的减小而变化。例如，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。 【典例1】　(单摆的阻尼振动)如图所示是单摆做阻尼振动的位移—时间图线，下列说法正确的是(　　) A．摆球在P与N时刻的势能相等 B．摆球在P与N时刻的动能相等 C．摆球在P与N时刻的机械能相等 D．摆球在P时刻的机械能小于在N时刻的机械能 A　[由于摆球的势能大小由其位移和摆球质量共同决定，P、N两时刻位移大小相同，所以势能相等，A正确；由于系统机械能在减少，P、N两时刻势能相同，则P时刻动能大于N时刻动能，B、C、D错误。] 　理解阻尼振动要从两个方面入手： (1)从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能或势能变小。 (2)从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。 　受迫振动 1．驱动力 如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力作用，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫作驱动力。 2．受迫振动 (1)定义：系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动。 (2)受迫振动的频率(周期) 物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 (1)如图所示，三个不同的弹簧将三个质量相同的小球固定在摇杆上，分别使驱动力的频率由小逐渐变大。观察三个小球的振动情况。 (2)将三个不同的弹簧换成三个相同的弹簧，将三个质量相同的小球换成三个质量不同的小球，重复操作，观察三个小球的振动情况。 问题1　三个小球的振动属于哪种振动？ 提示：受迫振动。 问题2　三个小球的振动频率有什么变化？ 提示：三个小球的振动频率相等，且随驱动力的频率由小逐渐变大。 1．受迫振动 (1)条件：受到阻力和驱动力。 (2)能量：机械能转化为内能，其他形式的能转化为机械能。 2．受迫振动的特点 系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。 3．受迫振动的振幅 受迫振动的振幅与驱动力的频率和固有频率有关。驱动力的频率与固有频率相差越大，受迫振动的振幅越小；驱动力的频率与固有频率相差越小，受迫振动的振幅越大；当驱动力的频率与固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。 【典例2】　(阻尼振动和受阻振动)如图所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。问： (1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？ (2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？ [解析]　(1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构性质决定的，称为固有周期(T固)和固有频率( f固)，根据题意T固＝＝ s＝0.5 s，f固＝＝ Hz＝2 Hz。由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和空气阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动。 (2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动。振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关，即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s。 [答案]　(1)简谐运动　0.5 s　2 Hz　阻尼振动　(2)受迫振动　0.25 s 　共振现象及其应用 1．共振 (1)定义：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。 (2)条件：驱动力频率等于物体的固有频率。 (3)特征：共振时受迫振动的振幅最大。 (4)共振曲线：如图所示，表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。 2．共振的应用和防止 (1)共振的应用 在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。 (2)共振的防止 在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。 唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨一种叫磬的乐器，如图所示。奇怪的是磬在无人弹拨时经常自发鸣响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声。和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。 问题1　磬为什么会不敲自鸣呢？ 提示：磬不敲自鸣是共振现象。磬的固有频率和钟的频率一样，因此每当钟响时，引起磬的共振而发出嗡嗡之声。 问题2　和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，为什么磬再也不会无故发声？ 提示：和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，改变了其固有频率，使其固有频率与钟的频率不一致，钟响时不会再引起磬的共振而无故发声了。 1．对共振条件的理解 共振的条件：f驱＝f固(或T驱＝T固) (1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大。 (2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。 2．对共振曲线的理解 (1)共振曲线的意义：反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系，如图所示。 (2)f0的意义：表示做受迫振动物体的固有频率。 (3)规律：①当f＝f0时，发生共振，振幅最大。 ②当f<f0时，f增大，振幅增大。 ③当f>f0时，f增大，振幅减小。 (4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。 【典例3】　(对共振现象的理解)如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法正确的是(　　) A．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传递能量 B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都相同 D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的频率最大 B　[驱动摆不仅把振动形式传播给其他单摆，同时也把能量传递给其他单摆，故A错误；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π，而其他单摆都做受迫振动，故振动周期都等于驱动摆的周期2π，振动频率也都等于驱动摆的频率，故B正确，D错误；某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，故C错误。] 　分析共振问题的方法 (1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。 (2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。 【教用·备选例题】　(共振现象的应用)近些年，科学家们逐步对极地进行开发和探索，由于极地大面积被冰雪覆盖，开发和探索的进度受到影响，人们为了加快进度发明了共振破冰船，如图所示。破冰船利用专用传感器感应冰面的振动反馈，自动调节锤头振动频率。当冰层与锤头发生共振时，可以大幅提高破冰效率。结合所学知识，下列说法正确的是(　　) A．锤头振动频率越高，冰层的振动幅度越大，破冰效果越好 B．破冰效果最好时，锤头的振动频率等于冰层的固有频率 C．破冰船停止工作后，冰层余振的振幅越来越小，频率也越来越小 D．对于不同冰层，破冰效果最好时，锤头的振动频率相同 B　[当驱动力频率等于物体固有频率时，物体的振幅最大，当驱动力频率小于固有频率时，随着驱动力频率增大，振幅增大，当驱动力频率大于固有频率时，随着驱动力频率增大，振幅减小，故A错误，B正确；破冰船停止工作后，冰层余振的振幅越来越小，但频率不变，故C错误；对于不同冰层，破冰效果最好时，锤头的振动频率等于冰层的固有频率，不同冰层固有频率不同，所以锤头的振动频率不相同，故D错误。] 1．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中(　　) A．振幅减小，周期减小，机械能减小 B．振幅减小，周期不变，机械能减小 C．振幅不变，周期减小，机械能减小 D．振幅不变，周期不变，机械能减小 B　[由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能减小，振幅减小，但其周期为固有周期，故周期不变，故B正确。] 2．“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒些清水在其中，用手掌摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，还会溅起层层水花。某同学用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，则关于溅起水花强弱的描述正确的是(　　) A．溅起水花越来越弱 B．溅起水花越来越强 C．溅起水花先变弱后变强 D．溅起水花先变强后变弱 D　[当某同学用双手摩擦盆耳的频率等于“洗”(包括水)的固有频率时会发生共振，溅起水花最强，所以用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，低于固有频率前，溅起水花逐渐变强，当超过固有频率后，溅起水花逐渐变弱，故D正确。] 3．如图所示的装置中，在曲轴AB上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C，让其上下自由振动，周期为T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)匀速转动，当运动都稳定后(　　) A．弹簧振子的振动周期为T1 B．弹簧振子的振动周期为 C．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小 D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大 D　[弹簧振子在把手作用下做受迫振动，因此弹簧振子的振动周期等于驱动力的周期，即等于T2，故A、B错误；驱动力的周期与弹簧振子的固有周期越接近，弹簧振子的振幅越大，由于T2＞T1，欲使弹簧振子的振幅增大，应使T2减小，即把手的转速应增大，故C错误，D正确。] 4．(多选)一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线(受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　　) A．此单摆的固有周期约为 0.5 s B．此单摆的摆长约为1 m C．若摆长增大，单摆的固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动 D．若将该单摆运到月球上，共振曲线的峰将向右移动 BC　[单摆做受迫振动，振动频率与驱动力的频率相等，当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振，振幅最大，可知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，由T＝2π，可得L≈1 m，故A错误，B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C正确；若将该单摆运到月球上，g变小，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故D错误。] 回归本节知识，完成以下问题： 1．做阻尼振动的物体，振幅和频率有什么特点？ 提示：振幅逐渐减小，频率保持不变。 2．做受迫振动的物体，其频率由什么决定？ 提示：频率由驱动力的频率决定。 3．物体发生共振的条件是什么？ 提示：驱动力的频率等于物体的固有频率。 生活中的共振现象 (选自沪科版教材)共振也有可以利用之处，像浇灌混凝土时，用共振泵使水泥沙石剧烈振动而互相挤紧，工厂里的共振筛也是利用共振原理，提高筛的效率。 微波炉已经是比较普及的家用炊具了，它的基本原理也是利用了共振。微波炉的微波频率与被加热的食物中水分子振动的固有频率2 500 MHz非常接近，因此，当微波照射到食物时，微波施加的驱动力使食物中的水分子做受迫振动，并且处于共振状态，振动剧烈，从而使食物的温度迅速升高。由于这种“加热”方式是里外同时发生的，所以它比其他加热食物的方式更快捷。 许多乐器在构造上有声源体和共振体，声源体发出的声音作为驱动力使共振体做受迫振动。当满足共振条件时，共振体处于共振状态而有较大的振幅，这种声音的共振现象通常叫作共鸣。欣赏大型音乐会时，不妨去看一看各种各样的乐器，小提琴、大提琴、二胡、琵琶……它们都有形状不同、构造各异的共鸣箱(如图所示)，这就是它们的共振体。靠箱内空气的共鸣，这些乐器才能发出洪亮、美妙、动听的声音。 无线电接收技术中的电谐振原理，是共振的另外一种表现形式。此外，医院里常用的一种先进检测手段——磁共振，同样也是利用了共振原理。 总之，在需要利用共振时，应使驱动力的频率等于或者接近振动系统的固有频率；在需要防止共振产生危害时，应设法使驱动力的频率偏离振动系统的固有频率，偏离得越大越好。 科学研究表明，人体各个部位的固有频率不同，如大脑的固有频率为8～12 Hz，人的内脏器官的固有频率为4～8 Hz。人们在生产生活中接触的各种外界振动源，很容易引起人体器官的共振，对人体造成伤害。因此，接近振动源时，应该设法防止共振对身体造成不良影响。 1．什么是共振现象？ 提示：受迫振动的振幅达到最大值的现象。 2．发生共振的条件是什么？ 提示：驱动力的频率等于受迫振动物体的固有频率。 课时分层作业(十) 题组一　振动中的能量损失 1．一单摆做阻尼振动，则在振动过程中(　　) A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变 C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变 D．振动过程中，机械能不守恒，频率减小 B　[单摆做阻尼振动，振幅越来越小，根据周期公式T＝2π知，周期与振幅无关，故A错误，B正确；单摆做阻尼振动过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减少，即机械能不守恒，通过某一位置的机械能越来越小，由于周期不变，则频率不变，故C、D错误。] 2．(多选)将一个力传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆振动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出下列判断，其中正确的是(　　) A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点 B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点 C．摆球振动过程中机械能减少 D．摆球振动的周期为T＝1.4 s AC　[单摆在做简谐运动过程中，悬线上拉力是周期性变化的。摆球在最低点时悬线拉力最大Fmax＝mg＋。在摆到最高点v＝0时，悬线拉力最小，Fmin＝mg cos θ。t＝0.2 s时，拉力最大，即摆球正经过最低点，A正确；t＝1.1 s时，摆球正经过最高点，B错误；从题图可看出摆球经过最低点的拉力逐渐减小，可知小球的速度减小，机械能逐渐减少，C正确；由题图可知T＝2×(0.8－0.2) s＝1.2 s，D错误。故选A、C。] 题组二　受迫振动 3．夏季的某日中午，深圳某300多米高的大厦发生晃动。排除地震、台风等因素的影响，专家组认为大厦顶端的桅杆与桅杆风导致的涡激共振是引发大厦有感振动的外因，大厦及桅杆动力特性的改变以致大厦主体结构和桅杆具有相同的固有频率是引发有感振动的内因。为减小晃动幅度，你认为以下措施最具操作性的是(　　) A．降低大厦高度以增加稳定性 B．减小大厦质量以改变固有频率 C．消除周边振源以改变驱动力来源 D．安装大型阻尼器以减小振动幅度 C　[当物体的固有频率和振源的振动频率接近时，会以较大的振幅做振动，从而发生共振。降低大厦高度、减小大厦质量都可以改变大厦的固有频率从而防止共振现象的发生，安装大型阻尼器可以减小振幅，但是通过题干可知消除周边振源以改变驱动力来源最具有操作性，故C正确。] 4．物体做受迫振动，一开始驱动力的频率小于物体的固有频率，则在驱动力的频率逐渐增大的过程中，物体的振幅将(　　) A．增大　　　　　 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 C　[当驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，物体发生共振，振幅最大；当f<f0时，随f的增大，振幅增大；当f >f0时，随f的增大，振幅减小，如图所示。由于一开始驱动力的频率小于物体的固有频率，因此当驱动力的频率逐渐增大时，物体的振幅先增大后减小，选项C正确。] 5．在飞机的发展史中，工程师们为了解决飞机飞上天空后抖动厉害的问题，创造性地在飞机机翼前缘处安装一个配重杆。在飞机机翼前缘处安装配重杆的主要目的是(　　) A．改变机翼的固有频率 B．加大飞机的惯性 C．使机翼更加牢固 D．使机体更加平衡 A　[飞机飞上天空后抖动厉害，是因为驱动力的频率接近机翼的固有频率发生共振，在飞机机翼前装置配重杆，是为了改变机翼的固有频率，使驱动力的频率远离机翼的固有频率，故B、C、D错误，A正确。] 题组三　共振现象及其应用 6．(多选)(2021·浙江卷)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则(　　) A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 AD　[ 根据发生共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击杆对不同粗细的树干打击结束后，树干按固有频率振动，所以树干的振动频率不一定相同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以稳定后，不同粗细的树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确。] 7．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定时的情况是(　　) A．4个单摆的周期Tc＞Td＞Ta＞Te B．4个单摆的频率fc＝fd＝fa＝fe C．4个单摆的振幅Ac＝Ad＝Aa＝Ae D．4个单摆中d摆的振幅最小，且Ae＜Aa B　[b摆垂直纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率接近物体的固有频率时，振幅最大，即发生共振，根据T＝2π知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误。] 8．(多选)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。某电压下断电后，发现筛子的振动幅度先越来越大后越来越小，下列说法正确的是(　　) A．该电压下偏心轮的转速有可能是45 r/min B．该电压下偏心轮的转速有可能是75 r/min C．该电压下，减小筛子的质量可使筛子的振幅增大 D．筛子的质量不变的情况下，将电动偏心轮的电压从该电压开始增加，可使筛子的振幅增大 BC　[电压越大，偏心轮转速越高，在断电后，电压减小，转速变慢，周期变大，频率减小，断电后，发现筛子的振动幅度先越来越大后越来越小，即说明在该电压下的频率大于共振频率 0.8 Hz, 共振频率0.8 Hz对应转速为48 r/min，则该电压下偏心轮的转速不可能是45 r/min，有可能是75 r/min，A错误，B正确；该电压下偏心轮的频率大于共振频率，减小筛子的质量，由题意可知筛子的固有周期变小，则固有频率增大，与偏心轮频率相差减小，可使筛子的振幅增大，C正确；筛子的质量不变的情况下，将电动偏心轮的电压增加，可使偏心轮转速提高，频率增大，与筛子的固有频率相差增大，会使筛子的振幅减小，D错误。] 9．公路上的减速带用于降低车速。一辆汽车悬架的固有频率为10 Hz，驶过某路面上的一排减速带，相邻减速带的间距为2 m，则(　　) A．汽车颠簸的频率始终为10 Hz B．汽车速度越大，颠簸得越厉害 C．汽车速度越大，汽车悬架的固有频率越大 D．当汽车以20 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害 D　[设汽车速度为v，经过间距为2 m的减速带时，时间为t＝＝，驱动力的频率为f＝＝，汽车颠簸的频率与速度有关，故A错误；汽车振动的固有周期为T＝＝0.1 s，则当汽车的速度为v＝＝ m/s＝20 m/s时，汽车发生共振现象，颠簸得最厉害，故B错误，D正确；汽车悬架的固有频率与汽车悬架的刚度和悬架弹簧支撑的质量有关，与汽车速度无关，故C错误。] 10．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，当圆盘静止时，小球可稳定振动。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图乙所示。现使圆盘以4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，则下列说法正确的是(　　) A．此振动系统的固有频率约为0.25 Hz B．此振动系统稳定后的振动频率约为3 Hz C．若圆盘匀速转动的周期减小，则系统的振动周期也随之变小 D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向左移动 C　[由题图乙可知，此振动系统的固有频率约为 3 Hz, A错误；振动稳定后，此振动系统的振动频率为f＝＝ Hz＝0.25 Hz，故B错误；因系统的振动频率等于驱动力的频率，所以若圆盘匀速转动的周期减小，则系统的振动周期也随之变小，C正确；因共振曲线的峰值与振子的固有频率有关，振动系统的固有频率不变，若圆盘匀速转动的周期增大，系统的振动频率变小，但是共振曲线的峰值不变，D错误。] 11．弦乐器小提琴是由两端固定的琴弦产生振动而发音的，如图甲所示。为了研究同一根琴弦振动频率与哪些因素有关，可利用图乙所示的实验装置，一块厚木板上有A、B两个楔支撑着琴弦，其中A楔固定，B楔可沿木板移动来改变琴弦振动部分的长度，将琴弦的末端固定在木板O点，另一端通过滑轮接上砝码以提供一定拉力，轻轻拨动琴弦，在AB间产生振动(不计摩擦)。 问题： (1)先保持拉力为150 N不变，改变AB的距离L(即改变琴弦长度)，测出不同长度时琴弦振动的频率，记录结果如表1所示。 表1 长度L/m 1.00 0.85 0.70 0.55 0.40 振动频率f/Hz 150 176 214 273 375 从表1数据可判断在拉力不变时，琴弦振动的频率f与弦长L的关系为________。 (2)保持琴弦长度为0.80 m不变，改变拉力，测出不同拉力时琴弦振动的频率，记录结果如表2所示。 表2 拉力大小F/N 360 300 240 180 120 振动频率f/Hz 290 265 237 205 168 从表2数据可判断在琴弦长度不变时，琴弦振动的频率f与拉力F的关系为________。 [解析]　(1)先保持拉力为150 N不变，改变AB的距离L(即改变琴弦长度)，测出不同长度时琴弦振动的频率，通过表格数据可以看出弦越长，频率越低，我们可以看两者之间是否存在反比关系。 题中表1 f与L的乘积恒定，约为150，即得出频率f与弦长L成反比。 (2)保持琴弦长度为0.80 m不变，改变拉力，测出不同拉力时琴弦振动的频率，我们在表格中写出对应的拉力大小平方根的数据， 拉力大小平方根/ 19.0 17.3 15.5 13.4 11.0 振动频率f/Hz 290 265 237 205 168 表格中f与的比值恒定，约为15.3，即得出频率f与拉力F的平方根成正比。 [答案]　(1)频率f与弦长L成反比 (2)频率f与拉力F的平方根成正比 章末综合测评(二)　机械振动 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求。) 1．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是(　　) A．简谐运动的回复力可能是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向可能相同 C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零 D　[根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为F＝－kx，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧长度，因x是变化的，回复力不可能是恒力，故A、C错误；回复力方向总是与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向也必定与位移方向相反，故B错误；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零，故D正确。] 2．如图所示是两人合作模拟振动曲线的记录装置。先在白纸中央画一条直线OO1使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴。一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x-t图像。下列说法正确的是(　　) A．白纸上OO1轴上的坐标代表速度 B．白纸上与OO1垂直的坐标代表振幅 C．匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化 D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长 C　[笔尖振动周期一定，根据白纸上记录的振动图像的个数可确定出时间长短，所以白纸上OO1轴上的坐标代表时间，故A错误；白纸上与OO1垂直的坐标是变化的，代表了笔尖的位移，而不是振幅，故B错误；由v＝可知，匀速拖动白纸，是为了用相等的距离表示相等的时间，是为了保证时间均匀变化，故C正确；笔尖振动周期与拖动白纸的速度无关，故D错误。] 3．对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是(　　) ①甲：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计 ②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B(≪R)之间来回运动 ④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动 A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以 C　[题图甲中小球沿斜面方向受到弹力与重力的分力的合力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐运动物体的动力学特征，小球做简谐运动；题图乙中木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐运动物体的动力学特征，木筷做简谐运动；题图丙中小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐运动；题图丁中斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐运动。综上所述，可知①②③为简谐运动。] 4．如图所示，一质点在a、b间做简谐运动，O是它振动的平衡位置。若从质点经过O点开始计时，经3 s，质点第一次到达M点，再经2 s，它第二次经过M点，则该质点的振动图像可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D C　[若质点从平衡位置开始先向右运动，可知M到b的时间为1 s，则＝3 s＋1 s＝4 s，解得T＝16 s，若质点从平衡位置开始先向左运动，可知M到b的时间为1 s，则T＝3 s＋1 s＝4 s，解得T＝ s，故C正确，A、B、D错误。] 5．一弹簧振子的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s，则(　　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．当t＝0.2 s时，振子的运动速度最大 D．当t＝0.1 s时，振子的位移为 m D　[弹簧振子的振幅为0.1 m，A错误；弹簧振子的周期为T＝＝ s＝0.8 s，B错误；当t＝0.2 s时，x＝0.1 m，此时振子的位移最大，则振子的运动速度为0，C错误；当t＝0.1 s时，振子的位移为x＝0.1sin m＝ m，D正确。] 6．如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知(　　) A．两摆球质量相等 B．两单摆的摆长不相等 C．两单摆相位相差 D．在相同的时间内，两摆球通过的路程总有s甲＝2s乙 C　[由题图知T甲＝T乙，则摆长相等，B错误；而单摆周期与摆球质量无关，A错误；A甲＝2A乙，x甲＝2sin cm，x乙＝sin (ωt) cm，两单摆相位相差，C正确；由于两个摆的初相位不同，所以只有从平衡位置或最大位移处开始计时，而且末位置也是在平衡位置或最大位移处的特殊情况下，经过相同的时间，两摆球通过的路程才一定满足s甲＝2s乙，D错误。] 7．汽车的车身一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝(g取10 m/s2，L为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？(　　) A．8人 B．10人 C．5人 D．不确定 C　[人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与汽车发生共振，人感觉最难受，由f固＝f＝，得L＝，代入数据得L≈0.063 m，由胡克定律得kL＝(m车＋nm人)g，n＝，代入数据得n≈5，即乘坐5人时，人感觉最难受，故C正确。] 8．同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0 B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0 C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同 D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0 BD　[当物体做受迫振动时，物体振动的频率等于驱动力的频率，故A错误，B、D正确；受迫振动物体的固有频率与驱动力的频率越接近，振幅越大，由题图可知，甲的固有频率是f0，乙的固有频率是2f0，若驱动力的频率为3f0，甲单摆振动的振幅小于乙单摆振动的振幅，故C错误。] 9．某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。鱼漂可简化为一个圆柱体，不考虑阻力的影响，下列说法正确的是(　　) A．鱼漂的运动是简谐运动 B．点O过水面时，鱼漂的速度最大 C．点M到达水面时，鱼漂具有向下的加速度 D．鱼漂由最高处向下运动时，速度越来越大 AB　[设鱼漂的横截面积为S，O点以下的长度为h，当鱼漂静止时，据平衡条件可得mg＝ρgSh，以竖直向下为正方向，当鱼漂被按下x时，所受合力为F合＝mg－ρgS(h＋x)＝－ρgSx，同理可知，当鱼漂浮起x时也满足类似的表达式，满足简谐运动的条件，故鱼漂的运动是简谐运动，A正确；由简谐运动的规律可知，点O过水面时，鱼漂的速度最大，B正确；点M到达水面时，鱼漂具有向上的加速度，C错误；鱼漂由最高处向下运动时，速度先增大后减小，D错误。] 10．如图所示，将一只轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接物体A，A下面再用棉线挂一物体B，A、B质量相等，g为当地重力加速度，不计空气阻力。烧断棉线，下列说法正确的是(　　) A．烧断棉线瞬间，A的加速度大小为g B．烧断棉线之后，A向上先加速后减速 C．烧断棉线之后，A在运动中机械能守恒 D．当弹簧恢复原长时，A的速度恰好减到零 ABD　[设A、B质量为m，烧断棉线前，对A、B整体受力分析知，弹簧的弹力F＝2mg，烧断棉线瞬间，弹簧的弹力不变，对A，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得aA＝g，故A正确；烧断棉线后，A在弹力和重力的作用下向上运动，弹力先大于重力，后小于重力，所以物体A向上先加速后减速，B正确；烧断棉线后，A还受弹簧弹力作用，故A的机械能不守恒，但A和弹簧组成的系统机械能守恒，C错误；烧断棉线后，A在重力和弹力的作用下做简谐运动，在最低点回复力大小为F＝2mg－mg＝mg，方向向上，根据对称性可知，在最高点回复力大小为F′＝mg，方向向下，即mg＋F弹＝mg，解得F弹＝0，故在最高点速度为零时，弹簧弹力为零，即弹簧恢复原长，D正确。] 二、非选择题 11．在“探究单摆周期与摆长关系”的实验中： (1)某学习小组用停表测量单摆的周期，如图甲为单摆完成40次全振动时停表上记录的数据，该读数为________。 (2)实验中的摆球可看成质量均匀分布的球体，该小组同学将摆线长和小球直径之和当作单摆的摆长，那么在探究周期T与摆长L的关系时将会得到如图乙所示的________(选填“A”“B”或“C”)线。根据该图像得到的g值________(选填“大于”“等于”或“小于”)当地的重力加速度值。 [解析]　(1)停表内圈读数为60 s，外圈读数为15.2 s，所以最终读数为75.2 s。 (2)根据周期公式得T＝2π，其中L为悬点到球心的距离，该小组同学将摆线长和小球直径之和当作单摆的摆长，则根据T2＝可知L偏大，故周期T与摆长L的关系为题图乙中的C。根据T2＝可知T2-L图线的斜率k＝，可得重力加速度g＝，摆长不影响T2-L图线的斜率，根据该图像得到的g值等于当地的重力加速度值。 [答案]　(1)75.2 s　(2)C　等于 12．在做“探究单摆周期与摆长的关系”实验时： (1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为________。 A．20 cm长的细线、小木球、停表、米尺、铁架台 B．100 cm长的细线、小钢球、停表、米尺、铁架台 C．100 cm长的细线、大木球、停表、量程为50 cm的刻度尺、铁架台 D．10 cm长的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台 (2)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最________(选填“高”或“低”)点的位置时开始计时，并计数为零，摆球每次通过该位置时计数加1，当计数为60时，所用的时间为t，则单摆周期为________。 (3)实验时某同学测得的重力加速度g值偏小，其原因可能是________。 A．摆球太重 B．计算时误将小球的直径与摆线长相加 C．测出n次全振动时间为t，误作为(n＋1)次全振动时间进行计算 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了 (4)有两位同学利用假期分别参观北京大学和厦门大学的物理实验室，各自在那里利用传感器较为准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”(北京大学所在地的纬度比厦门大学高)，并绘制了 T2-L 图像，如图甲所示，去厦门大学的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)。另外在厦门大学做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两种单摆的振动图像，如图乙所示，由图可知a、b两单摆的摆长之比为________。 [解析]　(1)实验中应采用长1 m左右且不能形变的细线，小球选用密度大的金属球。 (2)摆球经过最低点时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小。所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时。由题分析可知，单摆全振动的次数为N＝＝30，周期为T＝。 (3)摆球的重力越大，误差越小，故A错误；计算时误将小球的直径与摆线长相加，则摆长测量值偏大，根据T＝2π可知g＝，则重力加速度的测量值偏大，故B错误；实验中误将n次全振动计为(n＋1)次，根据T＝求出的周期变小，g偏大，故C错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，计算时使用的摆长偏小，依据g＝可知得到的g值偏小，故D正确。 (4)由T＝2π得T2＝L，知T2-L图线的斜率越大，则重力加速度越小，因为厦门当地的重力加速度小于北京，则厦门的同学所测实验结果对应的图线的斜率大，应该是A图线。由振动图线知，两单摆的周期比为＝，由T＝2π知，两单摆摆长之比为＝。 [答案]　(1)B　(2)低　　(3)D　(4)A　4∶9 13．如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t的变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝ m/s，忽略阻力，取g＝10 m/s2，π2≈10，求： (1)单摆的摆长L； (2)摆球的质量m。 [解析]　(1)由题图乙可知，单摆的摆动周期为2 s，单摆周期公式为T＝2π 代入数据解得摆长L＝1 m。 (2)摆球经过最低点时，由牛顿第二定律可得FT－mg＝m 由题意可知FT＝2.04 N，v＝ m/s 代入数据解得摆球的质量m＝0.2 kg。 [答案]　(1)1 m　(2)0.2 kg 14．如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm。现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取 10 m/s2。 (1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式； (2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和t＝12.9 s时刻的位置； (3)小球运动到最高点时加速度的大小。 [解析]　(1)由振动图像可知A＝5 cm，T＝1.2 s 则ω＝＝ rad/s 则小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式为 y＝A cos ωt＝5cos t(cm)。 (2)12.9 s＝10T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程为 s＝10×4A＝215 cm t＝12.9 s时刻小球的位置坐标y＝0，即小球在平衡位置处。 (3)小球在平衡位置时弹簧的伸长量为10 cm，则 k＝＝ N/m＝100 N/m 小球在最高点时，弹簧的伸长量为Δx′＝Δx－A＝5 cm，则mg－kΔx′＝ma 解得a＝5 m/s2。 [答案]　(1)y＝5cos t(cm)　(2)215 cm　平衡位置(y＝0)　(3)5 m/s2 15．如图所示，一个半径为R的凹槽，该槽是圆柱体侧表面的一部分。MN、PQ为圆柱表面的母线，MN＝PQ＝L，在其一端的最低处有一小孔B。一半径略小于B孔半径且远小于R的小球，位于槽的另一端边缘点A处(A靠近槽的最低点)，不计摩擦。 (1)若小球初速度为零，求小球运动到轨道最低点的时间。 (2)若小球以初速度v0开始沿平行于MN的方向运动，要使小球运动到槽的另一端时，恰能落入B孔中，求小球的初速度v0和L应满足的关系式。 [解析]　(1)如果小球没有初速度，则小球做简谐运动，简谐运动的周期为T＝2π 小球运动到轨道最低点的时间t＝n＋＝(n＝0，1，2，…)。 (2)沿MN方向小球做匀速直线运动，则L＝v0t 解得v0＝(n＝0，1，2，…)。 [答案]　(1)nπ(n＝0，1，2，…) (2)v0＝(n＝0，1，2，…) 10 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$