12 第二章 4.单摆-【名师导航】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册同步讲义(人教版2019)

4．单摆 [学习任务]　1．什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。 2．理解单摆做简谐运动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。 3．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。 4．通过分析单摆周期的影响因素，培养严谨的科学态度。 [问题初探]　问题1．在什么情况下实际摆可看成单摆？ 问题2．单摆的周期与什么因素有关？ 问题3．单摆的周期公式是什么？ [自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。 　单摆及单摆的回复力 1．单摆的组成 由细线和小球组成。如图所示。 2．理想化模型 (1)细线的长度不可改变。 (2)细线的质量与小球相比可以忽略。 (3)小球的直径与细线的长度相比可以忽略。 提醒：在这个模型里，细线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点。 3．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 如图所示，小球和细线构成一个单摆。 问题1　结合简谐运动的知识，思考运动过程中小球受到几个力的作用？什么力充当小球振动的回复力？ 提示：小球受重力和细线的拉力；重力沿圆弧切线方向的分力。 问题2　摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处，v＝0，加速度是否等于0? 提示：摆球摆动至平衡位置时不是平衡状态，回复力为零，有向心力和向心加速度，合外力不为零；最大位移处速度等于零，但不是平衡状态，所以加速度一定不等于零。 1．单摆的受力分析：如图所示。 (1)单摆受力：受细线拉力和重力作用。 (2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。 (3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ，提供了使摆球振动的回复力。 2．单摆做简谐运动的推证 如图所示，单摆的回复力F＝mg sin θ，在偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，故单摆做简谐运动。 (1)当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mg cos θ。 (2)当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝。 3．单摆做简谐运动的规律 (1)单摆做简谐运动的位移—时间(x-t)图像是一条正弦(或余弦)曲线。 (2)单摆振动过程中各量的变化特点。 位置或过程 位移、回复力、 加速度 速度、动能 重力势能 最高点 最大 零 最大 最低点 零 最大 最小 远离平衡 位置运动 越来越大 越来越小 越来越大 靠近平衡 位置运动 越来越小 越来越大 越来越小 【典例1】　(单摆的受力特征)(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N两点关于O点对称。下列说法正确的是(　　) A．小球受重力、绳子拉力和回复力 B．小球所受合外力就是单摆的回复力 C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0 D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等 CD　[小球只受重力、绳子拉力两个力，A错误；单摆的回复力由重力沿运动方向的分力提供，B错误；单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，D正确。] 【典例2】　(单摆的图像问题)如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O′点处。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(小于5°)后由静止释放，并从释放时开始计时。小球相对于平衡位置O的水平位移为x，取向右为正方向，则小球在一个周期内的振动图像为(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D A　[摆球一开始在正的最大位移处，所以A选项正确。] 　单摆的周期 1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论 ①单摆振动的周期与摆球质量无关。 ②周期与振幅无关。 ③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。 2．周期公式 (1)提出：由荷兰物理学家惠更斯首先提出。 (2)公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 提醒：(1)单摆的周期只与其摆长和当地的重力加速度有关，而与振幅和摆球质量无关，它又叫作单摆的固有周期。单摆周期公式的成立条件为摆角θ<5°。 (2)周期为2 s的单摆叫作秒摆。秒摆的摆长约为1 m。 3．(选自沪科版教材)拓宽视野：通过对弹簧振子做简谐运动的分析可知，其周期T＝2π。单摆做简谐运动的回复力F＝－mg＝－kx，将k＝代入即可得单摆小角度摆动时的周期T＝2π。 意大利的物理学家伽利略在观察吊灯摆动现象时发现摆的等时性原理，即在摆角小于5°时，不论摆钟摆动幅度大些还是小些，完成一次摆动的时间是相同的。 请你利用自己的脉搏和身边的器材重复伽利略的实验。 问题1　同一个摆振动的快慢与摆的振幅有无关系？ 提示：无关。 问题2　振动的快慢与摆锤的轻重有无关系？ 提示：无关。 问题3　振动的快慢与摆线长短有关吗？ 提示：有关。摆线越长振动越慢，摆线越短振动越快。 1．对单摆周期公式T＝2π的理解 (1)T与摆长l和当地的重力加速度g有关。 (2)T与振幅和摆球质量无关，故T又叫作单摆的固有周期。 (3)适用条件：摆角很小(一般小于5°)。 2．对摆长l和重力加速度g的理解 (1)摆长l：指从悬点到摆球重心的长度。 ①对于实际的单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长： (a)图中小球在O点右侧运动时摆长为L，在O点左侧运动时摆长为L。 (b)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，故甲摆的等效摆长为l sin α，其周期T＝2π。 (c)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)对重力加速度g的理解 ①公式中的g由单摆所在地的空间位置决定 由＝g知，在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。 ②等效重力加速度 (a)若单摆系统处在多力存在的平衡态，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如图甲所示的斜面摆，球静止在O点时，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如图乙所示的电场中，带电荷量为q(q>0)的小球静止于图示位置时，摆线拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。 (b)单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a。在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0。 【典例3】　(单摆的振动图像)(2022·海南卷)在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 C　[由振动图像可知甲、乙两个单摆周期之比为T甲∶T乙 ＝ 0.8∶1.2＝2∶3，根据单摆周期公式T＝2π可得l＝，则甲、乙两个单摆的摆长之比为l甲∶l乙 ＝＝4∶9，故选C。] 【典例4】　(单摆周期公式的应用)假设未来的航天员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上的周期相同，下列办法可行的是(　　) A．将摆球的质量增加为原来的6倍 B．将摆球的质量减小为原来的 C．将摆长减小为原来的 D．将摆长增长为原来的6倍 C　[已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，根据单摆的周期公式T＝2π，可知，要使该摆钟在月球与在地球上周期相同，必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故C正确。] 【典例5】　(等效单摆)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　) A．乙先到，然后甲到，丙最后到 B．丙先到，然后甲、乙同时到 C．丙先到，然后乙到，甲最后到 D．甲、乙、丙同时到 B　[对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝，解得t3＝；对于甲、乙两球，由于光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长，故可将它们的运动视为做简谐运动的单摆的运动，其运动周期为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时均运动周期，则t1＝t2＝＝。所以丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确，A、C、D错误。] 【教用·备选例题】　(等效重力加速度问题)如图所示，有几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，下列判断正确的是(　　) A．T1＞T2＞T3＞T4　 B．T1＜T2＝T3＜T4 C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4 C　[题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mg sin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝g sin θ；题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响摆球的回复力；题图(3)为标准单摆；题图(4)中摆球处于超重状态，等效重力加速度为g4＝g＋a。由单摆周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确。] 1．某单摆由1 m长的摆线连接一个直径为2 cm的铁球组成。关于单摆周期，下列说法正确的是(　　) A．用大球替代小球，单摆的周期不变 B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小 C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变 D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大 C　[用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期变大，故A错误；由单摆周期公式T＝2π可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B错误；用等大铜球替代铁球，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期不变，故C正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，由单摆周期公式T＝2π 可知，单摆周期变小，故D错误。] 2．(多选)将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是(　　) A．这个实验动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒 B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4 C．摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径减小，摆线张力变大 D．摆球经过最低点时，角速度变大，做圆周运动的半径减小，摆线张力不变 AC　[摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，机械能守恒，A正确；频闪照片拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为4∶3，根据单摆的周期公式T＝2π得，摆长之比为 16∶9, 故B错误；摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径变小，根据F－mg＝m知，张力变大，根据v＝ωr，知角速度增大，故C正确，D错误。] 回归本节知识，完成以下问题： 1．单摆看成简谐运动的条件是什么？ 提示：摆角θ较小(一般小于5°)，θ≈sin θ。 2．单摆的回复力是由哪个力提供？ 提示：重力沿圆弧切线方向的分力。 3．单摆的周期由哪些因素决定？ 提示：摆长、重力加速度。 4．单摆周期的表达式是什么？ 提示：T＝2π。 课时分层作业(九) 题组一　单摆的回复力 1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　) A．摆线质量不计 B．摆线不伸缩 C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．摆角小于5° ABC　[单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确，D错误。] 2．振动着的单摆的摆球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法正确的是(　　) A．回复力为零，合力也为零 B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线 C．合力不为零，方向沿轨迹的切线 D．合力不为零，加速度不为零，方向指向悬点 D　[当摆球通过平衡位置时，回复力为零，但是小球依然做圆周运动，合力提供向心力，加速度不为零，因此合力不为零，方向指向圆心，即悬点，A、B、C错误，D正确。] 题组二　单摆的周期 3．要将秒摆的周期变为4 s，下列措施可行的是(　　) A．只将摆球质量变为原来的 B．只将振幅变为原来的2倍 C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍 C　[单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，故A、B错误；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，联立解得l＝4l0，故C正确，D错误。] 4．(多选)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是(　　) A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cm B．单摆的摆长约为1 m C．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 AB　[由振动图像可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm, 由ω＝得到圆频率ω＝π rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝A sin ωt＝8sin (πt) cm，故A正确；由公式T＝2π，解得 l≈1 m，故B正确；从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误。] 5．(2022·浙江卷)图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是(　　) A．甲图中的小球将保持静止 B．甲图中的小球仍将来回振动 C．乙图中的小球仍将来回摆动 D．乙图中的小球将做匀速圆周运动 B　[装置在太空中处于完全失重状态，一切与重力有关的现象都将消失，但题图甲中的小球依然受弹簧的弹力作用，故仍将来回振动，选项A错误，B正确；题图乙中的小球在地面上由静止释放时，所受的回复力是重力的分量，而在空间站中处于完全失重状态，回复力为零，则小球由静止释放后，小球仍静止，选项C、D错误。] 6．如图所示，两个半径大小相同、质量不同的小球m1和m2(m1<m2)分别放在光滑圆弧(弧长远小于半径)最低点O和离O点一小段距离处，t＝0时刻将小球m2由静止释放，经过一段时间二者发生碰撞，碰后两小球未离开轨道。已知圆弧半径R＝1 m，当地的重力加速度大小g取 9.8 m/s2, π2≈9.8，两小球均可看作质点，当两小球第二次碰撞时(　　) A．与第一次碰撞时间间隔为1 s B．与第一次碰撞时间间隔为2 s C．在O点左侧碰 D．在O点右侧碰 A　[碰撞后，两个小球做简谐运动，周期为T＝2π＝2 s，运动时间与质量和速度无关，所以两球总是回到最低点发生碰撞，时间间隔为t＝＝1 s。] 7．图甲所示的是演示简谐运动图像的装置，当沙漏下面的水平薄木板N被水平匀速拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO1代表时间轴，图乙是两个摆中的沙在各自板上形成的曲线。若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，板N1、N2上曲线所代表的摆长分别为l1和l2，则(　　) A．l2＝l1 B．l2＝2l1 C．l1＝4l2 D．l1＝16l2 D　[由题图可知，薄木板被匀速拉出的距离相同，且v2＝2v1，则木板N1上时间轴单位长度代表的时间t1是木板N2上时间轴单位长度代表的时间t2的两倍，即t1＝2t2，由题图乙可知T1＝t1，T2＝t2，从而得出T1＝4T2，代入单摆周期公式T＝2π可得l1＝16l2。] 8．甲、乙两单摆振动图像如图所示，从t＝0时刻开始计时，甲单摆第一次到达负向最大位移时，乙单摆的位移为________ m；甲、乙两单摆的摆长之比是________。 [解析]　甲单摆第一次到达负向最大位移时的时刻为t＝3 s，此时乙单摆的位移为x＝1×sin m＝ m；甲、乙两单摆的周期之比为T甲∶T乙＝1∶2，根据T＝2π，可得摆长之比是L甲∶L乙＝1∶4。 [答案]　　1∶4 9．在盛沙的漏斗下方放一木板，让漏斗在纸面内摆动起来，假设漏斗中细沙匀速流出，经过一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，不考虑空气阻力，则沙堆的剖面(纸面内)应是下列选项中的(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　D B　[不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达中间位置时运动速度最快，漏到木板上的细沙最少，从中间到两端运动时漏斗运动的速度逐渐变慢，故漏到木板上的细沙越来越多，B正确。] 10．(多选)如图甲所示，一细线连接小球做的单摆小角度振动，不计空气阻力。从小球某次向右通过最低点开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，sin 4°≈tan 4°≈0.07。关于单摆的振动过程说法正确的是(　　) A．单摆的摆长约为1 m B．最大偏角约为 rad≈4° C．在第1 s末细线的拉力最小 D．细线的张力大小变化周期为2 s AB　[单摆的周期T＝2 s，根据T＝2π可得摆长L＝＝ m≈1 m，A正确；最大偏角为θ≈tan θ＝＝ rad≈4°，B正确；在第1 s末摆球在最低点，则此时细线的拉力最大，C错误；细线的张力大小变化周期为1 s，D错误。] 11．如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一个很小的角度(约为2°)后由静止释放，当小球摆到最低位置时，细绳会受到细铁钉的阻挡。地球表面的重力加速度为g，则： (1)求小球摆动的周期T； (2)航天员登上X星球，用同样的装置使小球摆动起来，测得小球摆动的周期为地球上摆动周期的，若已知X星球的半径为R，引力常量为G，求X星球的质量M。 [解析]　(1)小球摆动的周期等于摆长为l的单摆和摆长为l的单摆的周期之和的二分之一，即T＝＝。 (2)单摆在X星球上的周期为地球上的，设X星球表面的重力加速度为g′， 则＝ 解得g′＝4g 对于X星球，有g′R2＝GM 解得M＝＝。 [答案]　(1)　(2) 12．单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为L，摆球质量为m，当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向有拉离平衡位置一个小角度θ，自由释放。 (1)在θ很小时，sin θ≈(其中x为小球的位移)，由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动； (2)简谐运动的周期公式T＝2π(其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量)，结合(1)推导出单摆的周期公式； (3)当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。 [解析]　(1)在θ很小时sin θ≈，由几何关系可得，单摆的回复力为 F＝mg sin θ≈－x 由于小球质量m、摆长L、重力加速度g都为定值，令k＝，则F＝－kx 故单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动。 (2)由(1)的分析可知k＝，单摆在摆角很小的情况下为简谐运动，故单摆的周期公式为T＝2π＝2π＝2π。 (3)设摆球在最低点时的速度为v，由动能定理可得mg(L－L cos θ)＝mv2 设在最低点时细线的拉力为F′，根据牛顿第二定律可得F′－mg＝ 联立解得F′＝3mg－2mg cos θ。 [答案]　见解析 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$