11 第二章 3.简谐运动的回复力和能量-【名师导航】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册同步讲义(人教版2019)

3．简谐运动的回复力和能量 [学习任务]　1．会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。 2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 3．会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。 [问题初探]　问题1．简谐运动的回复力的方向是什么？ 问题2．简谐运动的回复力与位移有什么关系？ 问题3．回复力来源于哪里？ [自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。 　简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。 (2)方向：指向平衡位置。 (3)表达式：F＝－kx。 提醒：回复力是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。 2．简谐运动的动力学特征 如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起在光滑地面振动的系统。 问题1　图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？ 提示：弹簧的弹力提供回复力。 问题2　图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？ 提示：弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。 问题3　图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？ 提示：m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。 1．对回复力的理解 (1)作用效果：使振动物体回到平衡位置。 (2)来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 (3)回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。 2．简谐运动的回复力的特点 (1)表达式：F＝－kx。 ①大小：与振子的位移大小成正比。 ②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。 (2)表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。 提醒：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 3．简谐运动的加速度的特点 根据牛顿第二定律得a＝＝－x。 (1)大小：与位移大小成正比。 (2)方向：与位移方向相反。 【典例1】　(简谐运动回复力的来源)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是(　　) A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 B　[物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和物体A对滑块B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确；物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。] 　简谐运动的能量 1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。 2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 如图所示为弹簧振子，观察振子从B→O→C→O→B的一个循环。 问题　振子在振动过程中动能、势能的变化规律。 提示：振子的动能变化规律：振子在B、C两点动能为0，B→O过程动能增大，O点动能最大，O→C过程动能减小；振子的势能变化规律：振子在B、C两点势能最大，B→O过程势能减小，O点势能为0，O→C过程势能增大。 1．对简谐运动的能量的理解 决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小 能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得 能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒 理想化条件 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功引起的能量损耗 注意：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。 (2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。 2．简谐运动中各物理量的变化规律 如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为： 物理量 运动过程 A→O O→B B→O O→A 位移 大小 减小 增大 减小 增大 方向 O→A O→B O→B O→A 回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大 方向 A→O B→O B→O A→O 速度 大小 增大 减小 增大 减小 方向 A→O O→B B→O O→A 动能 增大 减小 增大 减小 势能 减小 增大 减小 增大 (1)通过上表可以看出：位移、回复力、加速度三者的大小同步变化，与速度大小的变化相反。 (2)通过上表可以看出两个转折点： ①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点。 ②最大位移处是速度方向变化的转折点。 (下图选自教科版教材) 如图所示为弹簧振子在振动过程中各个位置的动能、弹性势能随位置变化的图像。 如果没有能量损失，物体将永远振动下去。实际上任何物体的振动过程都不可避免有能量的损失，简谐运动只是一种理想情况。 【典例2】　(简谐运动中各物理量的变化问题)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点向上运动时开始计时，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正 B．t＝1 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小 C．t＝0.5 s时，系统的弹性势能为零，重力势能最小 D．t＝2 s时，系统的弹性势能最大，重力势能最小 思路点拨：解答本题要抓住三个关键点： D　[从题图乙中可知在t＝1.25 s时振子在平衡位置上方，向下振动，故加速度向下，速度向下，两者都为负，A错误；t＝1 s时，振子在正向最大位移处，即最高点，故振子的重力势能最大，B错误；t＝0.5 s时，振子在平衡位置，位移为零，但不在最低点，所以重力势能不是最小，C错误；t＝2 s时，振子在最低点，重力势能最小，处于负向最大位移处，弹簧伸长量最大，且大于振子在正向最大位移处的弹簧的形变量，故弹性势能最大，D正确。] 【典例3】　(简谐运动中能量的变化问题)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列说法正确的是(　　) A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功 D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小 C　[振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以在O位置时动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。] 【教用·备选例题】　(选自教科版教材)设Ek、Ep分别为弹簧振子在任一时刻(或任一位置)的动能和势能。当振子在平衡位置时，弹簧伸长量(或压缩量)为零，振子速度最大，此时弹性势能为零，动能有最大值为Ekmax＝；振子相对平衡位置位移最大时，弹簧伸长量(或压缩量)最大，振子速度为零，此时弹性势能达最大值为Epmax，动能为零。弹簧的势能和振子的动能之和就是振动系统的总机械能E，如果不考虑摩擦和空气阻力，振动系统的总机械能守恒，即在任一时刻(或任一位置)系统的总机械能都是相等的，等于振子处于平衡位置时或在离开平衡位置最大位移处的总机械能。 E＝Ep＋Ek＝Epmax＝Ekmax＝ 若已知弹簧弹性势能的表达式为Ep＝kx2，又知道弹簧振子的振幅为A，则系统总的机械能为多大？ [答案]　E＝kA2 1．物体做简谐运动时，下列叙述正确的是(　　) A．平衡位置就是合力为零的位置 B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 C．物体到达平衡位置时，合力不一定为零 D．物体到达平衡位置时，回复力不一定为零 C　[当物体运动到平衡位置时，其位移为零，根据F＝－kx可知，物体的回复力为零，但合外力不一定为零，即不处于平衡状态，例如单摆运动(下节学到)中的小球到达最低点时，其合力竖直向上，不等于零，故A、B、D错误，C正确。] 2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　　) A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据k＝－，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 B　[对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动来说，k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时也是动力，D错误。] 3．如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知(　　) A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小 B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大 C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s D　[在0.25～0.30 s内，弹簧振子的位移越来越大，受到的回复力越来越大，A错误；振动的周期为0.4 s，弹簧振子在0.7 s时刻的位移最大，速度为零，B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，C错误，D正确。] 4．(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知(　　) A．两弹簧振子完全相同 B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2 C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1 BC　[由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，频率之比f甲∶f乙＝1∶2，故B正确；由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C正确；由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F＝－kx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，所以回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误。] 回归本节知识，完成以下问题： 1．简谐运动的回复力有什么特点？ 提示：回复力是效果力，效果是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。 2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？ 提示：振幅，振幅越大，能量越大。 3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？ 提示：守恒。 课时分层作业(八) 题组一　简谐运动的回复力 1．(多选)关于简谐运动的理解，下列说法正确的是(　　) A．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量 B．位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大 C．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 D．物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同 ABD　[周期是做一次完整运动过程所用的时间，频率是单位时间内完成全振动的次数，都反映了振动的快慢，都是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，故A正确；根据F＝－kx可知位移减小时，回复力减小，加速度减小，速度增大，故B正确；根据F＝－kx可知位移的方向总跟加速度方向相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，所以位移和速度的方向可能相同也可能相反，故C错误，D正确。] 2．简谐运动的图像如图所示，在t1和t2时刻，运动质点相同的物理量为(　　) A．加速度 B．位移 C．速度 D．回复力 C　[由题图读出，t1和t2时刻，质点运动的位移大小相等，方向相反，根据简谐运动的加速度a＝－知，加速度大小相等，方向相反，故A、B错误；x-t图像上点的切线的斜率表示速度，故在t1和t2时刻速度相同，故C正确；根据F＝－kx可知，t1和t2时刻质点的回复力大小相等，方向相反，故D错误。] 3．如图所示，质量为m的物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于原长状态。规定向右为正方向，现向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动(弹簧始终在弹性限度内)，O为平衡位置(不计阻力)，物体位移为x，则下列判断正确的是(　　) A．物体做简谐运动，OC＝OB B．物体做简谐运动，OC≠OB C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－2kx A　[物体离开O点时所受的指向O点的力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体以O点为平衡位置做简谐运动，所以OC＝OB，故A正确，B、C、D错误。] 题组二　简谐运动的能量 4．有一水平弹簧振子，某段时间内振动小球的速度一直在增加，则在这段时间内(　　) A．系统机械能一直增加 B．小球振动位移一直增加 C．小球加速度一直增加 D．系统弹性势能一直减小 D　[简谐运动过程中，振子的动能和弹簧的势能相互转化，机械能保持不变，A错误；某段时间内速度在增加，则这段时间内质点向平衡位置运动，位移减小，B错误；由回复力公式F＝－kx可知回复力减小，根据a＝可知小球加速度一直减小，C错误；振子速度增大，动能增大，结合A选项分析可知系统弹性势能减小，D正确。] 5．如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的是(　　) A．振子经过同一位置时，速度大小一定相同 B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功 C．振子在从最低点向平衡位置运动过程中受到重力、弹力和回复力 D．振子在平衡位置时，其动能最大，弹簧的弹性势能最小 A　[简谐运动中，振子经过同一位置时速度大小相等，故A正确；振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹力的方向与速度的方向同向，故弹力做正功，故B错误；振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子所受的重力的合力提供，故C错误；振子在平衡位置时，其动能最大，此时弹簧被压缩，弹簧的弹性势能不是最小，当弹簧形变量最小的时候，弹性势能最小，故D错误。] 6．轻弹簧上端固定，下端悬挂小钢球，让钢球在竖直方向做简谐运动，取向上为正方向，振动图像如图所示。下列说法正确的是(　　) A．振子的周期为4 s，振幅为10 cm B．3 s末振子的机械能变化最大 C．1.3 s末和2.7 s末振子的速度相同 D．0.5 s末和3.5 s末振子受到的回复力相同 D　[由题图可知，振子的周期为4 s，但振幅为 5 cm, A错误；简谐运动中机械能守恒，B错误；根据运动的对称性，可知1.3 s末和2.7 s末振子的位移相同，速度大小相等，但方向相反，C错误；0.5 s末和3.5 s末振子的位移相同，由F＝－kx可知回复力相同，D正确。] 7．如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m＝0.5 kg的小球所构成的弹簧振子放在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k＝200 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向右拉10 cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力。求： (1) 振子的最大速度及此时的位置； (2)振子在A点的位移； (3)振子在B点的加速度。 [解析]　(1)弹簧振子在运动过程中机械能守恒，在平衡位置O点的速度最大，由题意知，外力做的功转化为系统的弹性势能，该势能又全部转化成振子的动能，即W＝mv2解得v＝＝ m/s＝2 m/s。 (2)振子在A点的位移大小为x＝10 cm，方向由O指向A。 (3)由于振动的振幅为10 cm，故在B点的位移x′＝－10 cm，即弹簧压缩10 cm，此时回复力的大小F＝－kx′＝200×0.1 N＝20 N，即振子受到的合外力大小为20 N，由牛顿第二定律得a＝＝ m/s2＝40 m/s2，方向由B指向O。 [答案]　(1)2 m/s　O点　(2)10 cm，方向由O指向A　(3)40 m/s2，方向由B指向O 8．(2022·浙江6月选考)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从杆中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则(　　) A．小球做简谐运动 B．小球动能的变化周期为 C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T D．小球的初速度为时，其运动周期为2T B　[由于刚开始的一段时间内小球做匀速运动，受力大小与位移大小不成正比，小球做的不是简谐运动，A错误。小球从杆中点到第一次回到杆中点的过程，初、末动能相等，则小球动能的变化周期为，分析可知两根弹簧的总弹性势能的变化周期也为，B正确，C错误。小球的初速度为时，在细杆上匀速运动的时间等于初速度为v时的2倍，小球从接触弹簧到速度减到零的时间等于初速度为v时的时间，故初速度为时的运动周期小于2T，D错误。] 9．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是(　　) A．位移满足函数式x＝4sin cm B．回复力是浮力 C．在t1～t2时间内，位移减小，速度减小，加速度增大 D．振动过程中玻璃管的机械能守恒 A　[振动周期为0.5 s，则圆频率为ω＝＝4π rad/s，依题意，A＝4 cm，t＝0时，x0＝－A＝A sin φ0，结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0＝－π，则玻璃管的振动方程为x＝4sin cm，故A正确；回复力由浮力和重力的合力提供，故B错误；由题图乙可知，在t1～t2时间内，位移减小，根据a＝－易知加速度减小，该段时间内玻璃管向平衡位置做加速运动，所以速度增大，故C错误；玻璃管在做简谐运动过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以玻璃管的机械能不守恒，故D错误。] 10．(多选)一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝做小幅度上下振动(可视为竖直方向的简谐运动)，某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化规律(振动图像x-t)如图所示。取竖直向上为正方向，已知小鸟只在重力和树枝对小鸟作用力的作用下运动，则下列说法正确的是(　　) A．在t2时刻，小鸟速度最大，方向竖直向下 B．在t1和t3时刻，树枝对小鸟作用力大小一样 C．在0到t1时间内，树枝对小鸟作用力一定是越来越小 D．在t2到t3时间内，树枝对小鸟作用力一定是越来越大 AD　[由振动图像可知，在t2时刻，小鸟处于平衡位置向下振动，则小鸟的速度达到最大，方向竖直向下，A正确；在t1和t3时刻，小鸟的加速度a大小相等，t1时刻的加速度方向向下，根据牛顿第二定律有mg－F1＝ma，解得F1＝mg－ma，t3时刻的加速度方向向上，根据牛顿第二定律有F3－mg＝ma，解得F3＝mg＋ma，可知在t1和t3时刻，树枝对小鸟作用力大小不一样，B错误；在0到t1过程，小鸟的加速度越来越大，加速度方向向下，根据牛顿第二定律有mg－F＝ma，解得F＝mg－ma，若小鸟在t1时刻的最大加速度小于重力加速度，可知随着小鸟加速度的增大，树枝对小鸟作用力越来越小，若小鸟在t1时刻的最大加速度大于重力加速度，可知随着小鸟加速度的增大，树枝对小鸟作用力先逐渐减小到零，再反向逐渐增大，C错误；在t2到t3时间内，小鸟的加速度越来越大，加速度方向向上，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，解得F＝mg＋ma，可知随着小鸟加速度的增大，树枝对小鸟作用力一定是越来越大，D正确。] 11．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的水平轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　　) A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B．小球做简谐运动的振幅为 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 A　[小球做简谐运动的平衡位置是弹簧弹力和电场力平衡的位置，此时弹簧形变量为，即振幅为，小球到达最右端时，弹簧形变量为，A对，B错。电场力对小球做功，故小球的机械能不守恒，C错。运动过程中，小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变，D错。] 12．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度 为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g。 (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度； (2)物块做简谐运动的振幅是多少； (3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F＝－kx) [解析]　(1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。 根据平衡条件，有：mg sin α＝k·Δx，解得Δx＝，故弹簧的长度为L＋。 (2)物块做简谐运动的振幅为A＝Δx＋L＝。 (3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为k(x＋Δx)＝k 故合力为F＝mg sin α－k＝－kx故物块做简谐运动。 [答案]　(1)L＋　(2)　(3)见解析 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$