复习专题05 对数与对数函数10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题05 对数与对数函数10题型分类 1．对数 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数, log10N可简记为lgN． (3)自然对数：以e(e＝2.7)为底的对数称为自然对数，logeN简记为lnN． (4)1的对数为零． (5)底的对数为1． 2．指数与对数 (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x． (2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 3．对数的运算 (1) loga(M·N)＝logaM＋logaN． (2) loga＝logaM－logaN． (3) logaMn＝nlogaM(n∈R)． 4．换底公式 (1) logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． (2) logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (3) ＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (4) logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 5．对数函数的图象和性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时,y∈(－∞，0) x∈[1,＋∞)时,y∈[0,＋∞) x∈(0,1)时,y∈(0,＋∞)； x∈[1,＋∞)时,y∈(－∞,0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 6．反函数 (1) 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (2) y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． （一） 指数式与对数式的互化 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 题型1：指数式与对数式的互化 1．（2024高二下·北京东城·期末）已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得. 【详解】由，得，即，而， 所以. 故选：C 2．（2024高一下·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】9 【分析】将对数式化成指数式，再利用幂的运算性质，化简代入计算即得. 【详解】由可得，，则. 故答案为：9. 3．（2024高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. （二） 1．对数式的化简与求值 (1) “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2) “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 2．用换底公式化简与求值 题型2：对数的运算 4．（2024高一上·天津红桥·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用对数的运算性质可计算出所求代数式的值； （2）利用指数与对数的互化可得，，再利用换底公式结合对数的运算性质可求得的值. 【详解】解：（1）原式； （2）由可得，， 因此，. 5．（2024高一上·山西太原·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)3. (2). 【分析】（1）运用对数运算公式及，，，计算可得结果； （2）运用指数幂、对数运算公式及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）. （2）. 6．（2024高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)2 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得. （2）利用对数运算法则求解即得. 【详解】（1）. （2） . （三） 对数函数 (1)对数式系数为1． (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x． (4)求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变 题型3：对数函数的定义域 7．（2024高一上·黑龙江大庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分类求解对数不等式得答案． 【详解】要使原函数有意义，则， 当时，，得，舍去； 当时，，得． 所以函数的定义域为． 故选：C． 8．（2024高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于零，列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 9．（2024高一上·甘肃庆阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数、三角函数的知识求得函数的定义域. 【详解】依题意，， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 题型4：对数函数的值域 10．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．单调增区间为，值域为 B．单调减区间是，值域为 C．单调增区间为，值域为 D．单调减区间是，值域为 【答案】C 【分析】由题意可知，函数是复合函数，根据复合函数同增异减的单调性原则可求其单调区间和值域. 【详解】要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 因为，所以，即函数的值域. 因为当时，在内单调递增，在内单调递减，且在定义域内单调递增， 所以根据复合函数的单调性可得的单调减区间是，增区间为. 故选：C. 11．（2024高一上·天津和平·期末）函数的值域为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由题意知，函数的值域包含，结合已知列关于的不等式，解不等式得的取值范围. 【详解】令，由于函数的值域为， 所以，函数的值域包含. 所以，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 12．（2024高一上·陕西安康·期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为， 设时，的值域为，则由的值域为R可得， ∴，解得，即． 故选：D （四） 1．函数图象的作法 (1)列表． (2)描点． (3)连线． 2．图象变换 (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)对称变换． (4)翻折变换． 题型5：对数函数的图象 13．（2024高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减，则函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的概念和性质列式求出，再根据对数函数的性质可得结果. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 则，（且）， 因为（且）过定点，所以的图象过定点. 故选：C 14．【多选】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示， 则 （    ） A．①是的部分图象 B．②是的部分图象 C．③是的部分图象 D．④是的部分图象 【答案】AB 【分析】根据指数、对数函数单调性逐项分析判断即可. 【详解】因为在定义域内单调递减，可知①符合，故A正确； 在定义域内单调递增，可知②符合，故B正确； 在定义域内单调递减，可知④符合，故C错误； 在定义域内单调递增，可知③符合，故D错误； 故选：AB. 15．（2024高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 16．（2024高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 17．（2024高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的性质，令即可求解. 【详解】因为且， 所以在函数中， 令，则，， 所以函数的图象一定经过点. 故选：D. 18．（2024高一上·河南南阳·期末）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】先由对数函数的性质求得定点，再利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解. 【详解】因为的图象恒过定点， 令，则，，则， 设，则，得，故， 故答案为：. 19．（2024高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. （五） 1．y＝logaf(x)的单调性 (1)求出函数的定义域． (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性． (3)判断出函数的增减性求出单调区间． 2．对数不等式的求解 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 3.比较大小 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 题型6：对数函数的单调性问题 20．（2024高一上·山东威海·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断规则来得答案. 【详解】对于有， 解得函数的定义域为， 又， 对于，其在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 由复合函数单调性的规则：同增异减得 函数的单调递减区间为. 故选：A. 21．（2024高一上·云南保山·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 22．（2024高一上·福建福州·期末）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可讨论时，可看出在上单调递增，而在上不是增函数，显然不合题意；时，可看出在上单调递减，从而得出，解出a的范围即可． 【详解】解：①时，在上是增函数； ∴在R上是增函数； 显然在上不是增函数； ∴的情况不存在； ②时，在上是减函数； ∴在R上是减函数； ∴，解得； 综上得，实数a的取值范围为． 故选：B． 题型7：对数函数的单调性解不等式 23．（2024高一上·吉林·期末）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得为偶函数，且在上单调递增，可将不等式化为，解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 即，所以， 所以或 故选：D. 24．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性，且.根据奇偶性可得即为，根据单调性即可求解. 【详解】时，，可得在上单调递减， 因为函数是上的奇函数，所以在上也单调递减. ，可转化为, 可得. 令，可得,故. 故由，可得或,解得或， 故不等式的解集为. 故选:D. 25．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 题型8：比较大小 26．（2024高一上·天津红桥·期末）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，， 因此，. 故选：A. 27．（2024高一上·吉林长春·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，即可得到答案. 【详解】因为，，所以. 又因为，所以. 故选：C 28．（2024高一上·河南南阳·期末）三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据分数指数幂运算化简，判断的范围，即可得答案. 【详解】由于， ， 故， 故选：B 29．（2024高二下·云南·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 30．（24-25高一上·浙江·期中）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数， 则，即， 因为对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故选：B. 31．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可. 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 32．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可与之间值0，1比较求解. 【详解】由于，故. 故选：C 题型9：对数函数的综合问题 33．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围； （2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围； 【详解】（1）由，可得，故函数定义域为，关于原点对称， 又，即为奇函数. 又， 函数在上单调递减，值域为. 由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R， 不等式，转化为， 因为为奇函数，所以， 因为在上单调递减，所以， 即，即， 即，解得， 则原不等式的解集为. （2）因为存在，使得成立， 所以时，的值域与的值域有交集. 因为在上是减函数，， 所以的值域为， 当时，在上单调递减，故的值域为， 所以即， 当时，在上单调递增，故的值域为，不符. 综上所述，实数a的取值范围为. 34．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)若，求的定义域并判断其奇偶性； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)定义域，为奇函数 (2) 【分析】（1）将点代入函数解得，确定函数定义域，计算，得到答案. （2）确定在上是减函数，得到，解得答案. 【详解】（1）将代入函数得，，解得，， ，故，得， ，又， 故函数定义域，为奇函数； （2），在上是减函数， ，，即，故， 设，则，解得且，故. 35．（2024高一下·云南保山·期末）已知函数，（且）的图象经过点，函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数的零点； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将代入即可得到解析式； （2）利用，求出，从而得到的解析式，令其为0，解出即可； （3）分离参数得，令，则，设，根据复合函数单调性即可得到其值域，则得到的范围. 【详解】（1）由题意，过点，即，解得 所以，. （2）为上的奇函数，     ∴，解得，即，其定义域为，关于原点对称， 且， 故此时为奇函数， 又， 令，则，即．即，解得． （3）由在区间上恒成立． 得，即， 令，则， 令， 设，，根据对勾函数单调性知在上单调递减， 而为单调增函数，则根据复合函数单调性知： 在上单调递减， ∴， 若关于的不等式在区间上恒成立，则， 又为正实数．∴． 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用分离参数法的，则设新函数，利用对勾函数单调性结合对数函数单调性即可得到的单调性，最后即可得到的范围. （七） 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 题型10：对数函数的实际应用 36．（2024高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 37．（2024高一上·湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【解析】建立关系式，由对数运算法则可求得解. 【详解】设经过天能达到最初的1600倍 故 故 故选：A 38．（2024高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【答案】A 【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值. 【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则， 上述两个等式作差可得，则，故. 故选：A. 一、单选题 1．（2024高一上·重庆·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案. 【详解】定义域满足，解得且. 故选：D. 2．（2024高一上·甘肃定西·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对数的性质判断的大小关系. 【详解】由， 故选：C 3．（2024高一上·河南南阳·期末）Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ） A．35 B．36 C．40 D．60 【答案】B 【分析】得到方程，整理后两边取对数，求出. 【详解】，故， 两边取对数，，解得， 故约为. 故选：B 4．（2024高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C．15 D．12 【答案】A 【分析】运用对数的运算性质进行求解即可. 【详解】 故选：A 5．（2024高一上·湖北孝感·期末）函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数的性质求得，再利用三角函数的定义即可得解. 【详解】令，则时，， 故过定点， 由三角函数定义可得，. 故选：B. 6．（2024高一上·广西梧州·期末）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 【详解】因为， 所以， 所以是周期为的周期函数， 所以． 又因为是上的奇函数，所以， 因为， 所以，所以． 故选：A． 7．（2024高一下·湖南益阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得函数为周期为的偶函数，即可得到，，再根据对数函数的性质及函数在上的单调性判断可得. 【详解】是偶函数，， ，， ，的周期为2. 所以，， 又因为，即， 又在上单调递增，则在上单调递增， 则在上单调递减，所以，即. 故选：D. 8．（2024高一下·安徽安庆·期末）设函数，若（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质并作出图象，将问题转化为直线与函数的图象的四个交点问题，结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答. 【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 作出函数的图象，如图，设，    当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且， 当时，由，解得或，于是， 由，得，则，即，而， 因此， 令，显然函数在上递减，且，于是， 所以的取值范围是． 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及同一函数的几个不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解. 二、多选题 9．（2024高一上·山东淄博·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A：，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，所以选项D正确. 故选：ACD. 10．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上是增函数 C．当时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项，证明对数中的真数大于0即可； 对于B选项，利用复合函数单调性即可判断； 对应C选项：由函数单调性即可判断； 对于D选项：注意到与互为相反数，验证即可. 【详解】对于A选项：由，所以的定义域为；因此A选项表述正确. 对于B选项：注意到当时，有， 令，，，显然关于递增，关于递减，关于递增， 由复合函数单调性法则“同增异减”得在上是减函数；因此B选项表述错误. 对于C选项：由B选项分析可知在上是减函数，并且注意到， 即当时，；因此C选项表述错误. 对于D选项：注意到，即与互为相反数， 又 ； 因此D选项表述正确. 故选：AD. 11．（2024高一上·浙江丽水·期末）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意结合的单调性易得，根据已知零点判断A、C；应用零点存在性判断的范围，由求范围判断B；放缩法可得，作差法比较的大小关系判断D. 【详解】由题意，即， 而在定义域上递增，故， 所以，即，A对，C错； 由，，故零点， 所以，B对； 由，则， 而，显然，则，故， 综上，，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：注意函数形式得到，结合单调性得到，进而有为关键. 12．（2024高一上·浙江台州·期末）已知函数则下列选项正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为 C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为 【答案】BC 【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项. 【详解】    画出的图象，如上图所示. 令，解得或， 所以的图象与轴交于. 对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错； 对于B，由图象可知，函数的值域为，B对； 对于C，，， 由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对； 对于D，由图象可知，当时，， 所以，由可得. 令，解得或； 令，解得或， 所以，由图象可知，不等式解集为，D错. 故选：BC 三、填空题 13．（2024高一上·北京·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可. 【详解】 的定义域为，解得， 或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 故答案为:. 14．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据题意转化为与的图象有三个不同的交点，结合图象，即可求得实数的取值范围. 【详解】作出函数 的图象，如图所示， 因为由三个不同的实数根， 即函数与的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得，即实数的取值范围为. 故答案为：.    15．（2024高一上·辽宁朝阳·期末）若，，且，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用对数运算性质将转化为，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】∵，， ∴，解得， ∴， 当且仅当，时取等号， 故的最大值为1． 故答案为：. 16．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解. 【详解】函数最小值为0， 设， 所以只要满足恒成立， 函数对称轴为，且， ①，即时，满足题意； ②，即时， 需满足， 即，得， 此时实数的取值范围是. 综上，实数的取值范围是 故答案为：. 四、解答题 17．（2024高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得到方程，求出方程的根； （2）换元后得到的单调性，结合复合函数的单调性得到单调递增，求出值域. 【详解】（1），故，， 所以，解得； （2）令，当时，， 故，由于在上单调递增， 故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 18．（2024高一上·河南新乡·期末）已知函数 (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，求关于的不等式的解集； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由可求得函数的定义域； （2）求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】（1）当时，，故，解得， 故函数的定义域为； （2），由，得， 所以的定义域为， 任取，且，则 ， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以在上的单调递增， 所以由，得， 解得，所以的解集为. 19．（2024高一上·重庆长寿·期末）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）函数的定义域满足真数部分大于0，得到的取值范围； （2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性； （3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集. 【详解】（1）由函数的定义域满足真数部分大于零，即解不等式， 解得, 函数的定义域为. （2）由第一问函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数. （3）解不等式， 即,即， 从而有， 所以. 不等式的解集为 20．（2024高一上·山西长治·期末）设为奇函数，a为常数. (1)求a的值； (2)判断函数在区间上的单调性并证明. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用函数单调性的定义求解. 【详解】（1）为奇函数， ∴， ∴ ∴，即， 解得或， 当时，，此时无意义， 当时，，符合题意， ∴ （2）由（1）知，， 任取，设，则， ∴. ∴，即， ∴在上是增函数. 21．（2024高一上·云南红河·期末）已知函数且. (1)当时，若，求的取值范围； (2)若的最大值为2，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合对数函数的定义域及单调性即可得； （2）先结合题意计算出，再根据对数函数的单调性即可得. 【详解】（1）当时，是上的减函数， 因为，所以，解得． （2）因为，且有最大值2， 所以，且，解得， 因为是上的减函数， 所以，， 所以在区间上的值域为． 22．（2024高一上·河北邯郸·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性，由求得. （2）对进行分类讨论，通过解对数不等式求得正确答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以对任意定义域内的恒成立， 所以对任意定义域内的恒成立， 所以，所以， 当时，定义域为，不关于原点对称，舍去， 所以 （2）， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 23．（2024高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 24．（2024高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数性质及其最值即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式即可，再利用二次函数单调性即可求得实数的取值范围为； （3）根据题意由方程有四个不同的实数解可转化为方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理即可求得实数的取值范围为. 【详解】（1）由可知，函数关于对称， 又，所以函数在单调递增， 可得，即， 解得 （2）由（1）可知， 则不等式可化为， 所以，即， 令，又，可得， 即，显然函数在上单调递增， 由题意可得即可，所以， 所以实数的取值范围为； （3）易知， 所以即为， 可化为, 令，即； 则关于的方程有四个不同的实数解等价为于 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根； 需满足，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解不等式恒（能）成立问题时，一般通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数取值范围. 25．（2024高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法，令得，即可解决；（2）换元法，令，由题意得恒成立，即即可解决. 【详解】（1）由题知，，， 令， ， ， ， 所以该函数的值域为. （2）同（1）令， ，即恒成立， ， ，易知其在上单调递增， ， ， 的取值范围为. 26．（2024高一上·广西·期末）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的范围：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由真数大于0求定义域；（2）结合定义域和值域特点得到，且将问题转化为关于x的方程在上有两个不同的实数根m，n，列出不等关系，求出的取值范围. 【详解】（1）由，得或． ∴的定义域为； （2）假设存在实数a，使得当的定义域为时，值域为， 由且及有意义， 可知， 又，可得． 在上为增函数， 又∵， ∴在上为减函数， ∴， ∴即m，n是方程的两个实数根，即在上有两个互异实数根m，n，于是问题转化为关于x的方程在上有两个不同的实数根m，n， 令， 则,解得． 又∵，故存在这样的实数符合题意． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题05 对数与对数函数10题型分类 1．对数 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数, log10N可简记为lgN． (3)自然对数：以e(e＝2.7)为底的对数称为自然对数，logeN简记为lnN． (4)1的对数为零． (5)底的对数为1． 2．指数与对数 (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x． (2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 3．对数的运算 (1) loga(M·N)＝logaM＋logaN． (2) loga＝logaM－logaN． (3) logaMn＝nlogaM(n∈R)． 4．换底公式 (1) logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． (2) logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (3) ＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (4) logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 5．对数函数的图象和性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时,y∈(－∞，0) x∈[1,＋∞)时,y∈[0,＋∞) x∈(0,1)时,y∈(0,＋∞)； x∈[1,＋∞)时,y∈(－∞,0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 6．反函数 (1) 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (2) y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． （一） 指数式与对数式的互化 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 题型1：指数式与对数式的互化 1．（2024高二下·北京东城·期末）已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 2．（2024高一下·四川德阳·期末）若，则 ． 3．（2024高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 （二） 1．对数式的化简与求值 (1) “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2) “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 2．用换底公式化简与求值 题型2：对数的运算 4．（2024高一上·天津红桥·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值. 5．（2024高一上·山西太原·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 6．（2024高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). （三） 对数函数 (1)对数式系数为1． (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x． (4)求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变 题型3：对数函数的定义域 7．（2024高一上·黑龙江大庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·甘肃庆阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型4：对数函数的值域 10．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．单调增区间为，值域为 B．单调减区间是，值域为 C．单调增区间为，值域为 D．单调减区间是，值域为 11．（2024高一上·天津和平·期末）函数的值域为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·陕西安康·期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 1．函数图象的作法 (1)列表． (2)描点． (3)连线． 2．图象变换 (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)对称变换． (4)翻折变换． 题型5：对数函数的图象 13．（2024高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减，则函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示， 则 （    ） A．①是的部分图象 B．②是的部分图象 C．③是的部分图象 D．④是的部分图象 15．（2024高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 16．（2024高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·河南南阳·期末）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 19．（2024高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． （五） 1．y＝logaf(x)的单调性 (1)求出函数的定义域． (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性． (3)判断出函数的增减性求出单调区间． 2．对数不等式的求解 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 3.比较大小 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 题型6：对数函数的单调性问题 20．（2024高一上·山东威海·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·云南保山·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·福建福州·期末）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型7：对数函数的单调性解不等式 23．（2024高一上·吉林·期末）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8：比较大小 26．（2024高一上·天津红桥·期末）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一上·吉林长春·期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．（2024高一上·河南南阳·期末）三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．（2024高二下·云南·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·浙江·期中）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知 ，则的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 题型9：对数函数的综合问题 33．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 34．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)若，求的定义域并判断其奇偶性； (2)解关于x的不等式． 35．（2024高一下·云南保山·期末）已知函数，（且）的图象经过点，函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数的零点； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. （七） 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 题型10：对数函数的实际应用 36．（2024高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 37．（2024高一上·湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 38．（2024高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 一、单选题 1．（2024高一上·重庆·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024高一上·甘肃定西·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·河南南阳·期末）Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ） A．35 B．36 C．40 D．60 4．（2024高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C．15 D．12 5．（2024高一上·湖北孝感·期末）函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·广西梧州·期末）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·湖南益阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一下·安徽安庆·期末）设函数，若（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高一上·山东淄博·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上是增函数 C．当时， D． 11．（2024高一上·浙江丽水·期末）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·浙江台州·期末）已知函数则下列选项正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为 C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为 三、填空题 13．（2024高一上·北京·期末）函数的单调递减区间是 . 14．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 15．（2024高一上·辽宁朝阳·期末）若，，且，则的最大值为 ． 16．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 17．（2024高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 18．（2024高一上·河南新乡·期末）已知函数 (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，求关于的不等式的解集； 19．（2024高一上·重庆长寿·期末）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集． 20．（2024高一上·山西长治·期末）设为奇函数，a为常数. (1)求a的值； (2)判断函数在区间上的单调性并证明. 21．（2024高一上·云南红河·期末）已知函数且. (1)当时，若，求的取值范围； (2)若的最大值为2，求在区间上的值域. 22．（2024高一上·河北邯郸·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 23．（2024高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 24．（2024高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 25．（2024高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 26．（2024高一上·广西·期末）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的范围：若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$