第3部分 1.6 完全平方公式&1.7 整式的除法 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

=a4-16 (2)解:原式=-2[(3x)2-(2y)2] =-2(9x2-4y2) =-18x2+8y2 (3)解:原式=x2-9-2x2 =-x2-9 (4)解:原式=(x2-y2)-[(3x)2-(2y)2] =x2-y2-(9x2-4y2) =x2-y2-9x2+4y2 =-8x2+3y2 1.6 完全平方公式 1. B 2. D 3. C 4. 100-3 1002-2×100×3+32 9409 5. 12xy(或-12xy) 6. (1)解:原式=[(2a+b)+1][(2a+b)-1] =(2a+b)2-12 =(2a)2+2·2a·b+b2-1 =4a2+4ab+b2-1 (2)解:原式=x2+4x+4-(x2-2x+1) =x2+4x+4-x2+2x-1 =6x+3 7. 解:原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2. 当a=1,b= 1 10 时,原式=2×12=2. 8. 解法一:原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4ab. 当a=-2,b=3时,原式=4×(-2)2-4×(-2)×3=16+24=40. ·41· 解法二:原式=(2a-b+b)(2a-b-b)=2a(2a-2b)=4a2-4ab,代入值计算同上. 9. 解:原式=2b2+a2-b2-a2+2ab-b 2=2ab. 当a=-3,b= 1 2 时,原式=2×(-3)× 1 2=-3. 1.7 整式的除法 1. D 2. 3a 3. 解:[(1.2×105)÷(1.2×104)]×[(2.4×104)÷(1.2×104)]=20(种) 预习效果检测 一、 1. A 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 二、 8. 1 9. m 10. 如a2×a4=a6,(a2)3=a6 等 11. 7 12. (2n+1)2-1=2n(2n+2) 13. -2ab 三、 14. 解:原式=a2-2ab-b2-a2+2ab-b2=-2b2. 15. 解:原式=(2x2-x+2x-1)-(x2-6x+9) =2x2-x+2x-1-x2+6x-9 =x2+7x-10 当x=-2时,原式=(-2)2+7×(-2)-10=-20. 16. 解:因为21x4y3÷(-7x2y)=-3x2y2, 5xy×(-7x2y)=-35x3y2, 所以被除式中被污染的项是-35x3y2, 商式中被污染的项是-3x2y2. 完整的试题应为 (21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y. 17. 解:(1)S1=a2-b2,S2= 1 2 (2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b). ·51· 第 三 部 分 探 究 先 飞 1.6 完全平方公式 1. 情景引入: 一块边长为a 米的正 方形实验田,由于效益比 较高,所以要扩大农田,将 其边长增加b 米,形成四 块实验田,以种植不同的 新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积,并 进行比较. 归纳:方法1:(a+b)2 方法2:a2+2ab+b2 2. 新知识掌握 认识完全平方公式:两数和(或差)的平 方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两 数积的两倍;即(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a -b)2=a2-2ab+b2. 温馨提示:结构特点:左边是二项式[两 数和(差)]的平方;右边是两数的平方和加上 (减去)这两数乘积的两倍. 3. 例题学习 例1 直接写出计算结果. (1)(x+1)2= ; (2)(m-3)2= ; (3)(-a+1)2= ; (4)(2x+y)2= . 解 (1)x2+2x+1 (2)m2-6m+9 (3)a2-2a+1 (4)4x2+4xy+y2 归纳口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放 中央. 例2 (广西中考题)计算:(a-2)2+ 4(a-1). 分析 先利用完全平方公式运算(a- 2)2=a2-4a+4,4(a-1)=4a-4,再合并 同类项. 解 原式=a2-4a+4+4a-4=a2 例3 (四川绵阳中考题)图(1)是一个 长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀 沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形 状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那 样拼成一个正方形,则中间空的部分的面 积是 ( ) A. 2mn B. (m+n)2 C. (m-n)2 D. m2-n2 分析 小正方形的面积有两种求法:一 是根据大正方形面积减去四个全等的长方形 的面积;二是直接根据图形中的小正方形的 边长与长方形的长宽之间的关系求出. 解 空白面积=(m+n)2-4×mn=m2 +2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m- n)2,故C正确. 点评 运用完全平方公式(a±b)2=a2 ±2ab+b2 时,应注意公式的特点:左边是 “两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末 两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab, 且符号由左边的“和”或“差”来确定. 45 第 三 部 分 探 究 先 飞 例4 (浙江丽水中考题)已知A=2x+ y,B=2x-y,计算A2-B2. 分析 要求 A2-B2,可先用完全平方 公式展开,再进行整式的减法运算化简;或先 将A2-B2 因式分解为(A+B)(A-B),代 入A,B 两式化简后再相乘. 解 解法1:A2-B2=(2x+y)2-(2x -y)2 =(4x2+4xy+y2)-(4x2-4xy+y2) =4x2+4xy+y2-4x2+4xy-y2 =8xy 解法2:A2-B2=(A+B)(A-B) =(2x+y+2x-y)(2x+y-2x+y) =4x·2y =8xy 1. 下列多项式乘法中,可以用完全平方 公式计算是 ( ) A. (a+b)(a-b) B. (m+2)(2+m) C. (3+y)(y-3) D. (x-2)(x+1) 2. 下列计算正确的是 ( ) A. (x+y)2=x2+y2 B. (x-y)2=x2-2xy-y2 C. (x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D. (-x+y)2=x2-2xy+y2 3. (湖南邵阳中考题)已知a+b=3,ab =2,则a2+b2 的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 利 用 完 全 平 方 公 式 计 算:972 = ( )2= = . 5. 多项式4x2+M+9y2 可化为一个整 式的平方,则 M 等于 (填一个即可). 6. 计算: (1)(2a+b+1)(2a+b-1) (2)(x+2)2-(x-1)2 7. 求代数式(a+2b)(a-2b)+(a+ 2b)2-4ab的值,其中a=1,b= 1 10. 8. (湖南株洲中考题)先化简,再求值: (2a-b)2-b2,其中a=-2,b=3. 9. (贵州贵阳中考题)先化简,再求值: 2b2+(a+b)(a-b)-(a-b) 2,其中a= -3,b= 1 2. 55 第 三 部 分 探 究 先 飞 1.7 整式的除法 1. 情景引入: 下雨时,常常是“先见闪电,后闻雷鸣”, 这是因为光速比声速快的缘故.已知光在空 气中的传播速度为3.0×108 米/秒,而声音 在空气中的传播速度约为300米/秒,你知道 光速是声速的多少倍吗? 问题解答:3.0×108÷300=106 答:光速是声速的106 倍. 2. 你能计算下列各题吗? 如果能,说说 你的理由. (1)x5y÷x2 (2)8m2n2÷2m2n (3)a4b2c÷3a2b 分析:利用乘除法的互逆方法或利用类 似分数约分的方法. 解:(1)x3y (2)4n (3) 1 3a 2bc 3. 单项式除以单项式法则:单项式相 除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的 因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同 它的指数一起作为商的因式. 温馨提示:(1)先确定商的系数,系数相 除所得的商作为商的系数; (2)同底数幂相除,所得的商作为商的一 部分; (3)只有被除式里出现的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式,不能遗漏; (4)要注意运算的顺序. 多项式除以单项式法则:多项式除以单 项式,先把这个多项式的每一项分别除以单 项式,再把所得的商相加;公式表示为:(a+ b)÷c=a÷c+b÷c. 温馨提示:多项式除以单项式的原则就 是把它化为几个单项式除以单项式,然后再 求和;在做除法运算时,应注意各项的符号; 所得的商的项数应与原多项式的项数相同. 4. 例题学习 例 计算. 13x4y3z2 ÷ - 3 4x 2y 解 13x4y3z2 ÷ - 3 4x 2y = 13÷ - 3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 (x4÷x2)(y3÷y)z2 =- 4 9x 2y2z2 1. (湖北鄂州中考题)下列运算正确的 是 ( ) A. a4·a2=a8 B. (a2)4=a6 C. (ab)2=ab2 D. 2a3÷a=2a2 2. 化简:3a2b÷ab= . 3. 某农科所要在一块长为1.2×105 cm,宽为2.4×104 cm的实验基地上培育粮 食新品种,已知培育每种新品种需边长为 1.2×104 cm的正方形实验田,问:这块实验 基地最多能培育几种粮食新品种? 65