第3部分 1.5 平方差公式 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 三 部 分 探 究 先 飞 1.5 平方差公式 1. 情景引入: 我们已经学过了多项式的乘法,两个二 项式相乘,在合并同类项前应该有几项? 合 并同类项以后,积可能会是三项吗? 积可能 是二项吗? 请举出例子. 问题:计算: (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(-m+n)(-m-n) 通过计算:你能发现什么规律? 问题解答: (1)x2-4 (2)1-9a2 (3)x2-25y2 (4)m2-n2 2. 新知识掌握 (a+b)(a-b)=a2-b2 作为公式,叫平 方差公式.即:两数和与这两数差的积等于这 两个数的平方差. 温馨提示:(1)公式左边两个二项式必须 是相同两数的和与差相乘;且左边两括号内 的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数 (式)];(2)公式右边是这两个数的平方差,即 右边是左边括号内的第一项的平方减去第二 项的平方;(3)公式中的 a 和b 可以代表数, 也可以是代数式. 平方差公式的几何意义:如图,边长为 a 的 大 正 方 形 中 有 一 个 边 长 为b 的 小 正 方形. (1)请表示图1中阴影部分的面积; (2)如图2,小颖将阴影部分拼成了一个 长方形,这个长方形的长和宽分别是多少? 你能表示出它的面积吗? 根据图1中阴影部分的面积为:a2-b2, 图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b);左 右两边的面积相等,可以验证平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 3. 例题学习 例1 计算:(1)(2x+3)(2x-3) (2)(2a+3b)(2a-3b) (3)(-2b-5)(-2b+5) 解 (1)(2x+3)(2x-3)=4x2-9 (2)(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2 (3)(-2b-5)(-2b+5)=(-2b)2-52 =4b2-25 例2 (江苏无锡中考题)计算:3(x2+ 2)-3(x+1)(x-1). 分析 利用单项式乘多项式法则及平方 差公式,先去掉两个括号,最后合并同类项. 解 原式=3x2+6-3(x2-1)=3x2+ 6-3x2+3=9. 1. 下列多项式乘法中,能用平方差公式 计算的是 ( ) A. (2a+b)(-2a+b) 25 第 三 部 分 探 究 先 飞 B. (a+2)(2+a) C. (-a+b)(a-b) D. (a+b2)(a2-b) 2. 等式(x-4y)( )=x2-16y2 中 括号内应填入下式中的 ( ) A. x+4y B. x-2y C. 2y+x D. y-2x 3. (贵州遵义中考题)下列运算正确的 是 ( ) A. 4a-a=3 B. 2(2a-b)=4a-b C. (a+b)2=a2+b2 D. (a+2)(a-2)=a2-4 4. 直接填空. (1)(x-1)(x+1)= ; (2)(x-y)(x+y)= ; (3)(a+3)(a-3)= ; (4)(m-n)(-m-n)= ; (5)101×99=( )( )= ( )-( )= . 5. (衡阳中考题)若m-n=2,m+n= 5,则m2-n2 的值为 . 6. 在边长为a 的正方形中挖去一个边 长为b的小正方形(a>b)(如图),把余下的 部分拼成一个矩形(如图),根据两个图形中 阴影部分的面积相等,可以验证的乘法公式 是 . 7. 计算: (1)(a+2)(a-2)(a2+4) (2)-2(3x+2y)(3x-2y) (3)(x+3)(x-3)-2x·x (4)(x+y)(x-y)-(3x+2y)(3x- 2y) 35 1.3 同底数幂的除法 1. C 2. B 3. C 4. C 5. A 6. a5 x7 a2b2 7. 8 0.0002 8. 1000 9. (1)> (2)解:因为P÷Q= 999 999 ÷ 119 990 = 999 999 × 990 119 = 999 990×99 × 990 119 = 999 99×119 = 999 999 =1, 所以P=Q. 10. 解:原式= -18 -2024 × -18 2023 = -18 -2024+2023 = -18 -1 =-8 1.4 整式的乘法 1. C 2. C 3. -3a5b7 4. 解:(2a+b)(a+a+3b)-2a·3b =(2a+b)(2a+3b)-2a·3b =4a2+6ab+2ab+3b2-6ab =4a2+2ab+3b2. 1.5 平方差公式 1. A 2. A 3. D 4. (1)x2-1 (2)x2-y2 (3)a2-9 (4)n2-m2 (5)100+1 100-1 1002 1 9999 5. 10 6. (a+b)(a-b)=a2-b2 7. (1)解:原式=(a2-4)(a2+4) =(a2)2-42 ·31· =a4-16 (2)解:原式=-2[(3x)2-(2y)2] =-2(9x2-4y2) =-18x2+8y2 (3)解:原式=x2-9-2x2 =-x2-9 (4)解:原式=(x2-y2)-[(3x)2-(2y)2] =x2-y2-(9x2-4y2) =x2-y2-9x2+4y2 =-8x2+3y2 1.6 完全平方公式 1. B 2. D 3. C 4. 100-3 1002-2×100×3+32 9409 5. 12xy(或-12xy) 6. (1)解:原式=[(2a+b)+1][(2a+b)-1] =(2a+b)2-12 =(2a)2+2·2a·b+b2-1 =4a2+4ab+b2-1 (2)解:原式=x2+4x+4-(x2-2x+1) =x2+4x+4-x2+2x-1 =6x+3 7. 解:原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2. 当a=1,b= 1 10 时,原式=2×12=2. 8. 解法一:原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4ab. 当a=-2,b=3时,原式=4×(-2)2-4×(-2)×3=16+24=40. ·41·