第3部分 1.4 整式的乘法 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 三 部 分 探 究 先 飞 1.4 整式的乘法 1. 情景引入: 七年级(3)班举办新年才艺展示,小明的 作品是用同样大小的纸精心制作的两幅剪贴 画,如图所示,第一幅画的画面大小与纸的大 小相同,第二幅画的画面在纸的上、下方各留 有1 8x 米的空白,你能表示出这两幅画的面 积吗? 问题解答:读图,得出第一幅画面的长、 宽分别为mx 米、x 米,第二幅画面的长、宽 分别为mx 米、 x-18x- 1 8x 米即 3 4x 米, 利用矩形面积公式可得到:第一幅画的面积 是x·(mx)平 方 米,第 二 幅 画 的 面 积 是 (mx)· 34x 平方米. 2. 问题:以上求矩形的面积时,会遇到 x·mx,(mx)· 34x ,这是什么运算呢? 归纳:因为因式都是单项式,所以它们相 乘是单项式乘单项式的运算. 3. 单项式与单项式相乘的法则: 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相 同的字母分别相乘,其余字母连同它的指数 不变,作为积的因式. 温馨提示:(1)积的系数是各项系数的 积,应注意符号;(2)相同字母相乘是同底数 幂的乘法,可根据“底数不变,指数相加”的法 则计算;对于只有一个单项式里含有的字母, 一定要把它连同指数写在积中;(3)单项式乘 法法则对于三个或三个以上的单项式相乘仍 适用. 4. 单项式与多项式相乘的法则: m(a+b+c)=ma+mb+mc,即单项式 与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去 乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 温馨提示:(1)单项式乘多项式的根据是 乘法的分配律,把单×多转化成单×单. (2)单×多结果仍是多项式,其项数与因 式中多项式的项数相同. (3)计算时要注意符号问题,多项式中的 每一项都包括它前面的符号. 5. 多项式乘多项式法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所 得的积相加.(m+n)(a+b)=ma+mb+na +nb. 温馨提示:(1)运算时要按照一定的顺序 进行,防止漏项,积的项数在没有合并同类项 以前,应是两个多项式项数的积.(2)运算时 要注意积的符号.(3)运算结果有同类项的要 合并同类项,并按某个字母的升幂或降幂 排列. 6. 例题学习: 例1 计算: (1)3x2·4x= ; (2) 1 2xy 2·6x2y= ; (3)(2.5×102)×(4×103)= ; (4)- 2 3a 2b·3ab2c= . 05 第 三 部 分 探 究 先 飞 解 (1)12x3 (2)3x3y3 (3)106 (4)-2a3b3c 例2 计算: (1)2×(x-1)= ; (2)3x×(x2+x-1)= ; (3)(x2y-xy2-xy)·(2x)= ; (4) -12a ×(4a2-a+2)= . 解 (1)2x-2 (2)3x3+3x2-3x (3)2x3y-2x2y2-2x2y (4)-2a3+ 1 2a 2-a 例3 如果(x+q)与(x+8)的积中不 含x 的一次项,那么q等于 ( ) A. 8 B. -8 C. 24 D. -24 分析 根据多项式乘多项式法则,先用 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一 项,再把所得的积相加.先依据法则运算,展 开后,因为不含关于字母x 的一次项,所以 一次项的系数为0,再求q的值. 解 (x+q)(x+8)=x2+8x+qx+8q =x2+(8+q)x+8q,因为积中不含x 的一 次项,所以8+q=0,解得q=-8.故选B. 点评 本题主要考查了多项式乘多项式 的运算及多项式相等的意义,注意当要求多 项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数 为0. 例4 先化简,再求值:2x(x+5)-(x -3)(x+2),其中x=-2. 分析 此题是整式的混合运算,应先算 乘法,再算减法,最后代值计算.但需注意(x -3)(x+2)的前面是“-”,所以它的运算结 果应添加括号. 解 2x(x+5)-(x-3)(x+2) =2x2+10x-(x2+2x-3x-6) =2x2+10x-x2-2x+3x+6 =x2+11x+6 当x=-2时,原式=(-2)2+11× (-2)+6=-12. 点评 本题考查了整式的混合运算及化 简求值,解决问题的关键是掌握多项式的乘 法法则及整式的加减运算法则. 1. (沈阳中考题)计算(2a)3·a2 的结 果是 ( ) A. 2a5 B. 2a6 C. 8a5 D. 8a6 2. (扬州中考题)下列计算正确的是 ( ) A. a2·a3=a6 B. (a+b)(a-2b)=a2-2b2 C. (ab3)2=a2b6 D. 5a-2a=3 3. (朝 阳 中 考 题)计 算 (-3a2b)· (ab2)3= . 4. 如图是一模具的截面图,求这个截面 的面积. 15 1.3 同底数幂的除法 1. C 2. B 3. C 4. C 5. A 6. a5 x7 a2b2 7. 8 0.0002 8. 1000 9. (1)> (2)解:因为P÷Q= 999 999 ÷ 119 990 = 999 999 × 990 119 = 999 990×99 × 990 119 = 999 99×119 = 999 999 =1, 所以P=Q. 10. 解:原式= -18 -2024 × -18 2023 = -18 -2024+2023 = -18 -1 =-8 1.4 整式的乘法 1. C 2. C 3. -3a5b7 4. 解:(2a+b)(a+a+3b)-2a·3b =(2a+b)(2a+3b)-2a·3b =4a2+6ab+2ab+3b2-6ab =4a2+2ab+3b2. 1.5 平方差公式 1. A 2. A 3. D 4. (1)x2-1 (2)x2-y2 (3)a2-9 (4)n2-m2 (5)100+1 100-1 1002 1 9999 5. 10 6. (a+b)(a-b)=a2-b2 7. (1)解:原式=(a2-4)(a2+4) =(a2)2-42 ·31·