第3部分 1.1 同底数革的乘法&1.2 的乘方与积的乘方 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 三 部 分 探 究 先 飞 第三部分 探究先飞 第一章 整式的乘除 1.1 同底数幂的乘法 1. 情景引入: 式子103×102 的意义是什么? 这个式子中的两个因式有何特点? 请根据自己的理解,解答下列各题. 103×102=(10×10×10)×(10×10) =10( ); 23×22=(2×2×2)×(2×2)=2×2×2×2 ×2 =2( );↓ ↓ a3×a2=aaa︸ 3个a (aa)︸ 2个a =aaaaa︸ 5个a =a( ). 观察下面各题左右两边,底数、指数有什 么关系? 103×102=10(5)=10(3+2); 23×22=2(5)=2(3+2); a3×a2=a(5)=a(3+2). 猜想:am·an=? (当m,n都是正整数) 2. 总结同底数幂的乘法法则:am·an =am+n(m,n 都是正整数),用语言来描述此 法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数 相加.” 温馨提示:(1)应用同底数幂的乘法运算 性质时,要注意三点:①底数必须相同;②相 乘时底数不变;③指数相加的和为积的指数. (2)对于同底数幂的乘法也可以推广到 三个或三个以上:am ·an·ap=am+n+p; am·an·…·ap=am+n+…+p (m,n,…,p 都为正整数). 3. 例题学习 例1 判断下列计算是否正确: (1)x3·x5=x15; (2)x2·x2=2x4; (3)(-x)2·(-x)3=(-x)5=-x5; 解 (1)错,x3·x5=x8. (2)错,x2·x2=x4. (3)正确. 例2 计算:(1)an+2·an+1·an·a; (2)(b+2)3·(b+2)5·(b+2). 分析 (1)中的底数为a,(2)中的底数 为(b+2),两题中的a 和(b+2)的系数都 是1. 解 (1)an+2 ·an+1 ·an ·a = an+2+n+1+n+1=a3n+4. (2)(b+2)3·(b+2)5·(b+2)=(b+ 2)3+5+1=(b+2)9. 1. (漳州中考题)计算a6·a2 的结果是 ( ) A. a12 B. a8 C. a4 D. a3 2. 若 82a+3·8b-2=82024,求 2a+b 的值. 54 第 三 部 分 探 究 先 飞 1.2 幂的乘方与积的乘方 1. 情景引入: 根据已经学习过的知识,回忆并探讨以 下实际问题: (1)乙正方体的棱长是 2 cm,则乙正方 体的体积V乙= cm3; 甲正方体的棱长是乙正方体棱长的 5 倍,则甲正方体的体积V甲= cm3. (2)乙球的半径为 3 cm,则乙球的体积 V乙= cm3; 甲球的半径是乙球的10倍,则甲球的体 积V甲= cm3. 如果甲球的半径是乙球的n 倍,那么甲 球的体积是乙球体积的 倍. 地球、木星、太阳可以近似地看成球体. 木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和 102 倍,它 们 的 体 积 分 别 约 是 地 球 的 倍和 倍. 问题 解 答:(1)8 1000 (2)36π 36000π n3 103 106 2. 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变, 指数相乘. 积的乘方法则:积的乘方等于积中的每 一个因式分别乘方的积. 积的乘方的运算性 质可以推广到三个或多个因数,即:(abc)n= anbncn(n 为正整数). 温馨提示:幂的乘方运算是转化为指数 的乘法运算(底数不变),而同底数幂的乘法 是转化为指数的加法运算(底数不变).公式 也可写成(an)m=anm,所以(am)n=(an)m. 3. 例题学习 例1 计算: (1)(-xy)4;(2)-(2ab2)3. 分析 (1)中的因式为-1,x,y;(2)中 的因式为2,a,b2,而符号为结果的符号. 解 (1)(-xy)4=(-1)4x4y4=x4y4; (2)-(2ab2)3=-23a3(b2)3=-8a3b6. 例2 若10m =5,10b=3,求102m +3b 的值. 分析 根据同底数幂相乘,底数不变指 数相加,幂的乘方,底数不变指数相乘的性质 的逆用代入数据计算即可. 解 ∵10m=5,10b=3, ∴102m +3b=102m·103b, =(10m)2×(10b)3=52×33, =675. 例3 已知3n=a,求33n 的值. 分析 根据幂的乘方公式变形:(am)n =(an)m;因为33n=(3n)3,所以33n=(3n)3 =a3. 解 33n=(3n)3=a3. 1. (广东中考题)(-4x)2= ( ) A. -8x2 B. 8x2 C. -16x2 D. 16x2 2. (湖北黄石中考题)下列运算正确的 是 ( ) A. 4m-m=3 B. 2m2·m3=2m5 C. (-m3)2=m9 D. -(m+2n)=-m+2n 64 第 三 部 分 探 究 先 飞 3. (贵州铜仁中考题)下列计算正确的 是 ( ) A. a2+a2=2a4 B. 2a2×a3=2a6 C. 3a-2a=1 D. (a2)3=x6 4. (湖北潜江中考题)计算(-2a2b)3 的 结果是 ( ) A. -6a6b3 B. -8a6b3 C. 8a6b3 D. -8a5b3 5. 直接写出计算结果: (1)(xy)2= ; (2) -12a 3 = ; (3)(3x2y)3= ; (4)(-3x3)2-[(2x)2]3= . 6. 用简便方法计算:0.22024×3×52024+ 22024×32×0.52023. 7. 先 化 简,再 求 值:a3·(-b3)2+ -12ab2 3,其中a=2,b=1. 8. 同学们,我们在七年级学习了“幂的 乘方”这个知识点,知道(3b)2=9b2,请你用 几何图形直观地解释上述式子. 9. 根据已知求值. (1)已知3×9m×27m=316,求m 的值; (2)已知am=2,an=5,求a2m +n 的值. 10. 计算: 110× 1 9× 1 8× …× 1 2×1 10 ·(10×9×8×…×2×1)10. 74 24. 解:(1)8 12 (2)点M 表示的数为:-t,点N 表示的数为:12-3t, AM=|8-t|,AN=|20-3t|. 根据题意得:|20-3t|=2|8-t|,解得:t=4或t= 36 5. (3)点P 表示的数为: -8-t 2 , 点Q 表示的数为: 24-3t 2 , ∴PQ= -8-t2 - 24-3t 2 =|t-16| ,MN=|2t-12|, ∴PQ+MN=|t-16|+|2t-12|. 当t≥16时,原式=t-16+2t-12=3t-28,此时当t=16时,最小值为20; 当6≤t≤16时,原式=16-t+2t-12=t+4,此时当t=6时,最小值为10; 当t≤6时,原式=16-t+12-2t=28-3t,此时当t=6时,最小值为10. 综上所述,当t=6时,PQ+MN 有最小值,最小值为10. 第三部分 探究先飞 第一章 整式的乘除 1.1 同底数幂的乘法 1. B 2. 解:因为82a+3·8b-2=82024,所以82a+3+b-2=82024,所以2a+3+b-2=2024,整 理得2a+b=2023. 1.2 幂的乘方与积的乘方 1. D 2. B 3. D 4. B 5. (1)x2y2 (2)- 1 8a 3 (3)27x6y3 (4)-55x6 ·11· 6. 解:原式=(0.2×5)2024×3+2×(22023×0.52023)×32 =12024×3+2×12023×32 =3+2×1×9=21 7. 解:原式=a3b6+ -18a3b6 = 7 8a 3b6 当a=2,b=1时,原式= 7 8×2 3×16=7. 8. 解:因为S正方形ABCD=3b·3b=(3b)2,S正方形ABCD=b2·9=9b2, 所以(3b)2=9b2. 9. 解:(1)因为3×9m×27m=316, 所以3×(32)m×(33)m=316, 即3×32m×33m=316, 所以1+2m+3m=16, 解得m=3. (2)因为am=2,an=5, 所以a2m +n =a2m·an =(am)2·an =4×5 =20. 10. 解:原式= 110×10×19×9×18×8×…×12×2×1×1 10 =110 =1 ·21·