第2部分专题选讲 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

答:该县中考体育成绩优秀学生人数约为2400人. 第二部分 专题选讲 对面的朋友看过来 小试牛刀:A 绝对值 小试牛刀:1. C 2. D 3. A 4. 1 代数式的值 小试牛刀:1. C 2. 5 几何图形的计数 小试牛刀:B 怎样寻找相等关系 小试牛刀:1. A 2. B 3. 20 4. (2m+3) 5. 1000 6. 解:设x 小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半,据题意, 得1 2 1-18x =1-16x, 解得:x= 24 5. 答:24 5 小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半. 7. 解:设小明1月份的跳远成绩为x m,则每个月增加的距离为(4.1-x) m,依题意有: x+4(4.1-x)=4.7 解得x=3.9, ·7· 4.1-3.9=0.2(m). 答:小明1月份的跳远成绩为3.9 m,每个月增加的距离为0.2 m. 8. 解:(1)设七年级(1)班有x 人,则七年级(2)班有 8168 -x 人,由题意,得 12x+10× 8168 -x =1118 解得:x=49, 816 8 -49=53 (人). 答:七年级(1)班有49人,七年级(2)班有53人. (2)七年级(1)班节省的费用为:(12-8)×49=196(元),七年级(2)班节省的费用为: (10-8)×53=106(元). 答:七年级(1)班节约了196元,七年级(2)班节约了106元. 统计图的选择 小试牛刀:解:(1)10÷10%=100(人),100-10-21-40-4=25(人). 补全频数分布直方图,如图所示. (2)∵40÷100=40%, ∴m=40. ∵4÷100=4%,∴“E”组对应的圆心角度数为:4%×360°=14.4°. (3)3000×(25%+4%)=870(人). ·8· 答:估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的有870人. 综合能力检测(一) 一、 1. B 2. D 3. D 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. B 10. B 11. A 二、 12. - 3 4 13. 机动车尾气 14. x=-13 15. 3a 16. x2+3x+6 17. 16 4n 三、 18. 解:(1)-10-8÷(-2)× -12 =-10+4× -12 =-10-2 =-12 (2)(-24)× 18-13+14 +(-2)3 =-3+8-6-8 =-9 19. (1)x=-5 (2)x=-3 20. 解:-2(mn-3m2)-[m2-5(mn-m2)+2mn] =-2mn+6m2-(m2-5mn+5m2+2mn) =-2mn+6m2-m2+5mn-5m2-2mn =mn 把m=1,n=-2代入,得 原式=1×(-2)=-2. 四、 21. 解:(1)6×25=150(元),12×25×0.8=240(元);故填:150 240 (2)有这种可能. 设小红购买跳绳x 根,根据题意得25×80%x=25(x-2)-5, 解得x=11. ·9· 第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 对面的朋友看过来 水平放置的正方体的六个面分别用“前 面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.可如 果展开来或是不展开,你能知道“你的对面是 谁吗?” 例 如图是一个正方 体的平面展开图,若图中的 “专”表 示 正 方 体 的 前 面, “业”表示右面,“学”表示上 面,则“我”“爱”“数”分别表示正方体的 . 解析 正方体有6个面,每2个面互为 对面,共3组,因此,在给出的平面图形中,凡 是能标出3组对面的就可以折叠成正方体. 从正方体表面的展开和折叠知道,“对面”总 是间隔出现的.在实际操作时,可利用填相反 数的方法来完成.如本例可用下面的方法表 示出,然后加以判断. 解答 在图中任选一个正方形并在其上 标上1~3中的某个数字,在其间隔一个正方 形处,若此处存在另一个正方形则在这个正 方形上标上这个数字的相反数,若不存在,而 沿这个方向垂直的方向平移1格、2格或3 格,若在此处正好有正方形,则在这个正方形 上标出这个数字的相反数(如若在标有“爱” 的正方形面标1,则可在隔一个正方形且标 有“学”的正方形面标出-1,即“爱”的对面是 “学”;若在标有“数”的正方形面标2,而隔一 个正方形处是一个空格,用虚线表示这里应 填-2,与水平方向垂直的竖直方向向下移1 格正好是标有“业”的正方形面,可在这个正 方形面填上-2,即“业”是“数”的对面,同理, 可得“我”的对面是“专”,因此,横线上应依次 填:后面、下面、左面),这种方法不仅可简便、 迅速地找到正方体的表面展开图某个面的对 面,而且也可用来判断一个平面图形能否折 叠成正方体.即,若能用这种方法同时标出 ±1、±2和±3,则说明这个平面图形可折叠 成正方体;若在1,2,3中有一个找不到相反 数,则不能折叠成正方体. 点评 通过上下或左右平移,每隔一个 即为自己的对面. (山东济宁)一个正方体的每个面都有一 个汉字,其平面展开图如图所示,那么在该正 方体中和“值”字相对的字是 ( ) A. 记 B. 观 C. 心 D. 间 23 第 二 部 分 专 题 选 讲 绝对值 绝对值的几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离,记作|a|,绝对值的代数 意义可以表示为:|a|= a(a>0), 0(a=0), -a(a<0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 有关绝 对值的应用可从下面几点说明: 一、 化简:根据绝对值的代数意义,去绝 对值化简. 例1 有理数a,b,c在数轴上的位置如 图: ,计 算|a +b|- |b-1|-|a-c|-|1-c|. 解析 利用数轴得出a,b,c 的大小关 系,确定a+b,b-1,a-c,1-c 的符号,进 而去掉绝对值符号. 解答 由数轴可知b<a<0<c<1,所 以a+b<0,b-1<0,a-c<0,1-c>0. 所以|a+b|=-(a+b),|b-1|=-(b -1),|a-c|=-(a-c),|1-c|=1-c. 故原式=-(a+b)-[-(b-1)]- [-(a-c)]-(1-c)=-(a+b)+(b-1) +(a-c)-(1-c)=-a-b+b-1+a-c -1+c=-2. 点评 先结合数轴,判断绝对值里的式 子是正还是负,再利用正数的绝对值是它本 身,负数的绝对值是它的相反数计算. 二、 计算:根据|a| a = 1,a>0, -1,a<0, 分类讨 论,计算. 例2 五个有理数a,b,c,d,e 满 足 |abcde|=-abcde,则S= |a| a + |b| b + |c| c + |d| d + |e| e 的最大值是 ( ) A. 1 B. -1 C. 3 D. 5 解析 由题设条件知,abcde<0,而 a, b,c,d,e满足abcde<0仅有三种情况:①二 正三负;②四正一负;③五负.故S 最大值是 在四正一负时取得,即S 的最大值=4-1 =3. 解答 C 1. (湖南永州中考题)已知a 为实数,则 下列四个数中一定为非负数的是 ( ) A. a B. -a C. |-a| D. -|-a| 2. (四川凉山州中考题)若x 是2的相 反数,|y|=3,则x-y 的值是 ( ) A. -5 B. 1 C. -1或5 D. 1或-5 3. (湖南娄底中考题)若|a-1|=a-1, 则a 的取值范围是 ( ) A. a≥1 B. a≤1 C. a<1 D. a>1 4. (湖南长沙中考题)若实数a,b满足: |3a-1|+b2=0,则ab= . 33 第 二 部 分 专 题 选 讲 代数式的值 代数式的值是由所给字母的取值确定 的,随着代数式中字母的取值的变化而变化, 所以当说代数式的值时,一定要指明字母的 取值.求代数式的值有以下几种类型: 一、 直接代入求值 例1 已知a=- 1 2 ,求a+ 1 a 的值. 解析 根据代数式值的定义,把代数式 中字母取值代入代数式计算即可. 解答 当a=- 1 2 时,a+ 1 a= - 1 2 + 1 -12 =- 1 2-2=- 5 2. 点评 当字母的取值是分数或负数的乘 方运算时,都要添加必要的括号;代数式中原 来省略的乘号等符号,在具体数字代入时一 定要恢复原形. 二、 整体代入法求值 例2 (浙江金华中考题)如果a-3b= -3,那么代数式5-a+3b的值是 ( ) A. 0 B. 2 C. 5 D. 8 解析 代数式5-a+3b=5-(a-3b), 所以可以把a-3b=-3整体代入,可得:5 -a+3b=5-(a-3b)=5+3=8. 解答 D 点评 求代数式的值往往考虑要求式子 与已知条件的关系,把已知条件作为整体代 入求值. 三、 代入数值转换机求值 例3 如图,某计算装置有一数据输入 口A 和一运算结果输出口B,下表是小明输 入的一些数据和这些数据经该装置计算后输 出的相应结果: A 1 2 3 4 5 B 2 5 10 17 26 按照这个计算装置的计算规律,若输入 的数是10,则输出的数是 . 解析 本题是数值转换机问题,给出五 个数经过该程序运算结果,要求输入10后的 结果,可通过探索(猜想)表中5个对应值的 关系得到.观察发现:数据输入口 A 输入的 数为x,经过平方后得到x2,再将所得的数 加1,即可得到运算结果输出口的输出数据 B.所 以,当 输 入 的 数 为10时,输 出 的 数 为101. 解答 101 1. (新疆乌鲁木齐中考题)已知整式x2 - 5 2x 的值为6,则2x2-5x+6的值为 ( ) A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 2. (湖南怀化中考题)当x=1,y= 1 5 时,3x(2x+y)-2x(x-y)= . 43 第 二 部 分 专 题 选 讲 几何图形的计数 数几何图形的个数,必须做到不重、不 漏,可以按一定的顺序去数,在复杂几何图形 中数线段、直线、角的个数有一定规律可循, 通过下面几例可以让我们掌握规律: 一、 推断直线条数、线段条数 例1 平面内有四个点,经过两点画直 线可画多少条? 解析 首先应确定平面内四个点的位置 关系,平面内四个点的不同位置关系有3种: ①四个点在一条直线上;②三个点在一条直 线上,一个点在此直线外;③任何三点都不 共线. 解答 如图,可画1条或4条或6条. 点评 过任意三个点都不共线的n 个 点中的两点可画 n(n-1) 2 (n 为大于1的正整 数)条直线. 二、 推断角的个数 例2 如图,共有几个小于平角的角? 并分别写出来. 解析 分别以OA,OB,OC,OD 为一边 数角的个数. 解答 10个. ∠AOB,∠AOC,AOD, ∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD, ∠COE,∠DOE. 点评 一般地,当一个小于平角的角的 内部有n 条以这个角的顶点为端点的射线 时,图中共有(n+1)+n+(n-1)+…+2+ 1= (n+1)(n+2) 2 (个)小于平角的角. 观察下图,并阅读图形下面的相关文字: 10条直线相交最多有交点数为 ( ) A. 40个 B. 45个 C. 50个 D. 55个 53 第 二 部 分 专 题 选 讲 怎样寻找相等关系 列方程解应用题,找相等关系是关键,现 介绍几种找相等关系的方法. 一、 利用基本关系 基本关系就是我们平时掌握的公式:如 路程=速度×时间;利润率=利润÷进价等. 例1 某商品的进价为170元,按标价 的85%销售,利润率为15%,问商品的标价 是多少? 解析 本题是商品销售问题,解决问题 的关键是利用关系式:利润率=利润÷进价. 通过设出标价列方程. 解答 设商品的标价为x 元, 则售价为85%x 元, 根据公式得 85%x-170 170 =15% , x=230. 答:商品的标价是230元. 二、 抓住不变量 例2 某种商品若按标价九折出售,利 润率为15%,若按标价八折出售,则仍可获 利34元.问该商品的标价为多少? 解析 本题中隐含的不变量就是商品两 次打折,其进价不变.根据这个不变量可设标 价为x 元,列方程求解. 解答 设商品的标价为x 元, 则商 品 进 价 为 0.9x 1+15% 元 或(0.8x- 34)元, 则 0.9x 1+15%=0.8x-34. x=1955. 答:该商品的标价为1955元. 三、 借助示意图 例3 请根据图中给出的信息,列出正 确的方程(不必计算). 解析 这是一道以图形和对话内容为主 的新型一元一次方程题.解题时应根据所给 图景找出等量关系进行解答.通过观察发现 两个量筒内水的体积是相等的.根据这一等 量关系可列方程. 解答 π× 82 2 x=π× 62 2 ×(x+5). 1. 某品牌商品,按标价九折出售,仍可 获得20%的利润.若该商品标价为28元,则 商品的进价为 ( ) A. 21元 B. 19.8元 C. 22.4元 D. 25.2元 63 第 二 部 分 专 题 选 讲 2. (四川内江中考题)某品牌服装折扣 店将某件衣服按进价提高50%后标价,再打 8折(标价的80%)销售,售价为240元,设这 件衣服的进价为x 元,根据题意,下面所列 的方程正确的是 ( ) A. x·50%×80%=240 B. x·(1+50%)×80%=240 C. 240×50%×80%=x D. x·(1+50%)=240×80% 3. (江苏南通中考题)甲种电影票每张 20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙 两种电影票共40张,恰好用去700元,则甲 种电影票买了 张. 4. (浙江温州中考题)某校艺术班同学, 每人都会弹钢琴或古筝,其中会弹钢琴的人 数比会弹古筝的人数多10人,两种都会的有 7人. 设会弹古筝的有m 人,则该班同学共 有 人(用含m 的代数式表示). 5. 某商品按进价提高30%后标价,再打 8折销售,售价为1040元,则这种商品的进 价为 元. 6. 有甲、乙两支同样长的蜡烛,甲支蜡 烛可使用8小时,乙支蜡烛可使用6小时. 两支蜡烛同时开点,问几小时后乙支蜡烛的 长度是甲支蜡烛长度的一半? 7. (湖南怀化中考题)小明从1月初就 刻苦练习跳远,每个月的跳远成绩都比上一 个月有所增加,而且增加的距离相同,2月 份、5月 份 他 的 跳 远 成 绩 分 别 是4.1 m, 4.7 m,请你算出小明1月份的跳远成绩以 及每个月增加的距离. 8. (广东佛山中考题)某景点的门票价 格如下表: 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该 景点,其中(1)班人数少于50人,(2)班人数 多于50人且少于100人,如果两班都以班级 为单位单独购票,则一共支付1118元;如果 两班联合起来作为一个团体购票,则只需花 费816元. (1)两个班各有多少名学生? (2)团体购票与单独购票相比较,两个班 各节约了多少钱? 73 第 二 部 分 专 题 选 讲 统计图的选择 统计图特点:条形统计图能清楚地反映 每个项目的具体数目.扇形统计图能清楚地 表示各部分在总体中所占的百分比.折线统 计图能清楚地反映事物变化情况. 例 为了解某市参加中考的32000名学 生的体重情况,抽查了其中1600名学生的体 重进行统计分析.下面叙述正确的是 ( ) A. 32000名学生是总体 B. 1600名学生的体重是总体的一个 样本 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 以上调査是普查 解析 总体是指考查的对象的全体,个 体是总体中的每一个考查的对象,样本是总 体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是 指样本中个体的数目.我们在区分总体、个 体、样本、样本容量这四个概念时,首先找出 考查的对象,从而找出总体、个体.再根据被 收集数据的这一部分对象找出样本,最后再 根据样本确定出样本容量. 解答 A. 总 体 是:某 市 参 加 中 考 的 32000名学生的体重情况,故本选项错误,B. 样本是:1600名学生的体重,故本选项正确, C. 每名学生的体重是总体的一个个体,故本 选项错误,D. 以上调查是抽样调查,故本选 项错误,故选B. 点评 本题主要考查了总体、个体与样 本的定义,关键是明确考查的对象.总体、个 体与样本的考查对象是相同的,所不同的是 范围的大小.样本容量是样本中包含的个体 的数目,不能带单位,比较简单. (浙江台州中考题)某校想了解学生每周 的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生, 对学生每周的课外阅读时间x(单位:小时) 进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整 的频数分布直方图和扇形统计图. 根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)补全频数分布直方图; (2)求扇形统计图中m 的值和“E”组对 应的圆心角的度数; (3)请估计该校3000名学生中每周的课 外阅读时间不小于6小时的人数. 83