第1部分 第5章 一元一次方程 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 一 部 分 温 故 知 新 第五章 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念:在一个方程 中,只含有一个未知数,且方程中的代数式都 是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫 作一元一次方程.一元一次方程的标准形式 是:ax+b=0(其中x 是未知数,a,b是已知 数,且a≠0). 2. 方程的解:使方程左右两边的值相等 的未知数的值叫作方程的解. (1)一元一次方程:只含有一个未知数; 未知数的次数是1次;整式方程. (2)判断一个数是否是某方程的解:将其 代入方程两边,看两边是否相等. 3. 等式的性质: (1)等式两边同时加上(或减去)同一个 代数式,所得结果仍是等式. (2)等式两边同时乘同一个数(或除以同 一个不为零的数),所得结果仍是等式. 4. 解一元一次方程的基本思路: 通过对方程变形,把含有未知数的项归 到方程的一边,把常数项归到方程的另一边, 最终把方程“转化”成x=a 的形式. 5. 解一元一次方程的一般步骤: 变形 名称 具体做法 变形依据 去分母 在方程两边都乘各分母的 最小公倍数 等式基本性 质2 去括号 先去小括号,再去中括号, 最后去大括号 去 括 号 法 则、分配律 移项 把含有未知数的项都移到 方程的一边,其他项都移 到方程的另一边(记住移 项要变号) 等式基本性 质1 合并 同类项 把方程化成ax=b(a≠ 0)的形式 合并同类项 法则 系数 化成1 在方程两边都除以未知数 的系数a,得到方程的解 x= b a 等式基本性 质2 (1)解方程时应注意:①解方程时,表中有 些变形步骤可能用不到,并且也不一定按照自 上而下的顺序,要根据方程形式灵活安排求解 步骤.熟练后,步骤及检验还可以合并简化. ②去分母时,不要漏乘没有分母的项.去分 母是为了简化运算,若不使用,可进行分数运算. 22 第 一 部 分 温 故 知 新 ③去括号时,不要漏乘括号内的项,若括 号前为“-”号,括号内各项都要改变符号. (2)在方程的变形中易出现的错误有以 下几种情况:①移项时忘记改变符号;②去分 母时,易忘记将某些整式也乘最简公分母; ③分数线兼有括号的作用,在去分母后,易忘 记添加括号. 6. 列一元一次方程解应用题的一般步骤: (1)审题,分析题中已知什么,未知什么, 明确各量之间的关系,寻找等量关系; (2)设未知数,一般求什么就设什么为 x,但有时也可以间接设未知数; (3)列方程,把相等关系左右两边的量用 含有未知数的代数式表示出来,列出方程; (4)解方程; (5)检验,看方程的解是否符合题意; (6)写出答案. 考点1 一元一次方程的定义 例1 下列方程中,属于一元一次方程 的是 ( ) A. 1 x+2=0 B. 3x+4y=2 C. x2+3x=x2-1 D. x2+3x-1=8+5x 解析 若一个整式方程经过化简变形 后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都 是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方 程.A. 方程左边分母中含有未知数,不是整 式,所以不是一元一次方程;B. 含有两个未知 数,是二元一次方程;C. 化简后为3x+1=0, 符合一元一次方程的定义;D. 化简后未知数 的次数是2,不符合一元一次方程的定义. 解答 C 点评 要判断一个方程是不是一元一次 方程,主要看这个方程是否满足一元一次方 程的条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数 的次数为1;(3)必须是整式方程,简单地说 分母中不含有未知数的方程. 考点2 一元一次方程的解 例2 x=1是方程3x-m+1=0的 解,那么m 的值是 ( ) A. -4 B. 4 C. 2 D. -2 解析 使方程左右两边相等的未知数的 值是该方程的解.根据题意,把方程的解x= 1代入方程3x-m+1=0得:3×1-m+1 =0,解得:m=4. 解答 B 点评 在解有关方程的解的题目时,我 们一般考虑将方程的解代入方程,从而得到 一个关于参数的一元一次方程. 考点3 一元一次方程的应用 例3 (吉林长春中考题)学校准备添置 一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元, 店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方实 际订购了72套,每套减价3元,但商店获得 了同样多的利润. (1)求每套课桌椅的成本; (2)求商店获得的利润. 解析 (1)设 每 套 课 桌 椅 的 成 本 为 x 元,根据利润=销售收入-成本,结合商店获 得的利润不变,即可得出关于x 的一元一次 方程,解之即可得出结论;(2)根据总利润= 单套利润×销售数量,即可求出结论. 解答 (1)设每套课桌椅的成本为x 元, 根据题意得:60×100-60x=72×(100 -3)-72x, 解得:x=82. 答:每套课桌椅的成本为82元. (2)60×(100-82)=1080(元). 答:商店获得的利润为1080元. 点评 准确地找准等量关系是列方程的 关键. 32