第1部分 第4章 基本平面图形 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 一 部 分 温 故 知 新 第四章 基本平面图形 1. 平面四种简单图形:线段、直线、射 线、角. (1)线段、射线、直线的区别和联系: 图形 表示法 延伸性 端点个数 画图叙述 长度 直线 直线AB、直线 BA 或直线l 向 两 方 无 限 延伸 无 过点 A 和 点B 作直线AB 无限 射线 射线 OA 或射 线l 由一端向一方 无限延伸 一个 以O 为 端 点 作 射线OA 无限 线段 线段AB、线段 BA 或线段a 不延伸 两个 连接AB 可度量 长度 注:①直线和射线能延伸,但是不能延 长;②直线 AB,BA 表示同一条直线,线段 AB,BA 表示同一条线段,射线AB,BA 表 示不同的射线. (2)角的概念和表示: 概念 表示 角 由有公共端点的两条射线组成的图形;或者 是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位 置所形成的图形 平角 当射线绕端点旋转到与原来位置在同一直线 上但方向相反时所成的角 周角 当射线绕端点旋转一周,又重新回到原来的 位置时所成的角 如图1,角可以记作∠AOB 或∠BOA 或∠O 如图2,∠ABC 可 记 作∠1,∠ACB 可 记 作∠2, ∠CAD 可记作∠α,∠BAE 可记作∠β 注:①角的大小与角的两边的长短无关, 只与角的开口大小有关;②从始边旋转到终 边所扫的区域,叫作角的内部;③1周角= 2平角=4直角. 2. 两个概念: (1)线段中点:将线段分成两条相等线段 71 第 一 部 分 温 故 知 新 的点叫作线段的中点.如图甲,点B 是线段 AC 的中点,则 AB=BC 或 AC=2AB= 2BC 或AB=BC= 1 2AC. 图甲 图乙 (2)角平分线:从一个角的顶点引出的一 条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射 线叫作这个角的平分线.如图乙,AC 平分 ∠BAD 或 AC 是∠BAD 的 角 平 分 线,则 ∠BAC= ∠DAC 或 ∠BAC = ∠CAD = 1 2∠BAD 或∠BAD=2∠BAC=2∠CAD. 3. 两类比较: (1)线段的大小比较: ①叠合法:将线段AB,CD 移到同一条 直线上,使一个端点A 和C 重合,另一个端 点B 和D 落在直线上A 和C 的同侧,如图 所示 分 别 记 作:AB=CD,AB>CD,AB <CD. ②度量法:分别度量出每条线段的长度, 然后按长度的大小,比较出线段的大小. (2)角的比较: ①重叠法:让角的顶点和角的一条边都 重合,看另一条边落在角内还是角外,如图分 别 记 作:∠AOB = ∠COD,∠AOB > ∠COD,∠AOB<∠COD. ②度量法:用量角器量出角的度数,度数 大的角大于度数小的角. 注:角的度量单位是“度、分、秒”,换算关 系:1°=60',1'=60″. 4. 两点间的距离: 连接两点间的线段的长度叫两点间的 距离. 5. 两种性质: (1)直线性质:经过两点有且只有一条 直线. (2)线段性质:两点之间的所有连线中, 线段最短. 6. 有关的平面图形: (1)多边形:由不在同一直线上的线段依 次首尾相连组成的封闭平面图形. (2)弧与扇形:①弧:圆上两点之间的部 分.②扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的 两条半径所组成的图形. 考点1 线段、直线性质应用 例1 下列四个生活、生产现象:①用两 个钉子就可以把木条固定在墙上;②植树时 只要定出两棵树的位置,就能确定同一行所 在的直线;③从A 到B 地架设电线总是尽可 能沿着AB 架设;④把弯曲的公路改直,就能 缩短路程.其中可用公理“两点之间,线段最 短”来解释的现象有 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 解析 ①②是根据两点确定一条直线, 是直线性质的应用,③④是线段性质的应用. 解答 D 考点2 钟面角 例2 下午4:40时,钟表的时针与分针 的夹角是多少? 解析 在下午4:40时,分针指向8,时 针指向4与5之间,40分钟时针在一个大格 中走过30°× 40 60=20° ,到指向5还得走10°, 81 第 一 部 分 温 故 知 新 再加上3个大格,这样就可求出时针与分针 的夹角来. 解答 3×30°+ 30°-30°×4060 =100°. 点评 要求时针与分针的夹角,必须正 确理解下面的知识:时针12小时转360°,1 小时转360°÷12=30°,即一大格为30°;分针 60分钟转360°,1分钟转360°÷60=6°,即一 小格为6°. 考点3 角度的计算 例3 如图所示,∠AOC 为直角,OC 是 ∠BOD 的平分线且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数. 解析 和图形有关的角度计算问题,需 要从图形中找到角与角之间的关系. 本题要 求∠AOD 的度数,则只要求出∠COD 的度 数即可. 解答 因为∠BOC=∠AOC-∠AOB =90°-35°=55°, 又因为OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+ 55°=145°. 点评 解决与图形有关的角的计算问题 的关键是将所求的角转化为已知角求解. 考点4 圆与扇形 例4 小窦将本班学生上学方式的调查 结果绘制成如图所示的统计图,看图回答 问题: (1)如果小窦班上的学生有50名,则骑 车上学的学生有多少人? (2)计算步行所在扇形的圆心角的度数; (3)若圆的半径为5,则骑车所在扇形的 面积是多少? (结果保留π) 解析 (1)根据骑车上学的学生占的比 例求出骑车上学的学生人数;(2)步行上学的 学生占的比例就是它所在扇形的圆心角占圆 心处360°角的百分比;(3)骑车上学的学生占 的比例就是它所在扇形的面积占整个圆面积 的百分比. 解答 (1)骑车上学的学生:50×20% =10(人); (2)360°×60%=216°; (3)π×52×20%=5π. 91