第1部分 第3章 整式及其加减 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 一 部 分 温 故 知 新 第三章 整式及其加减 1. 代数式: 字母表示数是从实际问题中提炼出来 的,具有简明、普遍的优越性.字母可以简明 地表达数学运算律,如:加法交换律a+b=b +a.可以简明地表达公式,如三角形面积公 式:S= 1 2ah ,其中a 表示底边长,h 表示这 条底边上的高.可以简洁、准确地表达一些数 学概念,如用a 和b 表示两个互为相反数的 数,则a+b=0,可以简明地表达问题中的数 量关系,如三个连续的偶数,中间一个为2n, 则另外两个可以表示为:2n-2,2n+2. 注:①在同一个问题中,同一个字母表示 同一个量,不同的量要用不同的字母来表示; ②用字母表示实际问题的量时,字母的取值 需使问题有意义. 代数式:只用运算符号把数和表示数的 字母连接而成的式子,单独的一个字母或单 独的一个数字也是代数式. 代数式的意义:其狭义的意义是指代数 式本身的意义,而广义的意义是指赋予生活 情境下的意义.如2a,从本身来讲表示2与 a 的积,而从广义的意义来说,可以赋予这么 一个生活情境,某种苹果每千克2元,买a 千 克苹果需要的钱数即可表示为2a. 注:含有=,>,<,≥,≤,≠符号的式子 都不是代数式. 2. 列代数式: 在解决一些实际问题中需要把问题中与 数量有关的量用含有数、字母和运算符号的 式子表示出来,即列代数式,列代数式需要注 意:①数与字母、字母与字母相乘时,乘号通 常简写作“·”或省略不写;如果是数与字母 相乘,数字应写在字母前.例如,a×3一般写 成3·a 或3a 的形式,而不应写成a·3或 a3的形式,带分数与字母相乘时,如果省略 乘号,一定要先把带分数化成假分数,再与字 母相乘;②除法运算一般写成分数形式,如s ÷v 写作 s v ;③和差形式的代数式后面若有 11 第 一 部 分 温 故 知 新 单位则代数式要加括号. 3. 代数式的值: 一般地,用数值代替代数式里的字母,按 照代数式中的运算关系计算出的结果叫作代 数式的值.计算代数式的值分两步:一是代 入,二是计算. 注:代入时,按已知给定的数值,将相应 的字母换成数字,运算符号、原来的数字不 变;代数式的值是由所给字母的取值确定的, 随着代数式中字母的取值而变化,所以当求 代数式的值时,一定要指明字母的取值. 4. 合并同类项: 同类项:所含字母相同,并且相同字母的 指数也相同的项,我们把这样的项叫作同类 项,如多项式ab- 1 6ab 中的ab,- 1 6ab ;所有 的常数项都是同类项,如-3,0,π就是同 类项. 合并同类项:把多项式中的同类项合并 成一项,叫作合并同类项. 合并同类项法则:把同类项的系数相加, 所得的结果作为系数,字母和字母的指数保 持不变. 注:①同类项要注意两相同:所含字母必 须相同,相同字母的指数也相同;两无关:与 字母的顺序无关,与系数无关. ②合并同类项实质上就是根据加法交换 律、结合律以及乘法分配律,把各同类项的系 数加以合并,合并要注意两不变:所含字母不 变,相同字母的指数不变. ③多项式中不是同类项的不能合并,写 时照抄即可. 5. 去括号: 去括号法则:括号前是“+”号,把括号和 它前面的“+”号去掉,原括号里各项的符号 都不变;括号前是“-”号,把括号和它前面的 “-”号去掉,原括号里各项的符号都改变. 注:①要注意法则中的“都”,指括号中所 有的项,符号变则全变,不变则全不变;②括 号前有数字因数时,首先要用数字因数去乘 括号里的每一项,然后再去括号. 6. 探索规律: 日历中规律:①横行相邻的三个数,后者 比前者多1,用字母表示:a,a+1,a+2;②竖 列相邻的三个数,下边的数比上边的数多7, 用字母表示:a,a+7,a+14;③右对角线上 相邻的数,下一个比上一个多8,用字母表 示:a,a+8,a+16;④左对角线上相邻的数, 下一个比上一个多6,用字母表示:a,a+6,a +12;⑤无论位置怎样的相邻三个数,中间的 数是其余两个数的平均数. 注:规律探索有两种方式:一是从图形角 度,二是从数的角度.而符号运算可以验证 规律. 考点1 图形中的规律 例1 (益阳中考题)观察下列图形,则 第n 个图形中三角形的个数是 ( ) A. (2n+2)个 B. (4n+4)个 C. (4n-4)个 D. 4n 个 解析 每增加一个正方形,三角形的个 数增加4个,第1个图形中有4个三角形,第2 个图形中有8个三角形,第3个图形有12个 三角形,所以第n个图形中有4n个三角形. 解答 D 点评 图形中的规律如果用具体数字表 21 第 一 部 分 温 故 知 新 示有时很困难,而且也不易表达清楚,我们可 以把图形的规律用字母表示. 考点2 列代数式 例2 (安徽中考题)某企业今年3月份 产值为a 万元,4月份比3月份减少了10%, 5月份比4月份增加了15%,则5月份的产 值是 ( ) A. (a-10%)(a+15%)万元 B. a(1-10%)(1+15%)万元 C. (a-10%+15%)万元 D. a(1-10%+15%)万元 解析 因为3月份产值为a 万元,4月 份比3月份减少了10%,所以4月份的产值 为a(1-10%)万元,又5月份比4月份增加 了15%,所以5月份的产值为 a(1-10%)(1 +15%)万元. 故选B. 解答 B 点评 增长率问题首先找出基数a,若 平均降低率是x%,则每降低一次后,变为前 一次的(1-x%);若平均增长率是x%,则 每增长一次后,变为前一次的(1+x%)倍. 考点3 合并同类项 例3 (四川乐山中考题)化简: 3(2x2-y2)-2(3y2-2x2). 解析 先去括号,再合并同类项. 解答 3(2x2-y2)-2(3y2-2x2) =6x2-3y2-6y2+4x2 =10x2-9y2. 点评 运用去括号法则时,如果括号前 面是“-”号,去掉“-”号和括号,括号内的各 项都要改变符号,防止出现只改变括号内第 一项符号,忘记改变剩余项的符号的错误. 合并同类项时要抓住“一变两不变”这一合并 要点,“一变”指的是系数的变化;“两不变”指 的是字母及字母的指数不变. 考点4 化简多项式 例4 (广东广州中考题)下面的计算正 确的是 ( ) A. 6a-5a=1 B. a+2a2=3a3 C. -(a-b)=-a+b D. 2(a+b)=2a+b 解析 ∵6a 和5a 是同类项,6a-5a= a,所以选项 A错误;而a 和2a2 不是同类 项,不能相加减,所以选项B错误;由去括号 法则可知选项C正确;由分配律可知2(a+ b)=2a+2b,选项D错误.综上,只有选项C 是正确的,故选C. 解答 C 点评 对于这类关于代数式的运算的式 子,一般都需要根据运算律和运算法则逐一 作出判断. 考点5 化简求值 例5 (成都中考题)已知当x=1时, 2ax2+bx 的值为3,则当x=2时,ax2+bx 的值为 . 解析 将x=1代入2ax2+bx=3得 2a+b=3,然后将x=2代入ax2+bx 得4a +2b=2(2a+b),之后整体代入即可. 解答 将x=1代入2ax2+bx=3得 2a+b=3,将x=2代入ax2+bx 得4a+2b =2(2a+b)=2×3=6.故答案为6. 点评 用整体代入的思想求代数式的值 是常见的一个题型,而经常会有一部分学生 不知道如何来解题,整体代入的思想要注意 平时多鼓励学生动笔,先把未知数的值代入 式子化简后,再考虑问题,不能在简单的思考 后,就断定此题解不了. 考点6 规律探究 例6 (山东泰安中考题)观察“田”字中 各数之间的关系: 31 第 一 部 分 温 故 知 新 1 2 2 3 3 6 4 7 5 12 8 13 7 22 1623 9 40 3241 1174 6475 …… 15c a b 则c的值为 . 解析 依次观察每个“田”中相同位置的 数字,即可找到数字变化规律,再观察同一个 “田”中各个位置的数字数量关系即可. 解答 经过观察每个“田”左上角数字依 次是1,3,5,7等奇数,此位置数为15时,恰 好是第8个奇数,即此“田”字为第8个.观察 每个“田”字左下角数据,可以发现,规律是 2,22,23,24 等,则第8数为28.观察左下和右 上角,每个“田”字的右上角数字依次比左下 角大0,2,4,6等,到第8个图多14.则c=28 +14=270,故应填:270或28+14. 例7 (江苏宿迁中考题)按如图所示的 方法排列黑色小正方形地砖,则第14个图案 中黑色小正方形地砖的块数是 . 解析 根据所给图形的排列规律,将图 形序号与图形中含有黑色小正方形地砖的个 数用表格列出来,再进一步深层次地寻找图 形的排列规律,从而得到通项公式,最后利用 求代数式的值的方法进行求解即可. 解答 方法一:由图可知,第1个图形中 只有1个黑色小正方形地砖,第2个图形中 比第1个图形多了(4×2-4=4×1)个;第3 个图形中比第2个图形多了(4×3-4=4× 2)个;这样第n 个图形中黑色小正方形地砖 的个数为1+4×1+4×2+4×3+…+4(n -1)=1+4×(1+2+3+…+n-1)=1+4 × n(n-1) 2 =2n (n-1)+1. 当n=14时,2n(n-1)+1=2×14×13 +1=365,故填365. 方法二:由图形的排列规律可列表如下: 图形的序号 图形中含有的黑色 小正方形地砖的个数 1 1 2 1+4 3 1+4+8 4 1+4+8+12 … … n 1+4+8+12+…+4(n-1) 当n=14时,该图形中共有黑色小正方 形地砖的个数为 1+4×1+4×2+4×3+…+4×(14-1) =1+4×(1+2+3+…+13) =1+4× 13×(1+13) 2 =365 ,故填365. 点评 认真观察图形,可以探究出每个 图形中黑色小正方形地砖的排列规律:从整 体上看每一个图形都是大正方形,这样就可 以从大正方形的四条边上去看其排列规律. 相邻两个图形,后一个图形总比前一个图形 在每一个边上多1个黑色小正方形地砖,这 样思考,就较易列出第n 个图形中黑色小正 方形地砖的总个数S=1+4×1+4×2+4× 3+…+4(n-1)=1+4× n(n-1) 2 =2n (n -1)+1. 另外,解决本题还要掌握简单的数列求 和公式,即前n 个正整数的和的计算公式 为:1+2+3+…+n= n(n+1) 2 . 41