第1部分 第2章 有理数及其运算 -【期末·寒假大串联】2025-2026学年新教材七年级数学（北师大版2024）

第 一 部 分 温 故 知 新 第二章 有理数及其运算 1. 有理数的意义: 整数和分数统称为有理数,正整数和正 分数统称为正有理数,负整数和负分数统称 为负有理数. 注:①0既不是正数也不是负数,0是整 数;自然数包括0和正整数. ②所有的同类数放在一起能组成数集, 如所有的有理数合在一起组成有理数集. 2. 有理数的有关概念: 数轴:规定原点、正方向和单位长度的 直线. 注:所有的有理数都可以用数轴上的点 表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有 理数可用原点左边的点表示,零用原点表示; 但反过来,不能说数轴上所有的点都表示有 理数. 相反数:只有符号不同的两个数,我们说 其中一个数是另一个数的相反数,也称这两 个数互为相反数.0的相反数是0. 注:在数轴上原点两旁距原点距离相等 的两个点所表示的数互为相反数,表示一个 数的相反数,只要在这个数的前面添一个 “-”号即可,即a 的相反数是-a. 绝对值:在数轴上,一个数所对应的点与 原点的距离叫作该数的绝对值.正数的绝对 值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是0. 倒数:如果a 与b是非零的有理数,并且 有a×b=1,我们就说a 与b互为倒数. 注:①对于任何有理数a,都有|a|≥0,0 是绝对值最小的有理数. 6 第 一 部 分 温 故 知 新 ②要求一个数的绝对值,应先判断这个 数是正数、负数还是0,再由绝对值的意义确 定去掉绝对值符号后的结果. 3. 有理数大小的比较: (1)正数都大于0,正数大于一切负数, 两个负数相比,绝对值大的反而小. (2)在数轴上表示的两个数,右边的数总 比左边的数大. 4. 有理数的运算: (1)有理数的运算: 运算 符号 绝对值 加 法 同号 取相同的符号 绝对值相加 异号 绝对值不等,取绝对 值较大的加数的符号 用较大绝对值, 减去较小绝对值 绝对值相等,既不是 正数,也不是负数 0 减法 变减号为加号,减数 改为相反数,用加法 乘法 同号得正,异号得负 相乘 除法 同号得正,异号得负 相除 (2)有理数的乘方:求几个相同因数的积 的运算,叫作乘方.正数的任何次幂都是正 数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是 正数. 注:①an 与-an 的区别:an 表示n 个a 相乘,底数是a,指数是n,读作:a 的n 次方; -an 表示n 个a 乘积的相反数,底数是a,指 数是n,读作:a 的n 次方的相反数. ②若n 表示正整数,则2n 表示偶数,(2n +1)表示奇数.(-1)2n=1,(-1)2n+1=-1. (3)有理数混合运算:先算乘方,再算乘 除,最后算加减;如果有括号,就先算括号里 面的. (4)运算律: 加法交换律:a+b=b+a;加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); 乘法交换律:ab=ba;乘法结合律:(ab)c =a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac. 5. 数学思想方法的运用: (1)数形结合思想:借助数轴上的点来表 示有理数,使有理数的绝对值、相反数及有理 数的大小比较等问题简单直观化. (2)分类讨论思想:数的范围扩大,字母 a 既可以表示正数,也可以表示负数和0;绝 对值的化简也要分类讨论绝对值里面的数的 符号. (3)转化思想:有理数的运算可以相互转 化,减法 相反数 →加法,除法 倒数 →乘法. 考点1 具有相反意义的量 例1 (浙江绍兴中考题)如果向东走 2 m记为+2 m,则向西走3 m可记为 ( ) A. +3 m B. +2 m C. -3 m D. -2 m 解析 首先审清题意,明确“正”和“负” 所表示的意义,再根据题意作答. 解答 如果向东走2 m时,记作+2 m, 那么向西走3 m应记作-3 m.故选C. 点评 考查了相反意义的量,相反意义 的量用正数和负数来表示. 考点2 有理数有关概念———数轴、相 反数、绝对值、倒数 例2 (湖南益阳中考题)数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 ( ) A. 6或-6 B. 6 C. -6 D. 3或-3 解析 数轴上的点 A 到原点的距离是 6,即点A 表示的数的绝对值是6,所以这个 7 第 一 部 分 温 故 知 新 数是6或-6. 解答 A 点评 绝对值等于同一个正数的有理数 有两个,它们互为相反数. 考点3 有理数大小比较 例3 (浙江金华中考题)如图,若A 是 数a 在数轴上对应的点,则关于a,-a,1的 大小关系表示正确的是 ( ) A. a<1<-a B. a<-a<1 C. 1<-a<a D. -a<a<1 解析 -a 表示a 的相反数,它和a 到 原点的距离相等,因此可以表示出-a 的位 置,根据数轴上右边的数总比左边的数大,可 得:a<1<-a. 解答 A 点评 比较大小的方法:①利用数轴; ②根据正数大于0,负数小于0,正数大于负 数;③两个负数比较,绝对值大的反而小. 考点4 科学记数法 例4 (江苏连云港中考题)地球上陆地 的面积约为150000000 km2.把“150000000” 用科学记数法表示为 ( ) A. 1.5×108 B. 1.5×107 C. 1.5×109 D. 1.5×106 解析 科学记数法的表示形式为a× 10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确 定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点 移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的 位数相同.当原数的绝对值>10时,n 是正 数;当原数的绝对值<1时,n 是负数. 解答 150000000=1.5×108,故选A. 点评 此题考查科学记数法的表示方 法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形 式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键 要正确确定a 的值以及n 的值. 考点5 探索规律 例5 (山东菏泽中考题)一个自然数的 立方,可以分裂为若干个连续奇数的和,例如: 23,33 和43 分别可以按如图所示的方式“分 裂”为2个、3个和4个连续奇数的和,即23= 3+5;33=7+9+11; 43=13+15+17+19 ……若63 也按照此规律进行“分裂”,则63“分 裂”出 的 奇 数 中,最 大 的 那 个 奇 数 是 . 解析 本题考查了规律型———数字的变 化类,解题的关键是从提供的式子中探究到 一般的规律. 本题的规律是奇数的个数与前 面的底数相同,再得出每一组分裂中的第一 个数是底数×(底数-1)+1,问题得以解决. 解答 由23=3+5,分裂中的第一个数 是:3=2×1+1,最大的是2×1+1+2×1; 33=7+9+11,分裂中的第一个数是7=3× 2+1,最大的是3×2+1+2×2;43=13+15 +17+19,分裂中的第一个数是13=4×3+ 1,最大的是4×3+1+2×3;53=21+23+ 25+27+29,分裂中的第一个数是21=5×4 +1,最大的是5×4+1+2×4;63=31+33 +35+37+39+41,分裂中的第一个数是31 =6×5+1,最大的是6×5+1+2×5;所以 63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2 ×(6-1)=41. 点评 对于数字类的规律探索,一般是 先从前几个开始,找到第一个数的变化规律. 8