专题4-1 分类加法与分步乘法计数原理【8大题型】- 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级数学重点题专练（人教A版2019选择性必修第三册）

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题4-1 分类加法与分步乘法计数原理 模块一 题型·解读 【题型1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 【题型2】分类加法计数原理的应用 【题型3】分步乘法计数原理的应用 【题型4】两个原理的综合应用 【题型5】有限制条件的方案设计问题 【题型6】数字排列问题 【题型7】涂色问题 【题型8】顶针法和列举法 【课后训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. 知识点02 分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点03 两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 模块三 核心题型·训练 【题型1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 【例题】判断正误 （1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( ) （2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 【巩固练习】判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数　 　． （1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 【题型2】分类加法计数原理的应用 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 【例题1】（23-24高二下·广东佛山·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．5种 B．15种 C．25种 D．125种 【例题2】某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．396种 C．22种 D．18种 【巩固练习1】完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 【巩固练习2】从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 【题型3】分步乘法计数原理的应用 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 【例题1】中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．81种 B．64种 C．36种 D．48种 【例题2】（高二下·浙江·期末）“祝你考出好成绩”这句话，如图所示形式排列，从“祝”字读起，只允许逐字沿水平向右或竖直向下方向读，则读完整句话的不同读法共有（    ）种． 祝你考出好成绩 你考出好成绩 考出好成绩 出好成绩 好成绩 成绩 绩 A．15 B．32 C．64 D．128 【例题3】如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【巩固练习1】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【巩固练习3】（23-24高二下·广东清远·期中）已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【题型4】两个原理的综合应用 利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： 类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【例题1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【例题2】现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．50种 B．60种 C．80种 D．90种 【例题3】某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【巩固练习2】某校数学课外活动小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人,推选出其中人去外校参观学习，要求这人来自不同年级，有________种不同的选法？ 【巩固练习3】如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（    ） 1 2 3 4 5 6 7 8 A．224 B．336 C．448 D．576 【巩固练习4】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 【题型5】有限制条件的方案设计问题 基本思路：有限制条件的特殊元素优先处理；对于有附加条件的计数问题，一般先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 【例题1】（23-24高二下·重庆·期末）春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（    ） A．32 B．57 C．64 D．65 【例题2】（高二下·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【巩固练习1】为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．114种 C．210种 D．216种 【巩固练习2】某新闻采访组由名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自四个地区.现在该新闻采访组要到四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有 种. 【巩固练习3】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【题型6】数字排列问题 基本思路：（1）先解决特殊数字“0”，或者先全部算出来再减去0排在首位的情况 （2）应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 【例题1】用、、、、五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个. 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【巩固练习3】一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【题型7】涂色问题 (一)根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法 (二)根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数. 注意：对于环形几何图形涂色时要注意分类讨论 【例题1】如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种 【例题2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（   ）    A．24 B．96 C．48 D．108 【巩固练习1】如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 【巩固练习3】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【巩固练习4】某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种 【题型8】顶针法和列举法 列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易重复或遗漏． 【例题1】某学校高三年级有4个班，学校举行的摸底考试要求4名班主任分别监考4个班，并且每名班主任都不可以监考自己班，请问有多少种安排方案． 【例题2】某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 【巩固练习1】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【巩固练习2】寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种. 【巩固练习3】有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 【课后训练】 1． 书架上共有10本不同的书，其中第一层有2本书，第二层有3本书，第三层有5本书，现从书架上任取一本书共有（    ）种不同的取法. A．2 B．3 C．5 D．10 2． 一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有（    ） A．4 B．7 C．10 D．12 3． 把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（    ）种方法. A．81 B．64 C．12 D．7 4． （多选）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 5． （23-24高二下·广东梅州·期中）小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有15本，经济类的有10本，历史类的有16本，心理学与励志类的有9本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借1本书，共有 种选择． 6． （23-24高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） 7． （多选）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 8． 如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 9． （23-24高三上·重庆·阶段练习）已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（    ） A．14 B．17 C．20 D．23 10． 特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母中选择，其他四个字符可以从这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个字符(从左到右)只想在数字中选择，其他字符只想在中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 11． 如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 12． 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．8个 13． “回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 14． 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ） A．192 B．420 C．210 D．72 15． 四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种 A．24 B．72 C．120 D．144 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 1 / 13 专题 4-1 分类加法与分步乘法计数原理 【题型 1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 【题型 2】分类加法计数原理的应用 【题型 3】分步乘法计数原理的应用 【题型 4】两个原理的综合应用 【题型 5】有限制条件的方案设计问题 【题型 6】数字排列问题 【题型 7】涂色问题 【题型 8】顶针法和列举法 【课后训练】 知识点 01 分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有m 种不同的方法,在第 2 类方案中有n 种 不同的方法,那么完成这件事共有 N m n  种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有n 类不同方案,在第 1 类方案中有 1m 种不同的方法,在第 2 类方案中 有 2m 种不同的方法 , ……在第 n 类方案中有 nm 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 1 2 nN m m m   种不同的方法. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 （ 都是正 整数）. 知识点 02 分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有m 种不同的方法,做第 2 步有n 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N m n  种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要n 个步骤,做第 1 步有 1m 种不同的方法,做第 2 步有 2m 种不同的方法,…… 做第n 步有 nm 种不同的方法,则完成这件事共有 1 2 nN m m m    种不同的方法. 知识点 03 两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. m n p m n pa a a a     , ,m n p 模块一 题型·解读 模块二 基础知识·梳理 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 2 / 13 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可 以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算 做完这件事. 【题型 1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件 事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 【例题】判断正误 （1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件 事．( ) （2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 【巩固练习】判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数 ． （1）一个三层书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有 3 本不同的语文书，下层放有 2 本 不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）一个三层书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有 3 本不同的语文书，下层放，有 2 本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同 的取法？ （3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日 1 班，汽车每 日 3 班，轮船每日 2 班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 模块三 核心题型·训练 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 3 / 13 【题型 2】分类加法计数原理的应用 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二 步是确定各类的方法数，第三步是取和． 【例题 1】（23-24 高二下·广东佛山·期中）某学校开设了 5 门不同的科技类课程，5 门不同的运动类 课程和 5 门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选 1 门课程学习，则不同的选法共有（ ） A．5 种 B．15 种 C．25 种 D．125 种 【例题 2】某班有男生 22 人，女生 18 人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（ ） A．40 种 B．396 种 C．22 种 D．18 种 【巩固练习 1】完成一项工作，有两种方法，有 6 个人只会用第一种方法，另外有 4 个人只会第二 种方法，从这 10 个人中选 1 个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A．6 种 B．10 种 C．4 种 D．60 种 【巩固练习 2】从3名女同学和2名男同学中任选1人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数 为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习 3】某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道、本地台 10 个频道和其他省市 46 个频道 的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有 3 个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选 看多少个不同的节目？ 【题型 3】分步乘法计数原理的应用 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定 各步的方法数，第三步是求积． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 4 / 13 【例题 1】中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有 4 名学生，每人从宫灯、 纱灯、吊灯中选购 1 种，则不同的选购方式有（ ） A．81 种 B．64 种 C．36 种 D．48 种 【例题 2】（高二下·浙江·期末）“祝你考出好成绩”这句话，如图所示形式排列，从“祝”字读起，只 允许逐字沿水平向右或竖直向下方向读，则读完整句话的不同读法共有（ ）种． 祝你考出好成绩 你考出好成绩 考出好成绩 出好成绩 好成绩 成绩 绩 A．15 B．32 C．64 D．128 【例题 3】如图，用 4 种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域 不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ） A．48 B．56 C．72 D．256 【巩固练习 1】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100 米比赛， 每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（ ） A．12 B．24 C．64 D．81 【巩固练习 2】（23-24 高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同 学每人从中选一种，不同的选法种数为（ ） A．10 B．15 C．60 D．125 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 5 / 13 【巩固练习 3】（23-24 高二下·广东清远·期中）已知五个区域 A，B，C，D，E依次相邻，如图所示， 现在给这 5 个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有 5 种不同的颜色可供选择， 则不同的涂色方法有（ ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【题型 4】两个原理的综合应用 利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： 类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转 换法的应用. 【例题 1】（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某女生有 3 件不同颜色的衬衣，4 件不同花样的裙子，另 有 3 套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A．24 种 B．10 种 C．9 种 D．15 种 【例题 2】现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊， 丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼 物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A．50 种 B．60 种 C．80 种 D．90 种 【例题 3】某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过 5 个转运环 节，其中第 1，2 两个环节各有 ,a b两种运输方式，第 3，4 两个环节各有 ,b c两种运输方式，第 5 个 环节有 ,d e两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到 4 种运输方式的不同送达方式有 种. 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 6 / 13 【巩固练习 1】（23-24 高二下·重庆·期中）某单位有 5 位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 0,1,2,3,5，为遵守所在城市元月 15 日至 18 日 4 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行， 偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车 牌尾数为 2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A．24 B．27 C．30 D．33 【巩固练习 2】某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人,推选出其中2人 去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有________种不同的选法？ 【巩固练习 3】如图，有 8 个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为 , , ,A B C D 的 4 个盖 子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求 A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么 不同的盖法总数为（ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 A．224 B．336 C．448 D．576 【巩固练习 4】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､ 虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马， 乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍 藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A．90 种 B．80 种 C．60 种 D．50 种 【题型 5】有限制条件的方案设计问题 基本思路：有限制条件的特殊元素优先处理；对于有附加条件的计数问题，一般先考虑满足特殊的 元素和位置，再考虑其它元素和位置。 【例题 1】（23-24 高二下·重庆·期末）春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生 2》三部 电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看， 如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（ ） A．32 B．57 C．64 D．65 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 7 / 13 【例题 2】（高二下·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人 只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【巩固练习 1】为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共 六门活动课程，甲、乙、丙 3 名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这 3 名学生所选活动课程 不全相同的选法有（ ） A．120 种 B．114 种 C．210 种 D．216 种 【巩固练习 2】某新闻采访组由5名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分 别来自 A B C D、 、 、 四个地区.现在该新闻采访组要到 A B C D、 、 、 四个地区去采访，在安排采访时 要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至 少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有 种. 【巩固练习 3】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到 A，B，C，D，E五个社区进行暑期社 会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下 列说法正确的有（ ） A．所有可能的方法有 53 种 B．如果社区 A必须有同学选择，则不同的安排方法有 61 种 C．如果同学甲必须选择社区 A，则不同的安排方法有 25 种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有 20 种 【题型 6】数字排列问题 基本思路：（1）先解决特殊数字“0”，或者先全部算出来再减去 0 排在首位的情况 （2）应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 【例题 1】用0、1、 2、3、4五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ） A．18 B．24 C．30 D．48 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 8 / 13 【例题 2】（23-24 高二下·广东中山·期末）用数字0 ，1， 2，3， 4，5组成的有重复数字的三位数 且是偶数的个数为（ ） A．76 B．38 C．36 D．30 【巩固练习 1】由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被 5 整除的三位数共有 个. 【巩固练习 2】（23-24 高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为 8 的三位数叫幸运数”，比如 116， 431，则所有幸运数的个数为（ ） A．18 B．21 C．35 D．36 【巩固练习 3】一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c．三位数中，当且仅当有两 个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如 213，134 等）若 a，b，  1,2,3,4,5c ，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【题型 7】涂色问题 (一)根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法 (二)根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方 法种数. 注意：对于环形几何图形涂色时要注意分类讨论 【例题 1】如图一个正方形花圃被分成 5 份．若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜 色的花，已知现有红、黄、蓝、绿 4 种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 9 / 13 【例题 2】（23-24 高二下·福建福州·阶段练习）如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色（4 种 颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ） A．24 B．96 C．48 D．108 【巩固练习 1】如图所示的一圆形花圃，拟在 A，B，C，D 区域种植花苗，现有 3 种不同颜色的花 苗，每个区域种植 1 种颜色的花苗，且相邻的 2 块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总 数为（ ） A．12 B．18 C．24 D．30 【巩固练习 2】（23-24 高二下·重庆·期中）给正六边形 ABCDEF 的六条边涂色，现有 3 种不同的颜 色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（ ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 【巩固练习 3】如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示 意图，现在替工 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则 不同的涂色方法种数为（ ） 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 10 / 13 A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【巩固练习 4】某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为 5 个区 域．现有 6 种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区 域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ） A．720 种 B．1440 种 C．1560 种 D．2520 种 【题型 8】顶针法和列举法 列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易 重复或遗漏． 【例题 1】某学校高三年级有 4 个班，学校举行的摸底考试要求 4 名班主任分别监考 4 个班，并且 每名班主任都不可以监考自己班，请问有多少种安排方案． 【例题 2】某企业面试环节准备编号为1,2,3,4的四道试题，编号为1,2,3,4的四名面试者分别回答其中 的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不 同的情况共有（ ） A．9 种 B．10 种 C．11 种 D．12 种 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 11 / 13 【巩固练习 1】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人 送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ） A．6 种 B．9 种 C．11 种 D．23 种 【巩固练习 2】寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 , , , ,A B C D E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符 座位的坐法有 种. 【巩固练习 3】有序数对  ,a b 满足 1 , , 1,0,2 2 a b         ，且使关于 x 的方程 2 2 0ax x b   有实数解， 则这样的有序数对  ,a b 的个数为（ ） A．15 B．14 C．13 D．10 【课后训练】 1．书架上共有 10 本不同的书，其中第一层有 2 本书，第二层有 3 本书，第三层有 5 本书，现从书 架上任取一本书共有（ ）种不同的取法. A．2 B．3 C．5 D．10 2．一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去， 要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有（ ） A．4 B．7 C．10 D．12 3．把 3 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，共有（ ）种方法. A．81 B．64 C．12 D．7 4．（多选）现有不同的红球 4 个，黄球 5 个，绿球 6 个，则下列说法正确的是（ ） A．从中任选 1 个球，有 15 种不同的选法 B．若每种颜色选出 1 个球，有 120 种不同的选法 C．若要选出不同颜色的 2 个球，有 31 种不同的选法 D．若要不放回地依次选出 2 个球，有 210 种不同的选法 5．（23-24 高二下·广东梅州·期中）小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其 他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有 15 本，经济类的有 10 本，历史类的 有 16 本，心理学与励志类的有 9 本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借 1 本书，共有 种选择． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 12 / 13 6．（23-24 高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的 7 名同学被邀请参加一个社团活动．如果 必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） 7．（多选）现有 4 个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有 6 人、7 人、8 人、9 人，则下列说法 正确的是（ ） A．选 1 人为负责人的选法种数为 30 B．每组选 1 名组长的选法种数为 3024 C．若推选 2 人发言，这 2 人需来自不同的小组，则不同的选法种数为 335 D．若另有 3 名学生加入这 4 个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有 35 种 8．如图所示的 , , ,A B C D 按照下列要求涂色，若恰好用 3 种不同颜色给 , , ,A B C D 个区域涂色，且相 邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 9．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知集合  0,1,2,3,4A  ，且 , ,a b c A ，用 , ,a b c组成一个三位 数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为 （ ） A．14 B．17 C．20 D．23 10．特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母B C D， ， 中选择，其 他四个字符可以从0 9～ 这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个字符(从左到右)只想在 数字3,5,6,8,9中选择，其他字符只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有 （ ） A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 11．如果自然数 n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过 1，我们就把自然 数 n叫做“集中数”．那么数字 0，1，2，3 一共可以组成“集中数”个数有（ ） A．20 B．21 C．25 D．26 12．用 1，2，3，4 四个数字组成无重复数字的四位数，其中比 2000 大的偶数共有（ ） A．16 个 B．12 个 C．9 个 D．8 个 13．“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾 锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且 n的各位数字反向排列所 得自然数 n与 n相等，这样的 n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有 6 位数中是“回文数” 且各位数字不全相同的共有（ ） A．900 个 B．891 个 C．810 个 D．648 个 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 13 / 13 14．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果 只有 5 种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ） A．192 B．420 C．210 D．72 15．四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（ ） 种 A．24 B．72 C．120 D．144 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题4-1 分类加法与分步乘法计数原理 模块一 题型·解读 【题型1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 【题型2】分类加法计数原理的应用 【题型3】分步乘法计数原理的应用 【题型4】两个原理的综合应用 【题型5】有限制条件的方案设计问题 【题型6】数字排列问题 【题型7】涂色问题 【题型8】顶针法和列举法 【课后训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. 知识点02 分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点03 两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 模块三 核心题型·训练 【题型1】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 【例题】判断正误 （1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( ) （2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) 【解题思路】利用分步乘法计数原理的定义，判断即可． 【解答过程】（1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤是不能完成这件事的，故错误； （2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故正确. \ 【巩固练习】判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数　 　． （1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 【解题思路】直接利用分类计数原理，即可得出结论． 【解答过程】解：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法． 完成从书架上任取一本书，每取一本，都能完成这件事，故运用分类计数原理计数； 从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，完成这件事需要3步，故运用分步计数原理计数； 完成地到乙地，有3类办法，每一类中办法都能完成这件事，故运用分类计数原理计数． 故答案为：（1）（3）． 【题型2】分类加法计数原理的应用 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 【例题1】（23-24高二下·广东佛山·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．5种 B．15种 C．25种 D．125种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理即可求得结果. 【详解】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种． 故选：. 【例题2】某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．396种 C．22种 D．18种 【答案】A 【分析】按照分类加法计数原理即可得选法种数. 【详解】从该班男中选一名同学为数学课代表有22种方法，从该班女中选一名同学为数学课代表有18种方法，不同的选法的种数有种. 【巩固练习1】完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 【答案】B 【详解】根据分类加法计数原理，6+4=10. 【巩固练习2】从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选人主持本班的某次专题班会可从名女同学任选一名，也可以从名男同学中任选名, 由分类加法计数原理可知不同的选法种数为种. 【巩固练习3】某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 【答案】(1)68 (2)66 【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目． （2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个， 而其余频道共有个正在播放互不相同的节目， 所以一台电视机共可以选看个不同的节目． 【题型3】分步乘法计数原理的应用 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 【例题1】中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．81种 B．64种 C．36种 D．48种 【答案】A 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，每名同学都有3种选法， 故不同的选购方式有种. 【例题2】（高二下·浙江·期末）“祝你考出好成绩”这句话，如图所示形式排列，从“祝”字读起，只允许逐字沿水平向右或竖直向下方向读，则读完整句话的不同读法共有（    ）种． 祝你考出好成绩 你考出好成绩 考出好成绩 出好成绩 好成绩 成绩 绩 A．15 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由题可得，读完整句话的不同读法共有种. 【详解】由题可得，读完整句话的不同读法共有种. 【例题3】如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【答案】A 【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数. 【详解】将四个区域标记为，如下图所示： 第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法. 【巩固练习1】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】C 【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到. 【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法， 根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东清远·期中）已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ） A．1140 B．1200 C．1280 D．1400 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，分5步依次对涂色， 所以不同的涂色方法有（种）. 【题型4】两个原理的综合应用 利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： 类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【例题1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 【例题2】现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．50种 B．60种 C．80种 D．90种 【答案】C 【解题思路】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【解答过程】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有种不同的选法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有种不同的选法； 则一共有种选法. 【例题3】某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 【答案】16 【分析】根据题意，1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解. 【详解】快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类， 第一类：，第二类：，共27种. 【巩固练习2】某校数学课外活动小组有高一学生人，高二学生人，高三学生人,推选出其中人去外校参观学习，要求这人来自不同年级，有________种不同的选法？ 【解答过程】选法可分三类：一类是人选自高一，人选自高二，有种选法； 第二类是人选自高一，人选自高三，有种选法； 第三类是人选自高二，人选自高三，有种选法， 所以共有种不同选法． 【巩固练习3】如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（    ） 1 2 3 4 5 6 7 8 A．224 B．336 C．448 D．576 【答案】B 【解析】第一步：先盖，有种方法； 第二步：再盖． 若C与A或B在同一列，则有2种盖法，D就有3种盖法，共种方法； 若C与A或B不在同一列，则有4种盖法，D就有2种盖法，共种方法． 综上所述，满足要求的有种方法． 【巩固练习4】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ） A．90种 B．80种 C．60种 D．50种 【答案】D 【解题思路】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【解答过程】根据题意，分2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： 若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法： 则共有种选法. 【题型5】有限制条件的方案设计问题 基本思路：有限制条件的特殊元素优先处理；对于有附加条件的计数问题，一般先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 【例题1】（23-24高二下·重庆·期末）春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场．某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为（    ） A．32 B．57 C．64 D．65 【答案】D 【分析】首先求出所有情况数，再利用正难则反的思想，求出四人只看其中两部电影《热辣滚烫》和《飞驰人生2》的情况数，作差即可. 【详解】四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种. 四人只看其中两部电影《热辣滚烫》和《飞驰人生2》，每人只看一部电影， 则不同的选择共有种. 则这四名同学不同的观影情况种数为 【例题2】（高二下·湖北武汉·期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算汉口江滩没人去的情况数目，分析可得汉口江滩一定要有人去的游览方案数． 【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况 【巩固练习1】为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．114种 C．210种 D．216种 【解题思路】先求出甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的选法，再求出这3名学生所选活动课程全相同的选法，即可得解. 【解答过程】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，选法有种， 其中这3名学生所选活动课程全相同的选法有6种， 则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种． 【巩固练习2】某新闻采访组由名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自四个地区.现在该新闻采访组要到四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有 种. 【答案】 【分析】通过分类计数原理将问题分成甲，乙，丙，丁都不到自己的地区和甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区两类进行讨论，然后通过分步计数原理得到每一类的答案，最后求和即可. 【详解】分两类： 甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有； 甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有. 所以总数. 【巩固练习3】（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】BC 【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）， 错误. 故选：BC 【题型6】数字排列问题 基本思路：（1）先解决特殊数字“0”，或者先全部算出来再减去0排在首位的情况 （2）应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 【例题1】用、、、、五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，末位数字为或，首位数字有种选择，则中间的数位有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，末位数字为或，首位数字有种选择，则中间的数位有种选择， 由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 【例题2】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 【巩固练习1】由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个. 【答案】 【解析】能被整除的三位数说明末尾数字是或 当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法； 当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法； 则一共有种 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【答案】D 【分析】运用分类加法原理计算即可. 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. 【巩固练习3】一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【答案】 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 【题型7】涂色问题 (一)根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法 (二)根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数. 注意：对于环形几何图形涂色时要注意分类讨论 【例题1】如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种 【答案】72 【解析】先对部分种植，有4种不同的种植方法； 再对部分种植，又3种不同的种植方法； 对部分种植进行分类： 若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种）， 若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法， 共有（种）， 综上所述，共有72种种植方法． 【例题2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（   ）    A．24 B．96 C．48 D．108 【答案】B 【分析】按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 【巩固练习1】如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【详解】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 【答案】C 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 第二类，三条边用种颜色， 由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色， 先涂有种方法，再涂，，有种方法， 共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故选：C． 【巩固练习3】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案. 【解答过程】分4步进行分析： 对于区域A，有5种颜色可选， 对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;     对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选; ④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择, 则不同的涂色方案有种 【巩固练习4】某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种 【答案】C 【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可. 【详解】 如图，不同的布置方案分两类： 当与布置相同的花卉时， 先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种. 当与布置不同的花卉时， 先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种. 所以不同的布置方案有种. 【题型8】顶针法和列举法 列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易重复或遗漏． 【例题1】某学校高三年级有4个班，学校举行的摸底考试要求4名班主任分别监考4个班，并且每名班主任都不可以监考自己班，请问有多少种安排方案． 【答案】9 【详解】解法一（顶针法）：4个班级1，2，3，4班对应的班主任称为一、二、三、四．若先排一，有3种排法（即2，3，4），若排到2班，则接下来排班主任二也有3种排法（即1，3，4），最后排班主任三、四，两人都只有1种排法，因此由分步计数原理可计算出共有种排法． 解法二（列举法）：列举法与顶针法应对错位元素较少的题型实践性较高，应对错位元素较多的题型则太过复杂且容易重复或遗漏． 【例题2】某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 【解题思路】由列举法，结合分类计数原理即可求解. 【解答过程】用表示编号的面试者回答的试题为，其中， 所以的全部可能情况有： ， 所以共有9种 【巩固练习1】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d， 当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c， 所以A拿b时有三种不同的分配方式； 同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式， 由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式； 解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡， 如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法， 接下来，剩下的两个人都各只有1种取法， 由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）． 【巩固练习2】寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种. 【答案】45 【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果. 【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能； 剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能； 所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种 故答案为：45 【巩固练习3】有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 【答案】A 【分析】分情况讨论即可计算有序数对的个数. 【详解】（1）当时，有为实根，则有4种可能； （2）当时，方程有实根，所以，所以. 当时，有4种. 当时，有4种. 当时，有3种. 所以，有序数对的个数为. 【课后训练】 1． 书架上共有10本不同的书，其中第一层有2本书，第二层有3本书，第三层有5本书，现从书架上任取一本书共有（    ）种不同的取法. A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】D 【分析】由分类计数原理，即可求解. 【详解】由分类计数原理可知，任取一本书共有种不同的取法. 2． 一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有（    ） A．4 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将甲､乙捆绑作为一个整体，可认为三名同学受邀参加一个晚会，并且有人必须去，根据分步乘法计算原理计算可得. 【详解】由于甲､乙两名同学要么都去，要么都不去， 因此将甲､乙捆绑，则可认为三名同学受邀参加一个晚会，并且有人必须去， 每个人有两种选择，则共有种，而其中有一种情况是三名同学都不去， 所以共有种方案. 3． 把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（    ）种方法. A．81 B．64 C．12 D．7 【答案】B 【解析】对于第一个小球有4种不同的放法， 第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法， 根据分步计数原理知不同放法共有（种）. 4． （多选）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确. 5． （23-24高二下·广东梅州·期中）小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有15本，经济类的有10本，历史类的有16本，心理学与励志类的有9本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借1本书，共有 种选择． 【答案】40 【分析】根据分类加法原理计算． 【详解】由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得： 6． （23-24高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可． 【详解】7名同学被邀请参加一个社团活动，有种去法， 没人去的有种， 故必须有人去的去法有种． 7． （多选）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 【答案】ABC 【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D. 【详解】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确； 对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确； 对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确； 对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择， 所以不同的选法有：，故D错误； 8． 如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方案？ 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】恰好用3种不同颜色涂四个区域，则区域或区域或区域必同色， 当同色时，有种，同理、分别同色时各有6种， 由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案. 9． （23-24高三上·重庆·阶段练习）已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（    ） A．14 B．17 C．20 D．23 【答案】C 【分析】分类求解符合条件的三位数的个数即可. 【详解】集合，且， 则这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”包含以下三种情况： ①十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个； ②十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个； ③十位数是，则百位数只能是，个位数可以是中的一个数，即个； 综上，符合条件的共有个. 10． 特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母中选择，其他四个字符可以从这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个字符(从左到右)只想在数字中选择，其他字符只想在中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法， 第二个号码只能从字母B､C､D中选择，有3种选法， 剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法， 则共有5×3×64=960种 11． 如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 【解题思路】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可． 【解答过程】当十位是时，百位可选，个位可选和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选，和2，共个， 当十位是时，百位可选，和，个位可选，和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选和，共个， 综上所述，共个 12． 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．8个 【答案】D 【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可. 【详解】比2000大，故千位为2，3，4， 若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数； 若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数． 根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数． 13． “回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 【答案】B 【分析】先求得所有6位 “回文数”的个数，再求得6位 “回文数”中各位数字全相同的个数，进而得到所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的个数. 【详解】6位 “回文数”中个位与十万位数字相同且不为0， 十位与万位数字相同，百位与千位数字相同， 第一步，确定个位与十万位数字，有9种可能， 第二步，确定十位与万位数字，有10种可能， 第三步，确定百位与千位数字，有10种可能， 则6位 “回文数”共有（个）， 又6位 “回文数”中各位数字全相同的共有9个， 则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（个）. 14． 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（ ） A．192 B．420 C．210 D．72 【解题思路】按照的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类，结合分类加法、分步乘法计算即可. 【解答过程】按照的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，由分步计数原理有种不同的染色方法； 第二类，A，C不同色，由分步计数原理有种不同的染色方法； 根据分类加法计数原理，共有种不同的染色方法. 15． 四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种 A．24 B．72 C．120 D．144 【答案】C 【分析】由第一类区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法，第二类区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法，再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法，分别利用分步计数原理求解. 【详解】解：第一类：若区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法， 则不同的涂色方案有种； 第二类：若区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法， 再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法； 则不同的涂色方案有种； 根据分类计数原理，不同的涂色方案有种. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$