精品解析：湖南省娄底市涟源市部分学校2025届高三上学期12月月考数学试题

湖南省涟源市部分学校2025届高三12月考试 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得， 故选：A 2. 已知为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算及复数相等计算得解. 【详解】依题意，，而，则， 所以. 故选：C 3. 已知集合且，，则的子集的个数为（  ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用列举法表示集合，再求交集. 【详解】由题意可知，，则， 所以的子集的个数为. 故选：B 4. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论． 【详解】命题，为存在量词命题， 则该命题的否定为，， 故选：D． 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性，从而得解. 【详解】因为，定义域为， 又， 所以是奇函数，从而ACD错误，B正确. 故选：B. 6. 函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得，再由平移变换得到函数的图象过点，进而求得周期，然后代入点求得的解析式即可. 【详解】解：由，得. 的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象， 由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点. 设的最小正周期为，则，所以，故. 又，，且，可得， 所以，. 故选：A. 7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196 C. 这14天日促销量的极差为195 D. 这14天日促销量的第80百分位数是243 【答案】AC 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，接着再根据众数、中位数、极差和百分位数的定义或求解步骤直接去求解即可判断得解. 【详解】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为： ， 对于A，则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确； 对于B，这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个数据的平均值，即，故B错误； 对于C，这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确； 对于D，因为，所以这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数为第12个数据，即260，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面CEF，则点P的轨迹长度为 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为 D. 若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D. 【详解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，， 所以，又E，F分别是棱的中点， 所以，所以， 平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 因为N，E分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形CDNE为平行四边形， 所以，又平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 又，MN，平面BDNM， 所以平面平面CEF， 点P是正方形内的动点，且平面CEF， 所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确； 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，设， ， 所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆， 所以点P的轨迹长度为，故B错误： 如图，将平面CEF翻折到与平面共面， 连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值， ∵，且， 所以点Q为EF的中点，所以， 所以， 即的最小值为，故C正确： 如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为， 若P是棱的中点，则， 所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心， 过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上， 连接OP，设，则， 连接OC，，所以， 所以，解得， 所以， 点到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法： （1）先找两个面的外心； （2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心； （3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径. 有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方的非负性证明，即可得到，再给出的例子即可得到答案. 【详解】因为，所以，故. 又因为，故，从而，这就得到. 而当，时，有，且. 所以的最大值为. 故答案为：. 13. 在的展开式中，的系数为_________________． 【答案】224 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式可得结果. 【详解】因为通项公式为， 当即时，， 所以的系数为224， 故答案为：224. 14. 已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，再结合古典概率模型即可求解． 【详解】由题意可得：， ， ， ， 若，则， 从各随机从中选一个，共有种情况； 若， 可分为三类： 都取0，一种情况； 中两个取0，一个取1，一个取，共有， 中两个取1，两个取，共有， 共计19种情况， 所以的概率为：． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2） 当，，时，的面积为； 当，，时，的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用余弦边角关系可得，再由余弦定理可得，即可求角的大小； （2）根据已知条件及（1）结论，应用余弦定理列方程求得或，再分别求出对应三角形面积即可. 【小问1详解】 在中，， 又，所以， 由余弦定理得， 又， 则. 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理，得，即，解得或． 当，，时，可构成三角形，此时的面积为； 当，，时，可构成三角形，此时的面积为． 综上， 当，，时，的面积为； 当，，时，的面积为． 16. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为为等边三角形，为的中点， 所以． 过作，垂足为， 因为底面为直角梯形，，，，， 所以，则， 由得，所以 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形三线合一得到，在直角梯形中通过已知边和角求得长，由勾股定理得到长，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得证平面； （2）由（1）得到三条两两垂直的直线，以这三条线建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，从而求得平面的法向量的坐标，由轴⊥平面直接写出平面法向量，由空间向量的关系求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）极小值，无极大值；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数判断单调性进而求出极值； （ⅱ）分析可得，构造函数，，解法一利用导数判断函数的单调性，解法二根据，在内均单调递增得到函数的单调性，再根据求解即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 （ⅰ）因为的定义域为，且， 令，解得； 当时，；当时，； 所以在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值； （ⅱ）由题意可得：， 因为，所以， 构建，， 因为，所以在内单调递增， 因为，不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 解法二： 由题意可得：，即， 构建，， 因为，在内均单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知数列满足，且对任意正整数都有. （1）写出，并求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； （3）设是数列的前项和，求证：. 【答案】（1），， （2）2 （3） 由 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以. 故 【解析】 【小问1详解】 因为对任意正整数都有， 故，， 令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以； 【小问2详解】 由（1）得，当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， . 综上所述，； 若为偶数，则为奇数，由，得， 解得（舍去）或； 若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解， 不合题意，舍去. 综上，所求的值为2. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简，得，再证明时，，利用结论，对数列进行放缩，得到，可证结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省涟源市部分学校2025届高三12月考试 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知集合且，，则的子集的个数为（  ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 4. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196 C. 这14天日促销量的极差为195 D. 这14天日促销量的第80百分位数是243 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面CEF，则点P的轨迹长度为 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为 D. 若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最大值为_______． 13. 在的展开式中，的系数为_________________． 14. 已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若，，求的面积． 16. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围． 19. 已知数列满足，且对任意正整数都有. （1）写出，并求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； （3）设是数列的前项和，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $