精品解析：青海省2024届高三上学期协作联考一模数学（文科）试题

高三数学试卷（文科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】，， 所以， 故选：D 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】计算复数，由复数的几何意义判断即可. 【详解】， 所以其在复平面对应的点位，在第二象限， 故选：B 3. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】根据正弦定理可知，，， 则，得. 故选：A 4. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出，然后根据垂直关系列出关于的方程，由此可求的值. 【详解】因为，所以， 又因为切线与垂直， 所以，所以， 故选：A. 5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断. 【详解】令，，得，， 当时，增区间是，当时，增区间是， 其中只有是增区间的子集. 故选：C 6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确各字母表示的含义，列出流程，明确规律后，计算即可. 【详解】执行如图所示的程序框图，如果输入的， ; ; ; 那么输出的. 故选：D 7. 已知函数为定义在上的奇函数，命题，命题，，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，然后根据以及可判断出命题的真假，由此可判断出复合命题的真假. 【详解】令，所以为定义在上的奇函数， 所以，所以，所以为真命题， 又因为，，即，即，所以为真命题， 所以为真命题， 故选：A. 8. 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出，然后利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 9 已知函数，则（ ） A. 20 B. 10 C. 21 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数解析式应用奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为， 设,，所以为奇函数. . 故选：C. 10. 已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有符合题意的排名情况，再选出这2支队伍都进入前3名的所有情况，即可得出结果. 【详解】根据题意，由于队伍无缘前2名， 所以这4支队伍按排名先后的情况有： ，共12种， 其中这2支队伍排在前3位的情况有： ，共8种， 故所求概率. 故选：C 11. 如图，在正方体中，均为棱的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面平面 B. 梯形内存在一点，使得平面 C. 过可作一个平面，使得，到这个平面的距离相等 D. 梯形的面积是面积的倍 【答案】ABC 【解析】 【分析】由面面平行证明判断A，连接 ，，，连接，过点作的垂线，交于，交于，证明线面垂直即可判断B，连接，取 的中点，连接，连接，取 的中点，连接，即可判断C，因为梯形与的高分别为且，所以面积的比值为即可判断D. 【详解】 在正方体中，均为棱的中点， 可证，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，所以平面平面，故A正确； 连接 ，设，，连接， 过点作的垂线，交于，交于，因为在上底面的射影为， 易证，平面，平面， 所以，，所以平面，平面， 则，，又, 所以 平面，所以平面，故B正确； 连接，取 的中点，连接， 所以过直线的平面一定满足到这个平面的距离相等，故C正确； 因为梯形与的高分别为且， 所以梯形的面积与面积的比值为，故D错误. 故选：ABC 12. 已知为抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作准线，交准线于点，记点如下图所示： 所以， 当且仅当三点共线时取最小值，此时， 所以的最小值为， 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，则的实轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程以及焦点坐标列出关于的方程组，由此求解出的值，则实轴长可知. 【详解】因为一条渐近线方程为，即， 所以， 又因左焦点为， 所以，解得，所以实轴长为， 故答案为：. 14. 若实数满足约束条件，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先画出可行域，再根据目标函数表示的几何意义，即可求解. 【详解】如图，画出约束条件表示的可行域， 目标函数，当，得， 当目标函数平移至点，目标函数取得最小值， 联立，得，，即， 所以目标函数的最大值. 故答案为： 15. 某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图，设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，该圆柱的底面半径为，然后由，建立，计算侧面积可知是关于的二次函数，求解最大值即可. 【详解】 由题设可知该圆锥的高， 设在该圆锥中内接一个高为的圆柱， 该圆柱的底面半径为， 由，则， 即，解得， 所以该圆柱的侧面积为：， 当时，侧面积取得最大值为. 故答案为： 16. 如图，直径的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，，P为AB的中点，AP与BC相交于点E，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据条件先求解出的值，然后再根据圆的几何性质结合诱导公式以及二倍角公式得到与的等量关系，由此可求结果. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，所以， 所以， 又因为， 所以， 所以（负值舍去）， 因为为直径，所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？ （2）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案. （2）根据平均数的求法求得正确答案. 【小问1详解】 不低于的频率为， 所以这200个脐橙中质量不低于的个数是. 小问2详解】 平均数为. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等差数列． （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过构造证明即可； （2）采用裂项相消法求解出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 化简得， 所以为等差数列. 【小问2详解】 由，则为首项为，公差为的等差数列； 所以，即，， 所以. 19. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 20. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b； （2）证明：． 【答案】（1），. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合已知的切线方程求解； （2）令，研究的最小值，证明最小值大于零即可. 【小问1详解】 ，， 曲线在点处的切线方程为． 所以，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知，要证明， 则令，即证明恒成立， ， 对于，因为，故该式大于零恒成立， 由得，且时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以, 所以恒成立，即. 21. 已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6． （1）求C的标准方程； （2）已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上. 【答案】（1）+＝1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率之积和点P在椭圆上整理可得椭圆C的标准方程； （2）设直线PT的方程为，联立椭圆方程消去y，利用P，Q坐标表示出直线PA与PB的方程，求解出点D的坐标，然后用韦达定理化简即可得证． 【小问1详解】 由题意可得，且，则. 设， 则，所以， 因为点P在椭圆C上，所以， 所以，代入式得 ， 由代入得， 故椭圆C的标准方程为：+＝1； 【小问2详解】 设，，显然直线PT不垂直于x轴， 故可设直线PT的方程为， 由消去y得， 因为点在椭圆C的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， 由（1）知，, 所以直线AP的方程为，直线BQ的方程为， 由直线AP与BQ相交于点，则， 消得①， 由（1）知，得， 可得 ， 将代入①式得，解得， 即点D在直线上． 【点睛】思路点睛：应用韦达定理解决非对称式的关键在于借助圆锥曲线斜率之积为定值，将转化为对称式结构再处理即可. 三、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）. （1）求这两条直线的普通方程（结果用直线的一般式方程表示）； （2）若这两条直线与圆都相离，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过消参法求得正确答案； （2）根据圆心到直线的距离列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 直线的参数方程为，则， 两式相减得 直线的参数方程为，则代入， 得； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 若与圆相离， 所以，即， 解得. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知函数，其中为常数. （1）求最小值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求解出最小值，注意取等条件； （2）采用零点分段法求解出不等式的解集. 【小问1详解】 因为， 当且仅当，即或时取等号， 所以的最小值为； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得，所以解集为； 当时，，此时恒成立，所以解集为； 当时，，解得，所以解集为； 综上所述，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学试卷（文科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A B. C. D. 4. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C D. 6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为定义在上的奇函数，命题，命题，，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. 20 B. 10 C. 21 D. 42 10. 已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，均为棱的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面平面 B. 梯形内存一点，使得平面 C. 过可作一个平面，使得，到这个平面的距离相等 D. 梯形的面积是面积的倍 12. 已知为抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，则的实轴长为__________. 14. 若实数满足约束条件，则的最小值是__________. 15. 某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________． 16. 如图，直径的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，，P为AB的中点，AP与BC相交于点E，则__________． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？ （2）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等差数列． （2）若，求数列的前n项和． 19. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b； （2）证明：． 21. 已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6． （1）求C的标准方程； （2）已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上. 三、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系中，直线参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）. （1）求这两条直线的普通方程（结果用直线的一般式方程表示）； （2）若这两条直线与圆都相离，求的取值范围. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23. 已知函数，其中为常数. （1）求的最小值； （2）若，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$