江苏省南通市2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟测试（一）

2024～2025学年度第一学期期末模拟测试（一） 九年级数学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共6页，考试时间120分钟，满分150分，考试结束后请将答题卡交回． 2．答题前请考生务必将自己的姓名、班级、考试证号、考场和座位号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．作图必须使用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．反比例函数的图象位于(     ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB的值是( ) A． B． C． D． 3．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D． 5．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 6．如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长是（ ） A．2 B．1 C． D． 7．如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为（　　） A． B． C． D．5 8．二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是 A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y4＜0，则y1y3＜0 9．已知点A是双曲线y＝在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（x＞0）上运动，则k的值是（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是______． 12．若一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为_____（结果保留π）． 13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC=5，△ABC的面积是10，那么这个正方形的边长是_____． 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是 　 　． 15．一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是　 　． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为 　 　． 17．把二次函数的图象向上平移2个单位长度，若平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为______． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABOC的边OC，OB分别在x轴、y轴上，双曲线的图象分别交AB，AC边于点E，F，沿直线EF折叠△AEF，点A的对应点G恰好落在y轴上 ,若OC＝4，则点G的纵坐标为 　 　． 第16题图 第18题图 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分12分） （1） （2）已知中，，，，解这个直角三角形． 20.（本小题满分10分）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD； （1）求证：△DBA ∽△DAC； （2）求边AC的长． 21．（本小题满分10分） 如图，某市为增加新建地铁车站出入口上下楼梯的高度，已知原楼梯长米，在楼梯水平长度不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由增大到，那么新修建的楼梯高度将会增加多少米？结果保留整数，参考数据：， 22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式；（2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 23．（本小题满分10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB＝∠BAE＝45°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AB＝AD，AC＝，tan∠ADC＝3，求CD的长． 24．（本小题满分10分） 已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），满足a－b＋c=0. （1）若该抛物线过（3，0），求抛物线对称轴； （2）已知点A（x1，y1），B(x2，y2)在该抛物线上，若a＜c＜0，x1 x2－1，比较y1，y2的大小，并说明理由. 25．（本小题满分13分） 已知，在矩形ABCD中，＝，E、F分别为AB、DC边上的动点． （1）如图（1），当F与D重合，且AE=AB，将△AED沿DE翻折至△GED，连AG，交DE于点O，求tan∠GAE； （2）如图（2），当E，F不与端点重合时，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形GEFH，点G落在BC上，GH交CD于点P，连接AG交EF于点O， ① 求的值； ( D C O A B E F G H P （第25题 图 2） ) ② 若sin∠HFP＝，EF＝2，求PH的长. ( D ( F ) A B C E G （第25题 图1 ） O ) 26.（本小题满分13分） 定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”． （1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”； （2）如图2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积； （3）如图3，C是函数（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请求出OP的长及相应点P的坐标. 九年级数学期末模拟测试（一） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期末模拟测试(一） 九年级数学参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准给分． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A A D C B A C D C B 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 题每小题 3 分，第 13～18 题每小题 4 分，共 30 分） 11．1:4 12．2π 13． 14． 15． 16． 17．-1 18．2 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分） 19.（本小题满分 12分） （1） （2）∠B＝60°，AC＝3，AB＝2 20.（本小题满分10分） 解：（1）证明：∵DB＝AB， ∴∠D＝∠DAB＝∠ABC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠D＝∠DAB＝∠C， ∴DA＝AC， ∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C， ∴△DBA∽△DAC； （2）∵AB＝3，BC＝8，DB＝AB， ∴DB＝3，CD＝BC+DB＝11， ∵△DBA∽△DAC， ∴DB：DA＝DA：DC， ∴3：DA＝DA：11， 解得DA＝， ∵DA＝AC， ∴AC＝． 21.（本小题满分10分） 解：在中，，米， 米， 米． 在中，， ， 米， 米． 答：新修建的楼梯高度将会增加米．  22.（本小题满分10分） 23.（本小题满分12分） 24.（本小题满分10分） 25. （本小题满分13分） 26.（本小题满分13分） 【详解】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°， ∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°， ∴∠OMP+∠MPO＝150°， ∵∠MPN＝150°， ∴∠MPO+∠OPN＝150°， ∴∠OMP＝∠OPN， ∴△MOP∽△PON， ∴， ∴OP2＝OM•ON， ∴∠MPN是∠AOB的“相关角”； （2）解：∵∠MPN是∠AOB“相关角”， ∴OM•ON＝OP2， ∴， ∵P为∠AOB的平分线上一点， ∴∠MOP＝∠NOP＝α， ∴△MOP∽△PON， ∴∠OMP＝∠OPN， ∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α， 即∠MPN＝180°﹣α； 过点M作MH⊥OB于H，如图2， 则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα， ∵OP＝3， ∴S△MON＝sinα； （3）设点C（a，b），则ab＝4， 过点C作CH⊥OA于H；分两种情况： ①当点B在y轴正半轴上时； Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示： BC＝3CA不可能， Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示： ∵BC＝3CA， ∴， ∵CHOB， ∴△ACH∽△ABO， ∴， ∴, ∴OB＝4b，OA＝a， ∴OA•OB＝a•4b＝ab＝， ∵∠APB是∠AOB的“相关角”， ∴OP2＝OA•OB， ∴， ∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：； ②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示： ∵BC＝3CA， ∴AB＝2CA， ∴， ∵CHOB， ∴△ACH∽△ABO， ∴， ∴ ∴OB＝2b，OA＝a， ∴OA•OB＝a•2b＝ab＝， ∵∠APB是∠AOB的“相关角”， ∴OP2＝OA•OB， ∴， ∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：； 综上所述：点P的坐标为：或． 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 1页（共 8页） 2024～2025 学年度第一学期期末模拟测试(一） 九年级数学参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准给分． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A A D C B A C D C B 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 题每小题 3 分，第 13～18 题每小题 4 分，共 30 分） 11．1:4 12．2π 13．20 9 14． 5 5 15．2 2 16．13 17．-1 18．2 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分） 19.（本小题满分 12分） （1） 1 2 （2）∠B＝60°，AC＝3，AB＝2 3 20.（本小题满分 10分） 解：（1）证明：∵DB＝AB， ∴∠D＝∠DAB＝ ∠ABC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠D＝∠DAB＝∠C， ∴DA＝AC， ∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C， ∴△DBA∽△DAC； （2）∵AB＝3，BC＝8，DB＝AB， ∴DB＝3，CD＝BC+DB＝11， ∵△DBA∽△DAC， ∴DB：DA＝DA：DC， ∴3：DA＝DA：11， 解得 DA＝ ， ∵DA＝AC， 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 2页（共 8页） ∴AC＝ ． 21.（本小题满分 10分） 解：在�� △ ���中，∵ ∠��� = 30°，�� = 20 米， ∴ �� = 12�� = 10 米， ∴ �� = ��2 − ��2 = 10 3米． 在�� △ ���中，∵ ∠��� = 45°， ∴ ∠� = ∠���， ∴ �� = �� = 10 3米， ∴ �� = �� − �� = 10 3− 10 ≈ 17.32 − 10 = 7.32 ≈ 7(米)． 答：新修建的楼梯高度将会增加 7 米． 22.（本小题满分 10分） 23.（本小题满分 12分） 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 3页（共 8页） 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 4页（共 8页） 24.（本小题满分 10分） 25.（本小题满分 13分） 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 5页（共 8页） 26.（本小题满分 13分） 【详解】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝ 12 ∠AOB＝30°， ∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°， ∴∠OMP+∠MPO＝150°， 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 6页（共 8页） ∵∠MPN＝150°， ∴∠MPO+∠OPN＝150°， ∴∠OMP＝∠OPN， ∴△MOP∽△PON， ∴ OM OP OP ON  ， ∴OP2＝OM•ON， ∴∠MPN是∠AOB的“相关角”； （2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”， ∴OM•ON＝OP2， ∴ OM OP OP ON  ， ∵P为∠AOB的平分线上一点， ∴∠MOP＝∠NOP＝ 12 α， ∴△MOP∽△PON， ∴∠OMP＝∠OPN， ∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣ 12 α， 即∠MPN＝180°﹣ 12 α； 过点 M作 MH⊥OB于 H，如图 2， 则 S△MON＝ 1 2 ON•MH＝ 1 2 ON•OMsinα＝ 1 2 OP 2•sinα， ∵OP＝3， ∴S△MON＝ 9 2 sinα； （3）设点 C（a，b），则 ab＝4， 过点 C作 CH⊥OA于 H；分两种情况： 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 7页（共 8页） ①当点 B在 y轴正半轴上时； Ⅰ、当点 A在 x轴的负半轴上，如图 3所示： BC＝3CA不可能， Ⅱ、当点 A在 x轴的正半轴上时，如图 4所示： ∵BC＝3CA， ∴ 1 4 CA AB  ， ∵CH // OB， ∴△ACH∽△ABO， ∴ 1 4 CH AH AC OB OA AB    ， ∴ 1 4 b OA a OB OA    , ∴OB＝4b，OA＝ 4 3 a， ∴OA•OB＝ 4 3 a•4b＝ 16 3 ab＝ 64 3 ， ∵∠APB是∠AOB的“相关角”， ∴OP2＝OA•OB， ∴ 64 8 3 3 3 OP OA OB    ， ∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB， 九年级数学期末模拟测试（一）参考答案 第 8页（共 8页） ∴点 P的坐标为： 4 6 4 6, 3 3        ； ②当点 B在 y轴的负半轴上时，如图 5所示： ∵BC＝3CA， ∴AB＝2CA， ∴ 1 2 CA AB  ， ∵CH // OB， ∴△ACH∽△ABO， ∴ 1 2 CH AH AC OB OA AB    ， ∴ 1 2 b a OA OB OA    ∴OB＝2b，OA＝ 2 3 a， ∴OA•OB＝ 2 3 a•2b＝ 4 3 ab＝ 16 3 ， ∵∠APB是∠AOB的“相关角”， ∴OP2＝OA•OB， ∴ 16 4 3 3 3 OP OA OB    ， ∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB， ∴点 P的坐标为： 2 6 2 6, 3 3        ； 综上所述：点 P的坐标为： 4 6 4 6, 3 3        或 2 6 2 6, 3 3        ． 九年级数学期末模拟测试（一） 第 1页（共 6页） 2024～2025学年度第一学期期末模拟测试（一） 九年级数学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 6页，考试时间 120分钟，满分 150分，考试结束后请将答题卡交回． 2．答题前请考生务必将自己的姓名、班级、考试证号、考场和座位号用 0.5毫米的黑色签字笔 写在答题卡上相应的位置． 3．答题时请用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．作图必须使用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．反比例函数� = 1 � 的图象位于( ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 2．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则 sinB的值是( ) A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 5 3 3．如图是由 4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ） A． B． C． D． 4．如图，点 D是△ABC的边 AB上的一点，连接 DC，则下列条件中不能 判定△ABC∽△ACD的是（ ） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D． 5．如图所示，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻 两树之间的水平距离为 5米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ） A．5cos米 B． 5 cos 米 C．5sin 米 D． 5 sin 米 九年级数学期末模拟测试（一） 第 2页（共 6页） 6．如图， AB是 O 的直径，弦CD AB 于点 E．若 10AB  ， 8CD  ，则 AE的长是（ ） A．2 B．1 C． 5 D． 3 7．如图，在 ABC 中，点D，E分别在 AB，AC边上， //DE BC， ACD B  ，若 2AD BD ， 6BC  ，则线段CD的长为 （ ） A． 2 3 B．3 2 C．2 6 D．5 8．二次函数 y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过 A（－3，y1），B（－1，y2）， C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是 A．若 y1y2＞0，则 y3y4＞0 B．若 y1y4＞0，则 y2y3＞0 C．若 y3y4＜0，则 y1y2＜0 D．若 y2y4＜0，则 y1y3＜0 9．已知点 A是双曲线 y＝ 1 x 在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB为边作等边三角形 ABC，点 C在 第四象限内，随着点 A的运动，点 C的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y＝ k x （x＞0）上运动，则 k的值是（ ） A．3 B． 3 C．﹣3 D．﹣ 3 10．如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为 2的 O 与 x轴的 正半轴交于点 A，点 B是 O 上一动点，点 C为弦 AB的中 点，直线 3 3 4 y x  与 x轴、y轴分别交于点 D、E，则点 C 到直线DE的最小距离为（ ） A．1 B． 4 5 C． 3 5 D． 3 4 二、填空题（本大题共 8小题，第 11~12题每小题 3分，第 13~18题每小题 4分，共 30分．不 需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．如果两个相似三角形的周长比是 1：2，那么它们的面积比是______． 12．若一个扇形的圆心角为 60°，半径为 6，则该扇形的弧长为_____（结果保留π）． 13．如图，已知正方形 DEFG的顶点 D、E在△ABC的边 BC上，顶点 G、F分别在边 AB、 九年级数学期末模拟测试（一） 第 3页（共 6页） AC上，如果 BC=5，△ABC的面积是 10，那么这个正方形的边长是_____． 第 13题图 第 14题图 第 15题图 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O是△ABC的外接圆，点 A，B， O在网格线的交点上，则 cos∠ACB的值是 ． 15．一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是 ． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D为边 AC的中点，DE⊥BC于点 E， 连接 BD，则 tan∠DBC的值为 ． 17．把二次函数 2 2y x x m   的图象向上平移 2个单位长度，若平移后所得抛物线与 x轴 有且只有一个公共点，那么 m的值为______． 18．如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形 ABOC的边 OC，OB分别在 x轴、y轴上，双曲 线 的图象分别交 AB，AC边于点 E，F，沿直线 EF折叠△AEF，点 A的 对应点 G恰好落在 y轴上 ,若 OC＝4，则点 G的纵坐标为 ． 第 16题图 第 18题图 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 19．计算（本小题满分 12分） （1） 23tan30 cos 45 2sin 60    （2）已知�� △ ���中，∠� = 90°，∠� = 30°，�� = 3，解这个直角三角形． 九年级数学期末模拟测试（一） 第 4页（共 6页） 20.（本小题满分 10 分）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边 AC的长，小慧想出了一个办法，将边 BC反向延长至点 D，使 DB＝AB，连接 AD； （1）求证：△DBA ∽△DAC； （2）求边 AC的长． 21．（本小题满分 10分） 如图，某市为增加新建地铁车站出入口上下楼梯的高度，已知原 楼梯��长 20米，在楼梯水平长度(��)不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由 30°增大 到 45°，那么新修建的楼梯高度将会增加多少米？(结果保留整数，参考数据： 2 ≈ 1.414， ​ 3 ≈ 1.732) 22．（本小题满分 12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1y k x b  与双曲线 22 ky x  相交 于    2,3 , , 2A B m  两点． （1）求 1 2,y y 对应的函数表达式；（2）过点 B作 //BP x轴交 y轴于点 P，求 ABP 的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于 x的不等式 21 kk x b x   的解集． 九年级数学期末模拟测试（一） 第 5页（共 6页） 23．（本小题满分 10分）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，点 E在 CB的延长线上，连接 AC， AE，∠ACB＝∠BAE＝45°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若 AB＝AD，AC＝2 2，tan∠ADC＝3，求 CD的长． 24．（本小题满分 10分） 已知抛物线 y=ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），满足 a－b＋c=0. （1）若该抛物线过（3，0），求抛物线对称轴； （2）已知点 A（x1，y1），B(x2，y2)在该抛物线上，若 a＜c＜0，x1>x2>－1，比较 y1，y2 的大小，并说明理由. 25．（本小题满分 13分） 已知，在矩形 ABCD中， BC AB ＝ 1 2 ，E、F分别为 AB、DC边上的动点． （1）如图（1），当 F与 D重合，且 AE= 1 3 AB，将△AED沿 DE翻折至△GED，连 AG， 交 DE于点 O，求 tan∠GAE； （2）如图（2），当 E，F不与端点重合时，沿 EF将四边形 AEFD翻折至四边形 GEFH， 点 G落在 BC上，GH交 CD于点 P，连接 AG交 EF于点 O， ① 求 EF AG 的值； ② 若 sin∠HFP＝ 3 5 ，EF＝2 10 ，求 PH的长. D C O A BE F G H P （第 25题图 2） D(F) A B C E G （第 25题图 1） O 九年级数学期末模拟测试（一） 第 6页（共 6页） 26.（本小题满分 13分） 定义：如图 1，点 P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线 OA，OB交于 M，N两点，若∠MPN绕点 P旋转时始终满足 OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的 “相关角”． （1）如图 1，已知∠AOB＝60°，点 P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射 线 OA，OB交于 M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关 角”； （2）如图 2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关 角”，连结 MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积； （3）如图 3，C是函数 4y x  （x0）图象上的一个动点，过点 C的直线 CD分别交 x 轴和 y轴于点 A，B两点，且满足 BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请求 出 OP的长及相应点 P的坐标. 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2023~2024学年度第一学期期末模拟测试(一） 九年级数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 解答题 19. （1） （2） 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.