重难点05方程的根与函数零点讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

答案 例题精讲精练 例1-1.【答案】C 【详解】方程所对应的函数为， 在上为增函数. ， ， 所以由零点存在性定理可知：方程的解所在区间为：. 故选：C. 例1-2．【答案】B 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 例1-3 .【答案】C 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 则，解得，所以至少需要操作10次. 故选：C. 练1-1【答案】B 【详解】构造函数， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数的零点在内， 即函数的交点所在的一个区间是. 故选：B． 练1-2【答案】C 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C 练1-3【答案】BC 【详解】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解, 故选：BC. 例2-1 【答案】B 【详解】因为函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 在同一坐标系内，分别画出函数的图象，如图所示， 由图象可得：，所以. 故选：B. 例2-2【答案】C 【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，， 作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点． 故选：C． 练2-1【答案】D 【详解】由得，， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 由图象知，，. 故选：D 练2-2【答案】A 【详解】由题得函数为定义在上的偶函数，则， 又因为，函数图象关于直线对称， 且，即，即2为的周期， 已知当时，，由此可作出函数图象， 在同一坐标系中作出函数图象，如图：    由，可得 则两个函数图象在上有3个交点， 由于两个函数都为偶函数，所以两函数的图象共有6个交点， 即函数有6个零点． 故选：A 例3-1【答案】D 【详解】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.令，易知，所以，将函数有个零点问题，转化为函数图像，与直线有个交点来求解.画出的图像如下图所示，由图可知，而，故.故选D. 例3-2【答案】【答案】D 【详解】设，定义域为R, ∴， 故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称， 故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点， ∴，即． 故选：D． 练3-1【答案】C 【详解】由题设关于y轴对称，即为偶函数， 又，则，即是周期为4的函数， 若，则，故， 所以且，又过定点， 所以与的部分图象如下图示： 当过时，； 当过时，； 由图知：时，和直线有5个交点. 故选：C 练3-2【答案】A 【详解】，则是函数的一个零点 由，解得 要使得有两个不同的零点，则 故选：A 例4-1【答案】D 【详解】观察各选项可得， 作出的图象，如图所示：   ， 令，先解，知其有两根和， 则方程提供个根，故方程提供个不等实根， 故，即，解得. 故选：D. 例4-2【答案】 【详解】由得或，，只有一个根，因此方程要有两个非零解，作出的图象和直线，由图象可知当时，方程有两个非零解． ∴的范围是． 故答案为：． 练4-1 【答案】ACD 【详解】对A，当时，单调递增， 当时，单调递减， 画出的图象，可以看出关于对称，    当时，取得最小值为1， 在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，    所以函数有3个零点，A正确； 对B，由图象可知，函数有四个零点，则，B错误；    对C，由图象可知，若关于的方程有四个不等实根， 不妨设，则关于对称，关于对称， 所以，所以，C正确； 对D，令，若关于的方程有8个不等实根， 则要有2个不相等的实数根，且， 所以，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 练4-2【答案】A 【详解】令，要使有5个零点，结合函数的图象 则有两个不相等的零点， 设为，且，且需满足或， 当时，无解，不合题意， 当时，，的两根均大于或等于1，不合题意， 所以，只需，解得. 故选：A. 练4-3【答案】 【详解】令，由可得， 可得或，作出函数的图象如下图所示： 若，则直线与函数的图象有个公共点， 直线与函数的图象有个公共点， 此时，关于的方程有个不同的实数根，不合乎题意， 所以，，则直线与函数的图象有个公共点，则，得， 由图可知，由，得， 即，，， 由图可知点与点关于直线对称，则， 所以，. 故答案为：. 例5-1【答案】 A 【详解】因为有个零点， 所以的图象有两个交点， 作出的图象如下图所示： 当有两个交点时，可知， 所以，即， 故选：A. 例5-2【答案】A 【详解】由题意知，的对称轴为， 当即时，的图象如图1，此时令，可得， 观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；    当即时，的图象如图2，此时令，可得或， 因为和均为的根， 所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，． 当时，的对称轴为， 则，解得， 故．    综上，的取值范围为． 故选：A. 练5-1【答案】B 【详解】作出与的图象如下，    由图可知，与的图象有个交点， 则函数的零点个数是 故选：B． 练5-2【答案】C 【详解】由题意可知，有3个实数根，即和有3个交点， 画出函数的图象，    若与有3个交点，则. 故选：C 练5-3【答案】 【详解】由题意可得当，即两个零点分别为和， 令，解得， 当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，无零点，要使函数恰有两个零点，需满足，即； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 例6-1【答案】ABD 【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错； ，故D对. 故选：ABD    例6-2 【答案】A 【详解】作出函数的图象如下图所示： 因为是函数的4个零点， 所以直线与函数的图象有四个交点，且， 结合图象可知：，故①错误； 对于②，由图可知，，则，所以， ，则，所以， 所以，所以，故②错误； 对于③，当时，或， 结合图象可知，，由得， 即，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然不满足， 所以，故③错误； 对于④，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值是，故④正确. 综上，正确结论为④，共1个. 故选：A. 练6-1【答案】 【详解】由，得，则，由，得，则， 由图象知，，结合对勾函数单调性知在时单调递减，在时单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，当时，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题. 练6-2【答案】（ 【详解】作出函数的图象：    方程有四个不同的解， 则，且，，所以， 则， 设，所以， 因为，所以，则， 所以则的取值范围为， 故答案为：. 练6-3【答案】 【详解】作出函数的图像， 由图得 ， 所以 故答案为： 通关练习 1.【答案】B 【详解】当时，函数和都是减函数， 所以函数在区间上单调递减， ， ， 因为， 所以， 又，， 所以， 又函数在上连续， 根据零点存在性定理可得零点所在的区间为. 故选：. 2．【答案】A 【详解】依题意可知， 由整理得①， 即关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且， 令，则或， 则①转化为， 即， 根据对勾函数的性质可知是方程的一个根， 所以， 所以，解得或， 所以是方程的根，即的根， 所以， 所以. 故选：A 3【答案】 【详解】画出的图象有： 因为方程有四个不同的解，故的图象与有四个不同的交点，又由图，， 故的取值范围是. 又由图可知，， 故，故 故. 又当时，.当时，，故. 又在时为减函数，故当时取最大值. 故答案为： ；4 4.【答案】D 【详解】函数与直线的图象，如下图所示 因为直线与函数的图像相交于四个不同的点，所以，则A正确； 根据对称性，得出； ，则B正确； 设，因为，所以 令，则， 设， 因为，所以，即函数在上单调递增 故，即，则C正确； 令，则 由得，则方程的解为 当时，由于，则直线与函数的图像相交一点 当时，由于，则直线与函数的图像相交一点 当时，由于，则直线与函数的图像相交不同的四点 当时，由于，则直线与函数的图像相交不同的两点 则方程有8个不同的实数根，则D错误； 故选：D 5.【答案】D 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以,解得. 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点. 函数，的图像如图，由图可知. 故选：D. 6【答案】．A 【详解】因为有个零点， 所以的图象有两个交点， 作出的图象如下图所示： 当有两个交点时，可知， 所以，即， 故选：A. 7．【答案】A 【详解】因为函数有零点，即有解， 故实数的取值范围就是求的值域. ，且， 故函数的值域为，则m的范围为， 故选：A 8．【答案】D 【详解】由，得， 令，作出的图象， 由图象可得有3个零点. 故选：D. 9．【答案】C 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 10．【答案】A 【详解】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是. 故选：A. 11 【答案】AC 【详解】令，得． 则函数恰有2个零点可转化为函数和有2个交点， 作出的大致图象，如图所示．    由图可知，当时，恰有2个零点． 故选：AC. 12．【答案】] 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 13．【答案】] 【详解】作出函数的图象，如图，    令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时， 则方程在内有两个不同的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】令，则， 若，可得，解得或； 若，可得，无解； 综上所述：或，即或， 由题意可知：与、共有3个不同的交点， 作出的图象，如图所示， 显然，可得或， 解得或，所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 15． 【答案】 3 【详解】函数的零点个数可转化为与函数的交点个数. 函数的图象如下图： 当时，函数的零点个数最多，为3个. 故答案为：3， 16．【答案】A 【详解】先求充要条件： 因为当时，令，解得符合， 所以当时，令，则此方程无解，因为时，，所以或 ， 所以 有且只有一个零点的充要条件是或， 根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A. 故选：A 17．【答案】D 【详解】解：因为函数的两个零点分别在和内，所以且 所以解得，即 故选：D 18．【答案】C 【详解】解：函数的图像如图所示： 因为，所以函数恒过点 函数恰有5个零点， 等价于函数与恰有个不同的交点. 由图知：，即：. 故选： 19．【答案】C 【详解】解：令，得， 则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数． 作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2， 故方程的解的个数为2个． 故选：C 20．【答案】C 【详解】本题转化为函数和函数的交点个数,做出两个函数的图像,如图, 根据图像可得两个函数交点的个数为个,所以函数的零点个数为个. 故选:C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05方程的根与函数零点 1． 题型梳理 题型1：二分法判断函数零点区间 题型2：求函数零点个数（不含参） 题型3：含参函数零点问题 题型4：复合函数零点问题 题型5：分段函数零点问题 题型6：等高线问题 2． 知识点回顾 1． 二分法 （1） 二分法的概念：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2） 二分法的使用条件 1 函数连续； 2 函数的零点左右两侧异号。 （3） 二分法的精确度：这里的精确度是指一个确定的数值，函数的初始区间为,经过n次二分以后，区间长度为,若，则停止二分。 2.复合函数零点问题 复合函数的零点问题：先令,考虑使得存在的所有,然后再考虑使得存在的所有，所有的就是复合函数的所有零点。 3.零点、根、交点的关系 函数的零点 ↔方程的实数根 ↔函数的交点 三．例题精讲精练 题型1：二分法判断函数零点区间 例1-1（23-24高一上·重庆·期末）方程的解所在区间可以为（    ） A． B． C． D． 例1-2（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 例1-3（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 练1-1（23-24高一上·重庆·期末）函数的交点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 练1-2（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   练1-3（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）【多选题】某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 题型2：函数零点（不含参） 例2-1（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 例2-2（24-25高一上·湖南长沙·期中）函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．0 练2-1（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 练2-2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数为定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型3：含参函数零点问题 例3-1（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 例3-2（23-24高一上·全国阶段练习）已知函数有唯一零点，则实数（       ） A．1 B． C．2 D． 练3-1（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，若函数的图象和直线，有5个交点，则k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 练3-2（24-25·高一上·全国阶段练习）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型4：复合函数零点问题 例4-1（24-25高一上·全国·阶段练习）已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B．( C． D． 例4-2（19-20高一上·浙江宁波·期中）已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是__________. 练4-1（22-23高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）【多选题】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有3个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 练4-2（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，若有5个零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 练4-3（22-23高一上·湖北·阶段练习），若关于的方程有且仅有四个不相等的实数根、、、，则的取值范围为 . 题型5：分段函数零点问题 例5-1（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，若有个零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5-2（23-24高一上·湖北·阶段练习）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练5-1（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数若，则函数的零点个数是（   ） A． B． C． D． 练5-2（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练5-3（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 题型6：等高线问题 例6-1（23-24高一上·重庆·期末）【多选题】已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例6-2（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练6-1（23-24高一上·重庆渝中·期末）函数，若存在，使得，则的取值范围是 ___________ . 练6-2（23-24高一上·重庆·期末）已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 . 练6-3（17-18高一上·安徽淮北·阶段练习）已知函数,函数有四个不同的零点且满足，则的取值范围为 ． 3． 通关练习 1. （23-24高一上·重庆·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（    ） A．-6 B．-4 C．-3 D．-2 3．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是 ，的最大值是 . 4. （19-20高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，交点的横坐标满足，则以下结论中不正确的是（    ） A． B．且 C． D．方程有个不同的实数根 5．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数，若有个零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A．（ B． C． D． 8．（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数 有几个零点 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·青海·期中）设函数,若函数恰有2个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D．3 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 13．（22-23高一下·重庆江津·开学考试）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为 ． 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的零点最多有 个，此时的取值范围为 ． 16．（23-24高一上·重庆铜梁·期中）函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 17．（23-24高一上·重庆巴南·阶段练习）已知函数的两个零点分别在和内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知函数，则方程的解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（22-23高一上·重庆北碚·期末）函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2 学科网（北京）股份有限公司 $$