精品解析：江西省上饶市弋阳县第一中学2024-2025学年高二上学期12月质量检测数学试题

2024年12月份高二年级质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每题5分） 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】由题意斜率， 解得：， 故选：D 2. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的焦点计算即可. 【详解】易知双曲线的焦点为， 则由题意可知：，即的值为6. 故选：C 3. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与半径之差相等，可以判定两圆相内切. 【详解】由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 又由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 则圆心距， 由于，所以， 则圆的位置关系为内切. 故选：C. 4. 已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量求点到直线的距离公式计算即可. 【详解】根据题意可知，， 所以点到直线的距离. 故选：B 5. 2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周，其主题是“绿色转型，节能攻坚”．某市在5月13，15，17日安排5位人员进行节能宣传，要求每天至少派1位，且每位人员只进行一次宣传，则不同的分派方法有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先分组，有与两种类型，然后再分配，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】将5位人员分成3组，有两种类型，即第一种：，第二种：， 其中第一种有种分组方法， 第二种有种分组方法， 将分好的3组全排列有种方法， 则由分步乘法计数原理得，不同的分派方法有种． 故选：C 6. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面的距离为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】A 【解析】 【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案. 【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点， 因为⊥平面，且平面，所以⊥， 又因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 即直线与平面所成的角为， 且，故D错误； C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则，所以⊥平面， 又因为平面，则⊥，故C错误； B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为R，则，即， 所以，故B错误； A选项，如图3，因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 由B选项可知，平面的一个法向量为， 且， 则两平面间的距离，故A正确. 故选：A 7. 过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（ ） A. B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出，从而可得直线AB的方程为，并与抛物线联立方程组，韦达定理得到，从而可得抛物线的焦点弦. 【详解】记抛物线的焦点为，则.记切点为， 因为圆的圆心为， 所以，，所以， 由对称性，不妨设切点在第一象限，则直线AB的方程为. 设，，联立方程组得， 所以， 所以. 故选：D. 8. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 二、多选题（共3小题，每题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数公式求判断A的真假；根据组合数的性质求判断B的真假；利用特殊元素优先法求符合条件的排列方法，判断C的真假；利用插空排列求符合条件的排列方法，判断D的真假. 【详解】对A：由，且，解得，故A正确； 对B：由或解得或，故B错误； 对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确； 对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法， 故满足条件的排法有：种.故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法命题正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A，利用空间向量研究线面关系可判定B，根据数量积的几何意义计算投影向量可判定C，利用四点共面的推论可判定D. 【详解】对于A，易知，显然，所以不共线，即A错误； 对于B，由题意可知，所以不垂直，即B错误； 对于C，在上的投影向量为，即C正确； 对于D，由于四点共面，则，所以，即D正确. 故选：CD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（ ） A. 两渐近线夹角为 B. 的离心率 C. 为定值 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线两渐近线的夹角，可判断A选项；双曲线的渐近线与圆相切，求出的值，可求出该双曲线的离心率，可判断B选项；求设，则，利用点到直线的距离公式可判断C选项；分析可知，利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，所以双曲线，所以双曲线渐近线为， 所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误； 因为，所以离心率，B正确； 设，则，所以，C正确； 因为由余弦定理可得 所以，当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点， 所以的最小值为，D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每题5分） 12. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程直接计算准线即可. 【详解】因为抛物线，则，故其准线方程为. 故答案为：. 13. 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为，的中点，向量与夹角的余弦值______． 【答案】 【解析】 【分析】选择为基底，利用空间向量的线性运算及数量积与夹角关系计算即可. 【详解】选择为基底，设空间四边形各边及对角线长为2， 根据题意有， 易知， 所以 ， 所以与夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有______种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有________种最短路径的走法． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可. 【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道． 所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法； 同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种． 故答案为：210，90 四、解答题 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为． （1）求过点C且与边AB平行的直线的一般方程； （2）求三角形ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，再根据直线平行得所求直线斜率，利用点斜式得直线方程，再转化为一般式即可. （2）先求，再求到（1）中所求直线的距离，利用三角形的面积公式可求解. 【小问1详解】 如图： 因为，因为所求直线与平行， 所以所求直线为：，即. 【小问2详解】 因为. 点到直线的距离为：. 所以. 16. 已知圆经过点，，． （1）求圆的标准方程； （2）若经过点的直线与直线垂直，且与圆相交于两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，代入点的坐标计算即可； （2）利用两直线垂直的充要条件及点斜式先求直线方程，根据点到直线的距离公式及垂径定理计算弦长即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为：， 则，解得， 故； 【小问2详解】 因为l与垂直，即其斜率为， 由点斜式知， 由（1）知圆心，半径， 则M到l的距离为， 所以. 17. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】（1）300 （2）240 （3）2160 【解析】 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【小问1详解】 因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. 【小问2详解】 完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. 【小问3详解】 完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 18. 如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）记直线的斜率分别为，证明：是定值； （3）设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可. （2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. （3）由（2）得，联立直线与的方程求出点的横坐标，再求出三角形的面积的函数关系并求出最小值. 【小问1详解】 由双曲线的焦距为，得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，，    由消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即， 而， 所以 为定值. 【小问3详解】 由（2）知，直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧： 1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年12月份高二年级质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每题5分） 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 4. 已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周，其主题是“绿色转型，节能攻坚”．某市在5月13，15，17日安排5位人员进行节能宣传，要求每天至少派1位，且每位人员只进行一次宣传，则不同的分派方法有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 6. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面的距离为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. D. 直线BC与平面所成的角为 7. 过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（ ） A. B. 14 C. 15 D. 16 8. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共3小题，每题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10. 下列说法命题正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知，，则在上的投影向量为 D. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（ ） A. 两渐近线夹角为 B. 的离心率 C. 为定值 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每题5分） 12. 抛物线的准线方程为______． 13. 已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为，的中点，向量与夹角的余弦值______． 14. 如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有______种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有________种最短路径的走法． 四、解答题 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为． （1）求过点C且与边AB平行的直线的一般方程； （2）求三角形ABC的面积． 16. 已知圆经过点，，． （1）求圆的标准方程； （2）若经过点的直线与直线垂直，且与圆相交于两点，求． 17. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 18. 如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）记直线的斜率分别为，证明：是定值； （3）设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $