精品解析：上海市浦东新区2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试卷

浦东新区2024学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若对数函数且）的图象经过点 ，则实数______. 2. 直线的倾斜角______． 3. 已知复数，，，若为纯虚数，则__________． 4. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 5. 在中， ， ，，则__________． 6. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 7. 若等差数列满足，，则 __________． 8. 已知函数的表达式为，则不等式的解集为__________． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________． 10. 某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________ ．（精确到0.001） 11. 已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为__________． 12. 已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为__________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则或 15. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 16. 设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数的表达式为，． （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； （2）若 ，设函数的表达式为，求当时，的值域． 18. 如图，已知为圆柱底面圆的直径， ，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值． 19. 申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） （1）小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ （2）小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． （1）若，求点A的坐标； （2）求的取值范围； （3）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 21. 过曲线 上一点作其切线，若恰有两条，则称为 的“类点”；过曲线 外一点作其切线，若恰有三条，则称为 的“类点”；若点为 的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为 的“类点”． （1）设，判断点是否为 的“类点”，并说明理由； （2）设 ，若点为 的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； （3）设，证明：轴上不存在 的“类点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区2024学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若对数函数且）的图象经过点 ，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】直接将点代入计算即可. 【详解】将点 代入得，解得 故答案为：2. 2. 直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 3. 已知复数，，，若为纯虚数，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由纯虚数的概念得到 ，再由模长计算求解即可； 【详解】， 因为为纯虚数，所以 ， 所以，所以， 故答案为：5. 4. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，求得所在项数后可得． 【详解】的展开式中第 项为， 令得：的系数为. 故答案为：20． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 5. 在中， ， ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由 ，，得 ， 由正弦定理得，. 故答案为： 6. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 7. 若等差数列满足，，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 8. 已知函数的表达式为，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分 和两种情况，结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 若 ，则，即，解得； 若，则，解得 ； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 依题意，直线的方程为， 由，解得，则点的坐标为， 所以的面积为. 故答案为： 10. 某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________ ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【解析】 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是 . 故答案为： 11. 已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，设，表示各向量坐标，利用数量积的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，，且. 以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，. 设，则， ∴，，， ∴，，， ∴点坐标可能为，，，，，，，， 故点个数的最大值为8. 故答案为：8. 12. 已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由一元二次方程，复数根互为共轭复数根，一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），因此圆心在轴上，据此分类讨论可求得结论. 【详解】 ， 对比系数可得，， ，， 复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点 情况1，四个根两两互为共轭复数，故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，， ，， ， 类似计算可得， ，， 因为， 所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个， 情况2，四个根有2个为实数，另外2个为共轭复数故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，，，， 计算可得，， ，， 因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性， 从而可得，此时集合的个数为5个， 综上：满足条件的不同的个数为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：重点在于一元二次方程，复数根互为共轭复数根，进而确定一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，从而4个根两两互为共轭复数根，进而确定圆心，从而分类讨论求解. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质举反例可得ABD错误；作差由完全平方可得C正确； 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，因为实数、满足，所以，故C正确； 对于D，令，满足，但，故D错误； 故选：C. 14. 设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则或 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题， 对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线， 显然有，但与异面，所以选项B为假命题， 对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定 ，则，因为，所以， 同理可得，，所以，又，故， 又，所以，得到，故选项C为真命题， 对于选项D，因为，所以，，若，因为，则， 若，易知，又，，所以，故选项D为真命题， 故选：B. 15. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定数据组的中位数、众数、平均数，举例说明判断ABC；利用数据的波动大小判断D. 【详解】数据由小到大排列为：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位数、众数、平均数都为3， 去掉数据1，剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据3，剩余数据的平均数不变，ABC不是； 若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是. 故选：D 16. 设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 满足和是有限集， 从而和是-互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数的表达式为，． （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； （2）若 ，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】（1），单调增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【小问1详解】 因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； 【小问2详解】 ，， 时，，故， 所以. 18. 如图，已知为圆柱底面圆的直径， ，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【小问1详解】 依题意， 平面，由，得， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 19. 申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） （1）小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ （2）小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 【答案】（1）想法错误； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出小的总命中率，小的总命中率，比较这两个总命中率即可得到结论； （2）（ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，，小获胜的概率为，小的获胜的概率为，求出得解；（ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，，小获胜的概率为，小的获胜的概率为，求出，利用的单调性得到，从而得到当也就是时，从而得到结论． 【小问1详解】 小总出手次，命中 次，则小总命中率为， 小总出手次，命中次，则小总命中率为， ，小B为校MVP，小C想法错误； 【小问2详解】 （ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 可得“小第一次投篮，小获胜概率大”； （ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 其中，， 随着的增大而增大， ， 当也就是时， 当也就是时， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． （1）若，求点A的坐标； （2）求的取值范围； （3）若轴，垂足为，连结 并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设直线，结合椭圆方程整理可得，代入运算求解即可； （2）根据向量的坐标运算结合椭圆方程可得，结合二次函数求范围即可； （3）利用点差法可得 ，利用夹角公式可得，结合（1）中结论求得，并构建函数，利用导数求最值. 【小问1详解】 由椭圆方程可知：，则， 设直线，， 可得，解得， 则，解得， 则，即，所以. 【小问2详解】 因为， 可得， 则， 因为，则， 可得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设， 由题意可知：， 则，且， 因为点 均在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 则，即，可知 ， 又因为，则， 可得面积 ， 设，则， 当时，；当 时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 1.数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； 2.构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 21. 过曲线 上一点作其切线，若恰有两条，则称为 的“类点”；过曲线 外一点作其切线，若恰有三条，则称为 的“类点”；若点为 的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为 的“类点”． （1）设，判断点是否为 的“类点”，并说明理由； （2）设 ，若点为 的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； （3）设，证明：轴上不存在 的“类点”． 【答案】（1） 函数， ，点在 上，求导得， 设切点为 ，切线方程为 ，即， 由切线过 ，得 ， ,解得或 ， 因此切线方程为，所以点为 的“类点”. （2）2； （3） 假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为 ， 求导得，设切点为 ，切线方程为 ， 即，由切线过 ，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由 ，得 或 ， 当 时， ，函数 是 上的严格减函数， 当 时， 为 上的严格增函数， 函数 的极小值 ，极大值，又 ， 当 或时，方程 有两个不同解，当 时，方程 有三个不同解， 当 时， 在 上，其余情况下在 外，则 ， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则 ，由， 得，则有， 由 ，得异号，不妨设， 由均值不等式知， ， 则 ，与 矛盾，即不存在， 所以轴上不存在 的“类点”. 【解析】 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数 ，求导得 ，设切点为 ， 切线方程为 ，即， 切线过 ，则 ， 依题意，方程 有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则 ， ，则 ， 当时， ，不过 ， 所以的值为2. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标 ，求导并求出切线方程 ，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $