08 圆锥曲线中的“三定“问题-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■江苏省宜兴市张渚高级中学 陶珊珊 圆锥曲线中的“三定”问题,是历年高考 数学中的常见题型之一,也是备受师生关注 的焦点问题之一。此类问题充分体现了圆锥 曲线中的点、直线、曲线等几何元素之间“动” 与“静”的完美统一,是解析几何中相关知识、 思想、方法与能力等方面的交汇与融合的综 合问题。此类问题可以将函数与方程、平面 向量、不等式等其他知识与解析几何融为一 体,需要同学们有较强的综合能力、应变能力 与应用能力。圆锥曲线中的“三定”问题主要 包括定值、定点、定线等相关内容。 一、定值问题 定值问题,是证明相关要素、代数式或关 系式等为定值,往往是基于线段的长度、平面 向量的数量积、三角形的面积、参数值或比值 等相关几何量为定值的问题,充分体现几何 与代数之间的变化与联结。 例 1 已知离心率为 3 2 的椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)与x 轴,y 轴的正半轴交于A, B 两点,作直线AB 的平行线交椭圆于C,D 两点。 (1)若△AOB 的面积为1,求椭圆的标准 方程; (2)在(1)的条件下,记直线 AC,BD 的 斜率分别为k1,k2,求证:k1k2 为定值。 解析:(1)由题设可得e2= c2 a2 = 3 4 ,所以 b2 a2 =1- c2 a2 = 1 4 。 ① 由题意知S△AOB= 1 2ab=1 。 ② 联立①②,解得 a=2, b=1, 故椭圆的标准方 程为 x2 4+y 2=1。 (2)因为AB∥CD,所以可设直线CD 的 方程为y=- 1 2x+t ,代入x 2 4+y 2=1,整理 得x2-2tx+2t2-2=0,所以Δ=(-2t)2- 4(2t2-2)=-4(t2-2)>0,则t2<2。 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2= 2t,x1x2=2(t2-1)。 由A(2,0),B(0,1),得k1k2= y1 x1-2 · y2-1 x2 = - 1 2x1+t -12x2+t-1 x2(x1-2) = - x1 2+ x1+x2 2 -x22+x1+x22 -1 x2(x1-2) = 1 4 , 即k1k2 为定值。 点评:解决圆锥曲线中的定值问题的一般 步骤:(1)选参,根据题设条件,合理选择变量进 行设参,具体解题过程中以设点法、设线法等为 主;(2)化参,依托题设条件,合理构建相应的方 程(组)或其他相应的关系式,结合变量之间的 关系,合理减少变量的个数,尽可能是单变量问 题,也可以是整体化思维应用等;(3)定值,合理 消参,确定对应的定值问题,进行代数式的恒等 变形与数学运算。 二、定点问题 定点问题,是证明相关要素、曲线系等过 定点,往往是基于直线、圆等对应的曲线过定 点,由此形成对应的直线系、圆系等共同点, 是平面解析几何中相应元素动态过程中的唯 一“静止”。 例 2 已知抛物线C:y2=2px(p> 0),过焦点F 的直线l与抛物线C 交于A,B 两点,当直线l的倾斜角为 π 6 时,|AB|=16。 (1)求抛物线C的标准方程和准线方程; (2)记O 为坐标原点,直线x=-2分别 与直线OA,OB 交于点M,N,求证:以 MN 为直径的圆过定点,并求出定点坐标。 解析:(1)由已知可得,抛物线的焦点为 F p2 ,0 ,当直线l的倾斜角为π6时,直线l 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 的方程为y= 3 3 x- p 2 。 联立 y= 3 3 x- p 2 , y2=2px, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去y 整理得 x2-7px+ p2 4=0 。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的 关系可得x1+x2=7p,则|AB|=x1+x2+ p=8p=16,所以p=2。 所以抛物线C 的标准方程为y2=4x,准 线方程为x=-1。 (2)由题意及(1)可设直线l:x=my+ 1,联立 x=my+1, y2=4x, 消去x 整理得y2-4my -4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4。 又因 为 kOA = y1 x1 = 4 y1 ,所 以lOA:y= 4 y1 x,所以点 M -2, -8 y1 。 同理可得,点N -2, -8 y2 。 设圆 上 任 意 一 点 为 Q (x,y),则 由 QM→·QN→=0,可得圆的方程为(x+2)2+ y+ 8 y1 y+8y2 =0,整理得(x+2)2+y2+ y 8 y2 + 8 y1 + 64y1y2=(x+2)2+y2-8my- 16=0。 令y=0,可得x=2 或x=-6。 所以以 MN 为直径的圆过定点,定点坐 标为(2,0)或(-6,0)。 点评:解 决 圆 锥 曲 线 中 的 定 点 问 题 的 一般步骤:(1)选参,根据题设条件,合理选 择变量进 行 设 参,具 体 解 题 过 程 中 围 绕 点 的形式,可设点的坐标、直线的斜率或截距 等;(2)用参,依托题设条件,合理构建相应 的方程(组)或 其 他 相 应 的 关 系 式,为 进 一 步确定定点创设条件;(3)定点,合理消参, 确定对应的定 点,实 现 方 程(组)的 必 要 化 简与应用。 三、定线问题 定线问题,是证明相关要素、动点等在定 直线上,往往是基于两直线的交点、三角形外 接圆或内切圆的圆心等相关点在定直线上, 是解析几何中对应元素在变化与运动过程中 的和谐统一。 例 3 在平面直角坐标系xOy 中,已 知双曲线C 的中心为坐标原点,对称轴是坐 标轴,右支与x 轴的交点为(1,0),其中一条 渐近线的倾斜角为 π 3 。 (1)求双曲线C 的标准方程; (2)过点T(2,0)作直线l与双曲线C 的 左右两支分别交于A,B 两点,在线段AB 上 取一点E,且满足|AE|·|TB|=|EB|· |AT|,证明:点E 在一条定直线上。 解析:(1)设双曲线C 的方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0),由题意知a=1, b a=tan π 3 = 3,可得b= 3。 故双曲线C 的标准方程为x2-y 2 3=1 。 图1 (2)易知T(2,0)为双曲 线C 的右焦点,如图1所示。 由题知直线l的斜率存 在,根据对称性,不妨设斜率 为k(0≤k< 3),故直线l 的方程为y=k(x-2),代入双曲线的方程得 (3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的 关 系 得 x1 +x2 = -4k2 3-k2 ①,x1x2 = - 4k2+3 3-k2 ②,且x1≤-1,1≤x2<2。 设E(x0,y0),因为点E 在线段AB 上, 所以x1<x0<x2。 由|AE|·|TB|=|EB|·|AT|,可得 1+k2 (x0-x1)· 1+k2 (2-x2)= 1+k2(x2-x0)· 1+k2(2-x1),化简得 4x0-(2+x0)(x1+x2)+2x1x2=0。 ③ 将①②代入③并化简得x0= 1 2 ,所以点 E 在定直线x= 1 2 上。 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月 􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯 点评:解决圆锥曲线中的定线问题,主要 是涉及因图形变化或点的移动而产生的动点 在定直线上的问题。证明动点在定直线上是 圆锥曲线中的常规题型,解决这类问题的核 心在于确定动点的轨迹,其解题的一般步骤: (1)联立方程消去参数;(2)挖掘图形的对称 性,解出动点的横坐标或纵坐标;(3)将横纵 坐标分别用参数表示,再消参;(4)设点,对方 程变形后求解,从而得定直线。 总之,探索圆锥曲线中的“三定”问题, 巧妙联系起平面解析几何中众多的基本要 素,可以发现圆锥曲线中的点、直线、曲线 等几何元素间的内在规律与联系,借助定 值、定点、定线等定量关系,实现几何与代 数的联系,“动”“静”结合,和谐统一。同时 要注意的是,此类圆锥曲线中的“三定”问 题的数学运算量一般较大,同学们要注重 函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方 法的灵活运用,并且加强对相关内容的正 确理解与掌握,从而实现提高数学解题能 力与应用能力的目的。 (责任编辑 王福华) ■江苏省沭阳高级中学 唐中建 在圆锥曲线综合应用的问题中,常出现 需要证明非对称式为定值的情形,此时式子 并不能完全整理为x1+x2,x1x2 或y1+y2, y1y2 的形式,这就是圆锥曲线问题中比较常 见的非对称式问题。本文结合实例,就圆锥 曲线综合应用问题中有关非对称式的应对策 略加以剖析,以期抛砖引玉。 一、部分代换法 在处理圆锥曲线综合应用中的非对称式 问题时,需结合代数式的结构特征,将其中符 合韦达定理的部分整理为x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的形式,并加以代入。而不符 合韦达定理的部分暂时保留,通过逻辑推理 与数学运算来实现化简或求值的目的。 例 1 设椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的右焦点为F,点 M 1, 3 2 在椭圆C 上, 且 MF⊥x 轴。 (1)求椭圆C 的方程。 (2)过点P(4,0)的直线交椭圆C 于A, B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直 线 MF 于点Q。证明:AQ⊥y 轴。 解析:(1)依题意可得 c=1, 1 a2 + 9 4b2 =1, a2=b2+c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=2, b= 3, c=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故椭圆C 的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)依题意知,直线 MF 的方程为x=1, 又因为点P(4,0),N 为线段FP 的中点,所 以N 52 ,0 。 图1 如图1所示,设直线 AB 的方程为x=my+4, 联立 x=my+4, x2 4+ y2 3=1 , 消去 x 整理 得 (3m2 +4)y2 + 24my+36=0,由Δ=(24m)2-4×36(3m2 +4)=144m2-576>0,可得m2>4。 设A(x1,y1),B(x2,y2),结合韦达定理 可得y1+y2=- 24m 3m2+4 ,y1y2= 36 3m2+4 。 而直 线 NB 的 方 程 为 y= y2 x2- 5 2 · 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年12月