第13讲 一元一次不等式组（3大知识点+14大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

00第13讲 一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 经历通过具体问题抽象出不等式组的过程. 2. 理解一元一次不等式组及其解的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法. 3. 掌握相关求参数（范围）问题. 知识点1 一元一次不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 要点： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点2 一元一次不等式组的解法 1. 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点： (1)找各个不等式的解集的公共部分的方法是先将各个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 3. 解一元一次不等式组的方法步骤： 第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集； 第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分； 第三步：写出不等式组的解集的结论． 4. 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中） 知识点3 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数. 考点一:一元一次不等式组的概念 例1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 考点二:一元一次不等式组的实际意义 例2．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（   ） 用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ A． B． C． D． 【变式2-2】．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 考点三:一元一次不等式组的解法 例3．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【变式3-1】．解下列方程组或不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【变式3-2】．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式3-3】．解下列不等式组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 考点四:判断解集的表示、解法步骤的正误 例4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．下列说法正确的是（    ） A．不等式组的解集是 B．不等式组的解集是 C．不等式组的解集是 D．不等式组的解集是 【变式4-3】．解不等式（组） (1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 考点五:一元一次不等式组的整数解及求参数 例5．解不等式组：并求所有整数解的和． 【变式5-1】．求不等式组的非负整数解． 【变式5-2】．已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【变式5-3】．已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 考点六:解m＜ax+b＜n型不等式组 例6．计算下列不等式： 【变式6-1】．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】．满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】．关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 考点七:解绝对值不等式 例7．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）；     （2）． 【变式7-1】．解下列不等式： （1） （2） 【变式7-2】．解不等式． 【变式7-3】．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 考点八:有解、无解问题 例8．若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【变式8-1】．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式8-2】．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【变式8-3】．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 考点九:根据解集求参数(范围) 例9．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为 【变式9-1】．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】．已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【变式9-3】．若两个方程的解都是关于的不等式组的解，则的取值范围是 ． 考点十:一次方程组与不等式组（求参问题） 例10．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【变式10-1】．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【变式10-2】．若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【变式10-3】．若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 考点十一:解特殊的不等式组 例11．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②， 解①得 ；解②得， ∴原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题：写出不等式的解集． 【变式11-1】．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”， 可得①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法，解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【变式11-2】．自学下面材料后，回答问题： 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式 如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： ①若，，则；若，，则； ②若，，则；若，，则． (1)①若，则，或； ②若，则 ； (2)由（1），求不等式的解集； (3)试求不等式的解集． 【变式11-3】．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数． 材料2：求方程的正整数解． 解：由已知得：……① 设（为整数），则……②   把②代入①得：． 所以方程组的解为 ， 根据题意得：． 解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3． 所以方程的正整数解是：，，． 根据以上材料回答下列问题： （1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）； （2）仿照上面的方法，求方程的正整数解； （3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程） 考点十二:程序框图 例12．某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作．若程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 ． 【变式12-1】．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 【变式12-2】．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】．如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 考点十三:一元一次不等式组的实际应用 例13．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【变式13-1】．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 【变式13-2】．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？ 【变式13-3】．龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表： 甲果园 乙果园 A仓库 150元/吨 140元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为元，元． (1)求出，的函数关系式； (2)甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值． 考点十四:一元一次不等式组的几何应用 例14．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长为a，则a的取值范围是 ； (2)能围成一条边是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由． 【变式14-1】．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】．如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 一、单选题 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则图中显示出来的某药品质量的范围m在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的整数解的和为 (      )． A．1 B．0 C．－1 D．－2 5．若不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为(　　)． A． B． C． D． 7．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．若，则为（    ） A． B． C．或 D． 9．已知关于x的不等式组，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4； ②当a＝1时，它无解； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5； ④如果它有解，那么a≥2． 其中说法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．不等式组的解集是 ． 12．满足的整数是 ． 13．不等式的整数解为 ． 14．若关于x的不等式组恰有3个奇数解，则m可以取到的正整数为 ． 15．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是 ． 16．已知，关于x、y的方程组其中－3≤a≤1，若x≤1，则y的取值范围 ． 17．方程组的解x、y满足条件0＜3x－7y＜1，则k的取值范围 ． 18．如图，，，，，，，，，分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个数，不同的字母表示不同的数，使得分别以正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，那么的值为 ． 三、解答题 19．解下列不等式组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 20．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来； (1)； (2)； (3)； (4)． 21．若关于x的方程的解也是不等式组的解，求m的取值范围． 22．某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ 23．已知关于x、y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x、y均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； (3)在（2）问的条件下，求的最大值和最小值． 24．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 26．如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 经历通过具体问题抽象出不等式组的过程. 2. 理解一元一次不等式组及其解的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法. 3. 掌握相关求参数（范围）问题. 知识点1 一元一次不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 要点： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点2 一元一次不等式组的解法 1. 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点： (1)找各个不等式的解集的公共部分的方法是先将各个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 3. 解一元一次不等式组的方法步骤： 第一步：先分别求出不等式组中各个不等式的解集； 第二步：利用数轴求出这些解集的公共部分； 第三步：写出不等式组的解集的结论． 4. 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中） 知识点3 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数. 考点一:一元一次不等式组的概念 例1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【解析】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【变式1-1】．下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【解析】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【变式1-3】．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 考点二:一元一次不等式组的实际意义 例2．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可． 【解析】解：某日我市最高气温是，最低气温是， 当天气温的变化范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键． 【变式2-1】．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（   ） 用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量． 若每天服用2次，则所需剂量为之间，若每天服用3次，则所需剂量为之间，故一次服用这种药的剂量在之间． 【解析】解：若每天服用2次，则所需剂量在之间，若每天服用3次，在所需剂量在之间， ∴依次服用这种药的剂量在之间， ∴， 故选：D． 【变式2-2】．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量x（元）所在的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“橘子的质量不少于25克且不够35克”，可得出x的取值范围． 【解析】解：由题意得，． 故选B． 【点睛】本题考查了列不等式，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式(不等式中可以含有未知数，也可以不含．)． 【变式2-3】．小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【解析】解：由图可知最低限速60， ， 又自驾游的车属于小客车， 小客车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C 考点三:一元一次不等式组的解法 例3．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 【变式3-1】．解下列方程组或不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题的关键． （1）利用代入消元法即可； （2）分别解出两个不等式的解集，然后得到其公共部分即可． 【解析】（1）方程组 由②得：③ 把③代入①，得 解得： 把代入③，得 所以这个方程组的解是 （2）解不等式，得； 解不等式，得； 所以原不等式组的解集为． 把不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示． 【变式3-2】．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等的基本步骤，准确计算，求出两个不等式的解集． （1）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【解析】（1）解： 解不等式，得， 解不等式 ，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ： ； （2）解： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 【变式3-3】．解下列不等式组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）无解；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：（1） 由①得：x＞2， 由②得：x≤-1， ∴不等式组无解． （2） 由①得： x≥3， 由②得：x＞4， ∴不等式组的解集为x＞4． （3） 由①得：x＞-1， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （4） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （5） 由①得：x＜1， 由②得：x＞0， ∴不等式组的解集为． （6） 由①得：， 由②得：x＜4， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考点四:判断解集的表示、解法步骤的正误 例4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组并在数轴上正确表示出解集是关键；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解答：解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 故选：C． 【变式4-1】．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解析】解：由不等式组， 解不等式，可得， 解不等式，可得， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为：． 故选：C． 【变式4-2】．下列说法正确的是（    ） A．不等式组的解集是 B．不等式组的解集是 C．不等式组的解集是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，分别求出不等式组的解集，再判断即可． 【解析】因为不等式组的解集是，所以A不正确； 因为不等式组无解，所以B不正确； 因为不等式组的解集是，所以C正确； 因为不等式组无解，所以D不正确． 故选：C． 【变式4-3】．解不等式（组） (1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据是解题的关键． （1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得． （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可． 【解析】（1）解：错误的步骤有①②⑤， 正确解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 由①得；   由②得； ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 考点五:一元一次不等式组的整数解及求参数 例5．解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【解析】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 【变式5-1】．求不等式组的非负整数解． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解析】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2 【变式5-2】．已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、一元一次不等式组的整数解等知识点，由不等式组解集的条件和三角形的三边关系得到a的范围是解题的关键． 由不等式组至少有2个整数解和三角形的三边关系得到a的范围，进而确定所有符合条件a的值，最后求和即可． 【解析】解：， 由①得， 由②得 ∵不等式组至少有2个整数解 ∴，即 ∵存在以，，为边的三角形 ，即 ∴满足条件的a的整数解是， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：30． 【变式5-3】．已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数： （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据只有4个整数解列出不等式组求解即可； （2）先求出不等式组的解集为 ，再根据只有4个整数解得到，解得，则，再讨论的范围并建立不等式组求解即可． 【解析】（1）解；当时，原不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解， ∴， ∴； （2）解：当时，原不等式组为 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解 ∴不等式组的解集为 ， ， 解得， 当，即时， 必须满足， 解得； 当，即时， 必须满足， 解得． 综上所述，． 考点六:解m＜ax+b＜n型不等式组 例6．计算下列不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【解析】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式6-1】．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【解析】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 【变式6-2】．满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组的整数解，先求得不等式组的解集，进而可求解． 【解析】解：解不等式组，得， ∴该不等式组的整数解为4， 故选：B． 【变式6-3】．关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【解析】解：， ∴， ∵关于x的不等式有5个整数解， 即2,3，4，5，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点七:解绝对值不等式 例7．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）；     （2）． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1． 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得． 【解析】解：（1）|x+1|≤2， ①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2， 解这个不等式，得：x≤1 由条件x≥-1，有：-1≤x≤1； ②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2 解这个不等式，得：x≥-3 由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1 ∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1． （2）|x-2|≥1 ①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1 解这个不等式，得：x≥3 由条件x≥2，有：x≥3； ②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1， 解这个不等式，得：x≤1， 由条件x＜2，有：x≤1， ∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 【变式7-1】．解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可． 【解析】（1） 当时，则，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，或； （2） 当，即时，，解得， ， 当时，则，解得， ， 综上，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键． 【变式7-2】．解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【解析】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 【变式7-3】．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【解析】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 考点八:有解、无解问题 例8．若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．掌握求不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中间跨，大大小小无处找．要求出a的值，首先分别求出这两个不等式解，最后根据不等式组无解的情况来确定a的值． 【解析】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵若不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式8-1】．含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【解析】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 【变式8-2】．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解． 【解析】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 【变式8-3】．已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 【解析】解：解方程组， ①②得，即， ， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 又关于的不等式组无解， ， 解得：， 即， 所有符合条件的整数为：2、3、4， 所有符合条件的整数和为9． 故答案为：9． 考点九:根据解集求参数(范围) 例9．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集，即可求得答案． 【解析】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴，解得， 故答案为：． 【变式9-1】．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【解析】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 【变式9-2】．已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之即可得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，“熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【解析】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的解集为， ∴，解得： ∴ 【变式9-3】．若两个方程的解都是关于的不等式组的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先解一元一次方程得出，根据题意得到，解不等式组，即可求解． 【解析】根据题意，得不等式组的解集为． 因为方程的解分别为， 所以 解得． 故答案为：． 考点十:一次方程组与不等式组（求参问题） 例10．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【解析】（1）解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； （2）， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； （3），， ， ， ， ． 【变式10-1】．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【解析】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 【变式10-2】．若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等组和二元一次方程组，及其整数解，熟练掌握解一元一次不等组和二元一次方程组的方法是解题的关键． 【解析】由不等式组 可得， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴这四个整数解为： ， 解得：， 由 可得， ∵关于x、y的二元一次方程组有整数解， ∴或， ∴符合条件的所有m的和是 故答案为： 【变式10-3】．若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组和二元方程组的解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况求出的范围，再将两个方程相加，求出的范围，进而确定整数的值，相乘即可． 【解析】解：由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵ ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴整数， ∴； 故答案为：360． 考点十一:解特殊的不等式组 例11．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②， 解①得 ；解②得， ∴原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题：写出不等式的解集． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据“异号两数相乘，积为负”得出两个不等式组是解此题的关键．首先根据“异号两数相乘，积为负”得出两个不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【解析】解：， 根据“异号两数相乘，积为负”可得：① 或 ②， 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式的解集为或． 【变式11-1】．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”， 可得①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 不等式的解集为或． 请你仿照上述方法，解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“异号两数相乘，积为负”，将不等式转换为不等式组，求解即可； （2）根据“同号两数相除，商为正”，将不等式转换为不等式组，求解即可． 【解析】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”， 可得①或② 解不等式组①，得不等式组无解， 解不等式组②，得， 不等式的解集为． （2）根据“同号两数相除，商为正”， 可得①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 不等式的解集为或． 【变式11-2】．自学下面材料后，回答问题： 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式 如：；等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： ①若，，则；若，，则； ②若，，则；若，，则． (1)①若，则，或； ②若，则 ； (2)由（1），求不等式的解集； (3)试求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）②根据两数相除，异号得负解答； （2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可； （3） 先根据异号得负把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【解析】（1）解：根据阅读，可以知道，，所以，a、b异号， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴或， 解得； 解得无解， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴或 解得无解； 解得， ∴． 【变式11-3】．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数． 材料2：求方程的正整数解． 解：由已知得：……① 设（为整数），则……②   把②代入①得：． 所以方程组的解为 ， 根据题意得：． 解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3． 所以方程的正整数解是：，，． 根据以上材料回答下列问题： （1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）； （2）仿照上面的方法，求方程的正整数解； （3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程） 【答案】（1）①⑥；（2），，；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根 【分析】（1）依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除c，从而来判断是否有整数解； （2）依据材料2的解题过程，即可求得结果； （3）根据题意，设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）．则可得关于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整数解，即可得出结论． 【解析】解：（1）① ，因为3，9的最大公约数是3，而11不是3的整倍数，所以此方程没有整数解； ② ，因为15，5的最大公约数是5，而70是5的整倍数，所以此方程有整数解； ③ ，因为6，3的最大公约数是3，而111是3的整倍数，所以此方程有整数解； ④ ，因为27，9的最大公约数是9，而99是9的整倍数，所以此方程有整数解； ⑤ ，因为91，26的最大公约数是13，而169是13的整倍数，所以此方程有整数解； ⑥ ，因为22，121的最大公约数是11，而324不是11的整倍数，所以此方程没有整数解； 故答案为：① ⑥．                                                 （2）由已知得：．  ① 设(为整数)，则． ②                 把②代入①得：． 所以方程组的解为．                                             根据题意得：， 解不等式组得：＜＜． 所以的整数解是-2，-1，0．                                     故原方程所有的正整数解为：，，．         （3）设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）．     根据题意得：．                                     所以． 设(为整数)，则． ∴．                 根据题意得：，解不等式组得：． 所以的整数解是1，2，3，4．                                  故所有的正整数解为： ，，，． 答：有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根． 【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的整数解，理解题意，并掌握利用一元一次不等式组求二元一次方程的整数解的方法及是解题的关键． 考点十二:程序框图 例12．某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作．若程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次即停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解析】解：根据题意得：， 解得：， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式12-1】．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次不等式组，根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【解析】解：由题意得： 解不等式①得， 解不等式②得，， 则x的取值范围是． 故选：B． 【变式12-2】．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，看懂题意是解题的关键． 【解析】解：由题意得，， 解得， 故选：． 【变式12-3】．如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 【答案】 77 4 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次不等式组的应用； （1）根据程序运行规则，将，，代入，进行计算即可求解； （2）根据运算进行了3次才停止，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围． 【解析】解：（1）当，， ， 继续计算：，输出； 故答案为：77． （2）依题意， 解得： ∴m可取的最大整数为4， 故答案为：4． 考点十三:一元一次不等式组的实际应用 例13．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？ 【答案】有26本书，6个学生 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设有个学生，根据“每人分3本，还余8本”用含的代数式表示出书的本数；再根据“每人分5本，最后一人就分不到2本”列不等式． 【解析】解：设有个学生，那么共有本书，由题意得： ， 解得， 所以，共有本． 答：有26本书，6个学生． 【变式13-1】．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做1件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做1件，那么8天所做的零件总数不足99件．这个工人计划每天做多少件零件？ 【答案】这个工人计划每天做12件或13件零件 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据题意列出不等式组，求出解集，再判断整数解即可． 【解析】解：设这个工人计划每天做x个零件，根据题意，得 ， 解得， 则或13， 所以这个工人计划每天做12或13个零件． 【变式13-2】．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和销售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于5040元，且销售完所有商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？ 【答案】(1)甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件 (2)共有3种购货方案 【分析】（1）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据“该商店购进甲、乙两种商品共180件，且计划销售完这批商品后能获利1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购货方案． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【解析】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 依题意得：， 解得：． 答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进80件． （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为61，62，63， 共有3种购货方案， 方案1：购进甲种商品61件，乙种商品119件； 方案2：购进甲种商品62件，乙种商品118件； 方案3：购进甲种商品63件，乙种商品117件． 【变式13-3】．龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表： 甲果园 乙果园 A仓库 150元/吨 140元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为元，元． (1)求出，的函数关系式； (2)甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元 【分析】本题考查了一次函数的应用和实际问题的最值问题， （1）设甲果园运往A冷库的水蜜桃重量为x吨，则运往B仓吨，乙农户运往A仓库的水蜜桃重量为吨，运往B仓吨，根据费用等于吨数乘以每吨的费用，即可写出函数解析式； （2）根据自变量x的取值范围，及总运费W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质得出当时，W最小求解即可； 【解析】（1）解：由从甲果园运往A仓库的水蜜桃为x吨，可得从甲果园运往B仓库吨，乙果园运往A仓库吨，乙果园运往B仓库吨， 根据题意：， ， ∴，； （2）∵甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费， ∴， 解得， 设两地运费之和为W元，由题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，， ∴甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元． 考点十四:一元一次不等式组的几何应用 例14．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长为a，则a的取值范围是 ； (2)能围成一条边是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为， 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． （1）设等腰三角形的一边长为x厘米，则腰长为2x厘米，进而根据题意可列不等式组求解即可； （2）由题意可分当5cm为该等腰三角形的腰长和为底边长进行分类求解即可． 【解析】（1）解：腰长为a，则底边长为，由题意得： ， 解得：， ∴故答案为：； （2）解：由题意可分： ①当为该等腰三角形的腰长时，则底边长为， ∵， ∴不符合三角形三边关系； ②当为该等腰三角形的底边长时，则腰长为， ∵， ∴符合三角形的三边关系， 综上所述：能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，． 【变式14-1】．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【解析】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 【变式14-2】．如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接．根据等边三角形的性质可知，根据三角形外角的性质可知，得出的取值范围，即可求解． 【解析】解：如图，连接． 是等边三角形， ， ，， ， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是求出的取值范围． 【变式14-3】．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】(1)3 (2)2或3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键． （1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题 （2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【解析】（1）解：如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与为积等三角形， ∴．，即， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 一、单选题 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解析】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 3．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则图中显示出来的某药品质量的范围m在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形中天平列出不等式，表示在数轴上即可 【解析】解：根据题意得：2＜m＜3， 表示在数轴上为， 故选：A． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4．不等式组的整数解的和为 (      )． A．1 B．0 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】分别求出不等式组的解集，然后在解集中选择整数解，求出其和即可． 【解析】解：由题意知：， 解(1)得：x>-1， 解(2)得：x≤1， 故不等式组的解集为：-1＜x≤1， 其整数解为：0和1，它的和为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 5．若不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组的解集可直接进行排除选项． 【解析】解：由不等式组恰有3个整数解，分别为， 则有的取值范围是； 故选D． 【点睛】本题主要考查不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 6．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为(　　)． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 解方程组得：， ∵x≥0，y＞0， ∴， ∴－2≤m＜3． 故选C． 【点睛】本题关键在于解出方程组，再由已知条件构造出关于m的不等式组． 7．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先整理不等式组的解集为，根据“大大小小”无解，可得出a的取值范围． 【解析】∵ ∴ ∵不等式组无解，即无解 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查不等式组无解问题，熟记“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小取不到”是解题的关键． 8．若，则为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据x取非负数或负数两种情况来解不等式，因此得到两种结果． 【解析】当x为非负数时，不等式组的解为 当x为负数时，∵ ∴ ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查含绝对值不等式组的求解，掌握x取值的两种情况是本题解题关键． 9．已知关于x的不等式组，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4； ②当a＝1时，它无解； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5； ④如果它有解，那么a≥2． 其中说法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可． 【解析】解：由x﹣1＞0得x＞1， 由x﹣a≤0得x≤a， ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确； ②当a＝1时，它无解，此结论正确； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确； ④如果它有解，那么a＞1，此结论错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为”，得出除了点外，其它个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段上，从而求出的取值范围． 【解析】解：∵点在点的右侧， ∴， 解得：， 记边，，所围成的区域（含边界）为区域，则落在区域的横纵坐标都为整数的点个数为个， ∵点，，的坐标分别是，，， ∴区域的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点， ∴已知的个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上， ∵点的横纵坐标都为整数且在区域的边界上， ∴其他的个都在线段上，如图， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 故选：B．    【点睛】本题考查坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的个点存在于线段AB上是解题的关键． 二、填空题 11．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：； 所以不等式组的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12．满足的整数是 ． 【答案】，1/， 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，不等式的意义，解题的关键是理解题意，根据，写出满足条件的整数即可． 【解析】解：满足的整数是，1． 故答案为：，1． 13．不等式的整数解为 ． 【答案】13，14，15，16，17 【分析】根据不等式的求解方法进行求解不等式，在进行整数解的求解； 【解析】∵， 得，故其整数解为13，14，15，16，17． 故答案为：13，14，15，16，17． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解和整数解的求解，准确计算是解题的关键． 14．若关于x的不等式组恰有3个奇数解，则m可以取到的正整数为 ． 【答案】6和7 【分析】先解不等式组，找到的范围，根据恰有3个奇数解，从而确定可以取到的正整数． 【解析】解：原不等式组 可化为， ∴不等式的解集为， ∵不等式组有3个奇数解，则应分别为1、3、5， ∴， 则可取6和7， 故答案为：6和7 【点睛】本题考查了不等式组的解集，熟练解不等式，适当借助数轴是解题的关键． 15．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】-＜m≤4 【分析】解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为非正数，y为负数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围． 【解析】解：解方程组得， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得-＜m≤4； ∴m的取值范围是-＜m≤4． 故答案为：-＜m≤4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解． 16．已知，关于x、y的方程组其中－3≤a≤1，若x≤1，则y的取值范围 ． 【答案】1≤y≤4 【分析】先解出关于x、y的方程组，得出y用含a，x的式子表示，再根据a，x的取值列出关于y的不等式组，再解出解集即可． 【解析】 ①×3＋②得4x＝－8y＋12，解得x＝－2y＋3； －②得，－4a＝4y－4，解得a＝－y＋1， ∵－3≤a≤1，x≤1， ∴ 解得1≤y≤4． 故答案为1≤y≤4． 【点睛】此题主要考查不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组． 17．方程组的解x、y满足条件0＜3x－7y＜1，则k的取值范围 ． 【答案】＜k＜ 【分析】将两个等式相减，可得3x－7y＝3k－4，再根据0＜3x－7y＜1即可解出k的范围. 【解析】解： ①－②，得3x－7y＝3k－4， 则0＜3k－4＜1， 解得＜k＜， 故答案为：＜k＜. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组与不等式的综合，熟知二元一次方程组的解法是解题的关键. 18．如图，，，，，，，，，分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个数，不同的字母表示不同的数，使得分别以正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，那么的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键．先根据得到，利用和列不等式组并求解，得到，进而得到，，再根据正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，可逐步求得， 的值，从而可得答案． 【解析】由题意得， ， ， ， ， ， ， ， 由此可依次求得，，，，，， ． 三、解答题 19．解下列不等式组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）无解；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：（1） 由①得：x＞2， 由②得：x≤-1， ∴不等式组无解． （2） 由①得： x≥3， 由②得：x＞4， ∴不等式组的解集为x＞4． （3） 由①得：x＞-1， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （4） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （5） 由①得：x＜1， 由②得：x＞0， ∴不等式组的解集为． （6） 由①得：， 由②得：x＜4， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)-1＜x≤2，数轴见解析 (4)x≤-10，数轴见解析 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，然后把x的系数化为1，最后在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，然后把x的系数化为1，最后在数轴上表示即可； （3）分别计算出两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示； （4）分别计算出两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示； 【小题1】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 在数轴上表示为： 【小题2】， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 在数轴上表示为： 【小题3】， 由①得：x＞-1， 由②得：x≤2， 不等式组的解集为：-1＜x≤2， 在数轴上表示为： 【小题4】， 由①得：x＜-4， 由②得：x≤-10， 不等式组的解集为：x≤-10， 在数轴上表示为： 【点睛】此题主要考查了不等式、不等式组的解法，以及不等式组解集在数轴上的表示方法，利用数形结合得出不等式组的解集是解题关键． 21．若关于x的方程的解也是不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】2 < m6 【分析】先求出关于x的方程的解，然后根据不等式组的解集，即可确定出m的范围． 【解析】解： 去括号得：2x－m=3x－3 解得：x=3－m； 解不等式①得：x<1 解不等式②得：x≥－3 ∴不等式组的解集为：-3x<1； ∵x=3－m， ∴－33－m<1， 解得：2<m6． ∴m的取值范围是2<m6． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ 【答案】共有三种方案：①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆；②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆；③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．首先根据题意列出不等式组，解出的取值范围，最后确定的取值，进而确定出具体方案． 【解析】解：设安排辆甲型汽车，安排辆乙型汽车， 由题意得， 解得， 整数可取8、9、10． 共有三种方案： ①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆； ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆； ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆． 23．已知关于x、y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x、y均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； (3)在（2）问的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1)5 (2)2 (3)的最小值为－3，最大值为9 【分析】（1）先解二元一次方程组，求出解，结合，求得m的值； （2）结合（1）求得的x，y，根据x，y，m均为非负数，列出不等式组，求解即可； （3）结合（1）求得的x，y，代入代数式中，再根据（2）中的范围，求得代数式的最值即可． 【解析】（1）解： ①－②得： ③ 把③代入②， ④ 把③和④代入， ，． ∴的值为5． （2）解：∵x，y，m均为非负数， ∴ ∴． ∴， ， =2． （3）解：把，入， ∴， ， ， ∵， ∴． ∴ 答：的最小值为－3，最大值为9． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的应用、一元一次不等式组以及代数式求最值，熟练掌握有关知识和解法是解题的关键． 24．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)至少购买甲型设备12台 (3)最省钱的购买方案为购买甲型设备13台，乙型设备2台 【解析】（1）根据题意，得解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 ，解得． 答：至少购买甲型设备12台． （3）根据题意，得． 解得， 的取值为12或13． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备12台，乙型设备3台，所需资金为（元） 方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台，所需资金为（元）． ，方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备13台，乙型设备2台． 25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【解析】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 26．如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 【答案】(1)①；② (2)①点坐标为或；② 【分析】（1）①根据可得点坐标，即可得出坐标，待定系数法即可求直线的解析式；②联立两条直线解析式，即可得到点，将分别代入两条直线解析式即可求出点，点，再根据，即可求解． （2）①设点，根据轴，可得点，分别讨论当点在点上方，当点在点上方两种情况即可得出点坐标；②由上可得，分别讨论和两种情况下，的不等式解集，再将可取的整数分别代入点中，即可得符合要求点个数． 【解析】（1）解：①对于直线，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 将代入直线中，可得， 解得：， 故直线的解析式为． ②联立直线和直线，即， 解得， ∴点为， 将分别代入和中，即，， 解得：，， ∴点为，点为， ∴， ∴． （2）解：①设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点坐标为或． ②由上可得， 当时，即时，， ∵ ∴ 解得： 当时，即时，， ∵， ∴， 解得：， ∴在和的范围内，可取的整数有， ∵点坐标为， ∴当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴整点的坐标有，，，， ∴符合条件的整点的个数为个． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数与二元一次方程组，不等式组解集的整数解，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$