专题04 线段与角（考点串讲，8大考点+8大题型突破+3大易错+押题预测）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

六年级数学上学期·期末复习大串讲 专题04 线段与角 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 八大类型专题突破 三大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 1.线段的大小比较 （1）叠合法：如下图所示；用圆规截取. （2）度量法：用刻度尺测量每条线段的长度，再按长度的大小比较线段的大小. 2.线段的性质 3.线段的和、差、倍 4.角 5.角的大小比较：度量法、叠合法 6.画相等的角的方法：度量法、尺规法 7.画角的和、差、倍 8.余角和补角 类型1线段、角的和差关系在计算中的应用 1. 【情境题·方案策略型】如图，某公司员工住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有15人， C 区有10人.三个住宅区在同一条直线上，为接送员工方便，公司打算在三个住宅区的某区设一个班车停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站的位置应设在哪个区？ 题型剖析 解：当停靠站设在 A 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×0＋15×100＋10×(100＋200)＝4 500(m). 当停靠站设在 B 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×100＋15×0＋10×200＝5 000(m). 当停靠站设在 C 区时，所有员工步行到停靠站的路程之和为 30×(100＋200)＋15×200＋10×0＝12 000(m). 因为4 500＜5 000＜12 000，所以停靠站的位置应设在 A 区. 2. [2024淮北第二中学月考]如图，已知∠ BOC ＝3∠ AOB ， OD 平分∠ AOC ，且∠ BOC ＝120°，求∠ BOD 的度数. 解：因为∠ BOC ＝3∠ AOB ，∠ BOC ＝120°， 所以∠ AOB ＝ ×120°＝40°. 所以∠ AOC ＝∠ AOB ＋∠ BOC ＝120°＋40°＝160°. 因为 OD 平分∠ AOC ， 所以∠ AOD ＝ ×∠ AOC ＝ ×160°＝80°. 因为∠ BOD ＝∠ AOD －∠ AOB ， 所以∠ BOD ＝80°－40°＝40°. 类型2线段、角的倍分关系在计算中的应用 3. 【新考法·分类讨论法】如图所示，数轴上有两点 A ， B ，动点 P 从点 O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 t 秒. (1)线段 AB 的长为 ⁠； 8　 (2)当 t ＝1时，线段 PA 的长是 ；此时线段 PA 与线段 PB 的数量关系是 ⁠； 4　 相等　 (3)当 PA ＝2 PB 时，求 t 的值. 解：(3)如图①，当点 P 在点 B 左侧时， ① 根据题意可得，2 t ＋2＝2(6－2 t )，解得 t ＝ . 如图②，当点 P 在点 B 右侧时， ② 根据题意可得，2 t ＋2＝2(2 t －6)，解得 t ＝7. 综上， t 的值为 或7. 4. [2024烟台期末]如图，将直角三角板 OMN 的直角顶点 O 放在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AON . (1)当∠ BON ＝60°时，求∠ COM 的度数； 解：(1)30°. (2)若∠ AOM ＝2∠ COM ，求∠ AON 的度数. 解：(2)135°. 类型3线段的中点在计算中的应用 5. [2024温州一模]已知点 C 为线段 AB 上一动点，点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点. (1)如图，若线段 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，求线段 DE 的长； 解：(1)因为 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm， 所以 BC ＝ AB － AC ＝6(cm). 因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点， 所以 CE ＝ CB ＝3 cm， DC ＝ AC ＝2 cm， 所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝2＋3＝5(cm). (2)若线段 AB 的长为 a ，则线段 DE 的长为 (用含 a 的代数式表示). 点拨：因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，所以 CE ＝ CB ， DC ＝ AC . 因为 AB ＝ a ，所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝ ( AC ＋ BC ) ＝ ＝ . 　 6. [2024西安高新区一模]如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部分为 BD ，且 BD ＝ AB ＝ CD ，线段 AB ， CD 的中点 E ， F 之间距离是20，求 AB ， CD 的长. 解：设 BD ＝ x ，则 AB ＝3 x ， CD ＝4 x ， AC ＝6 x . 因为点 E ， F 分别为 AB ， CD 的中点， 所以 AE ＝ AB ＝1.5 x ， CF ＝ CD ＝2 x .　 所以 EF ＝ AC － AE － CF ＝2.5 x .　 因为 EF ＝20，所以2.5 x ＝20，解得 x ＝8. 所以 AB ＝24， CD ＝32. 类型4角平分线在计算中的应用 7. [2024青岛市北区期末]如图，已知∠ AOB ∶∠ BOC ＝3∶2， OD 是∠ BOC 的平分线， OE 是∠ AOC 的平分线，且∠ BOE ＝12°，求∠ DOE 的度数. 解：36°. 8. 【新趋势·学科内综合】已知：∠ AOB ＝120°，∠ COD ＝90°， OE 平分 ∠ AOD . (1)如图①，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 内部时，若∠ COE ＝40°，求∠ BOD 的度数； 解：(1)因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝40°， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－40°＝50°. 因为 OE 平分∠ AOD ，所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝100°. 因为∠ AOB ＝120°，所以∠ BOD ＝∠ AOB －∠ AOD ＝120°－100°＝20°. (2)如图②，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 外部，且0°＜∠ BOD ＜60°时， 设∠ COE ＝α，∠ BOD ＝β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明. 解：(2)数量关系：2α＋β＝60°. 证明：因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝α， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－α. 因为 OE 平分∠ AOD ， 所以∠ AOD ＝2∠ DOE ＝2(90°－α)＝180°－2α. 因为∠ AOB ＝120°， 类型五 分类讨论思想在线段和角的计算中的应用 9. [2024成都期末]点 O 为数轴的原点，点 A ， B 在数轴上的位置如图所示，点 A 表示的数为5，线段 AB 的长为线段 OA 长的1.2倍.点 C 在数轴上， M 为线段 OC 的中点. (1)点 B 表示的数为 ⁠； (2)若线段 BM 的长为4.5，则线段 AC 的长为 ⁠； －1　 2或16　 (3)若线段 AC 的长为 x ，求线段 BM 的长(用含 x 的式子表示). 解：(3)①当点 C 在点 A 的右侧(或重合)时，如图， 则点 C 表示的数为5＋ x .因为 M 为线段 OC 的中点， 所以点 M 表示的数为 .所以 BM ＝ －(－1)＝ . ②当点 C 在点 A 的左侧时，点 C 表示的数为5－ x ， 所以点 M 表示的数为 . ⅰ)若点 M 在点 B 的右侧(或重合)，如图②，则 BM ＝ －(－1)＝ . ② ⅱ)若点 M 在点 B 的左侧，如图③，则 BM ＝－1－ ＝ . ③ 10. [2024怀化模拟]如图，已知点 O 在直线 AB 上，作射线 OC ，点 D 在平面内，∠ BOD 与∠ AOC 互余. (1)若∠ AOC ∶∠ BOD ＝4∶5，则∠ BOD ＝ ⁠； 50°　 (2)若∠ AOC ＝α(0°＜α≤45°)， ON 平分∠ COD ，补全图形，求出∠ AON 的值(用含α的式子表示). 解：(2)因为∠ BOD 与∠ AOC 互余， 所以∠ BOD ＋∠ AOC ＝90°. 当点 D 在∠ BOC 内，0°＜α≤45°时，补全图形如图①. 则易知∠ COD ＝90°. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°. 所以∠ AON ＝α＋45°. ① ② 当点 D 在∠ BOC 外，0°＜α≤45°时，补全图形如图②. 易知∠ BOD ＝90°－α. 因为∠ AOB ＝180°， 所以∠ AOD ＝180°－(90°－α)＝90°＋α. 所以∠ COD ＝90°＋2α. 因为 ON 平分∠ COD ，所以∠ CON ＝45°＋α. 所以∠ AON ＝∠ CON －∠ AOC ＝45°. 综上所述，∠ AON 的值为45°或α＋45°. 类型六 方程思想在线段和角的计算中的应用 11. [2024北京朝阳区期末]如图，点 C 把线段 MN 分成两部分，其比为 MC ∶ CN ＝5∶4，点 P 是 MN 的中点， PC ＝2 cm，求 MN 的长. 解：因为 MC ∶ CN ＝5∶4， 所以设 MC ＝5 x cm，则 CN ＝4 x cm. 所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝5 x ＋4 x ＝9 x (cm). 因为点 P 是 MN 的中点， 所以 PN ＝ MN ＝ x (cm). 因为 PC ＝ PN － CN ， 所以 x －4 x ＝2，解得 x ＝4. 12. 如图，已知 AB 为一条直线， O 是 AB 上一点， OC 平分∠ AOD ， OE 在 ∠ BOD 内，∠ DOE ＝ ∠ BOD ，∠ COE ＝75°.求∠ EOB 的度数. 解：设∠ AOD 的度数为 x °，则∠ BOD ＝(180－ x )°. 因为 OC 平分∠ AOD ，∠ DOE ＝ ∠ BOD ， 所以∠ COD ＝ ∠ AOD ＝ °，∠ DOE ＝ (180－x )°. 又因为∠ COE ＝∠ COD ＋∠ DOE ＝75°， 所以 ＋ ＝75，解得 x ＝90. 所以∠ BOD ＝90°.所以∠ DOE ＝30°. 所以∠ EOB ＝∠ BOD －∠ DOE ＝60°. 类型七 整体思想在线段和角的计算中的应用 12. 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点. (1)如果 AB ＝10 cm， AM ＝3 cm，求 CN 的长； 解：(1)因为 M 是 AC 的中点，所以 AC ＝2 AM . 因为 AM ＝3 cm，所以 AC ＝2×3＝6(cm). 因为 AB ＝10 cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝10－6＝4(cm). (2)如果 MN ＝6 cm，求 AB 的长. 解：(2)因为 M 是 AC 的中点，所以 MC ＝ AC . 因为 N 是 BC 的中点，所以 CN ＝ CB . 所以 MN ＝ MC ＋ CN ＝ AC ＋ CB ＝ ( AC ＋ CB )＝ AB . 又因为 MN ＝6 cm，所以 AB ＝2×6＝12(cm). 13. [2024苏州二模]已知， OM 和 ON 分别平分∠ AOC 和∠ BOC . (1)如图，若 C 为∠ AOB 内一点，探究∠ MON 与∠ AOB 的数量关系； 解：(1)∠ MON ＝ ∠ AOB . (2)若 C 为∠ AOB 外一点，且 C 不在 OA ， OB 的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠ MON 与∠ AOB 的数量关系. 解：(2)当 C 在如图①所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB . 当 C 在如图②所示的位置时，∠ MON ＝ ∠ AOB . 当 C 在如图③所示的位置时，∠ MON ＝180°－ ∠ AOB . ① ② ③ 类型八 特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用 14. [2024济宁期末]探究题：如图，已知线段 AB ＝12 cm，点 C 为 AB 上的一个动点，点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点.(1)若点 C 恰好是 AB 的中点，则 DE ＝ cm； 6　 (2)若 AC ＝4 cm，求 DE 的长； 解：(2)因为 AB ＝12 cm， AC ＝4 cm，所以 BC ＝8 cm. 因为点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点， 所以 CD ＝ AC ＝2 cm， CE ＝ BC ＝4 cm.所以 DE ＝ CD ＋ CE ＝6 cm. (3)试利用“字母代替数”的方法，设 AC ＝ a cm，请说明不论 a 取何值( a 不超过12 cm)， DE 的长不变. 解：(3)因为 AC ＝ a cm，所以 BC ＝ AB － AC ＝(12－ a ) cm.因为点 D ， E 分别是 AC 和 BC 的中点， 所以 CD ＝ AC ＝ cm， CE ＝ BC ＝ cm. 所以 DE ＝ CD ＋ CE ＝6 cm. 所以不论 a 取何值( a 不超过12 cm)， DE 的长不变. 15. 刘星对几何中的角平分线兴趣浓厚，请你和他一起探究下面的问题.已知∠ AOB ＝100°，射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线. (1)如图①，若射线 OC 在∠ AOB 的内部，且∠ AOC ＝30°，求∠ EOF 的度数； 解：(1)因为∠ AOB ＝100°，∠ AOC ＝30°， 所以∠ BOC ＝∠ AOB －∠ AOC ＝70°. 因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线， 所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ＝15°，∠ FOC ＝ ∠ BOC ＝35°. 所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝15°＋35°＝50°. (2)如图②，若射线 OC 在∠ AOB 的内部绕点 O 旋转，求∠ EOF 的度数； 解：(2)因为射线 OE ， OF 分别是∠ AOC 和∠ COB 的平分线， 所以∠ EOC ＝ ∠ AOC ，∠ FOC ＝ ∠ BOC . 所以∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°. (3)若射线 OC 在∠ AOB 的外部绕点 O 旋转(旋转过程中∠ AOC ，∠ BOC 均小于180°)，其余条件不变，请借助图③探究∠ EOF 的大小. 解：(3)①当射线 OE ， OF 只有1条 在∠ AOB 的外部时，如图①， 则∠ EOF ＝∠ FOC －∠ COE ＝ ∠ BOC － ∠ AOC ＝ (∠ BOC －∠ AOC )＝ ∠ AOB ＝ ×100°＝50°. ②当射线 OE ， OF 都在∠ AOB 的外部时，如图②， 则∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ COF ＝ ∠ AOC ＋ ∠ BOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC ) ＝ (360°－∠ AOB ) ＝ ×260°＝130°. 易错点一：对有关概念理解不透彻 1.下列说法正确的有( ） ①延长射线 OA 到点 C; ②连接两点的线段,叫作这两点间的距离: ③锐角和钝角互补: ④如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等 A 正解:①射线向一方无限延伸，所以“延长射线 0A 到点C”的说法错误; ②“距离”是“线段的长度”不是线段,所以此说法错误; ③互补的两个角可能是一个锐角和一个钝角,但不是任何一个锐角和一个钝角都互补此说法错误: ④同角的余角相等，此说法正确.故选 A. 易混易错 易错点二：角度换算错误 2.比较大小:14°15 14.15°( 填“>”“<”或“=”） 正解:14°15'=14.25°。因为 14.25°＞14.15°，所以 14°15'>14.15°，故答案为>。 易错点三：没有分类讨论导致漏解 3.己知射线 OA,若从点O引两条射线OB,OC,使∠AOB=50°，∠BOC=20°， 求∠AOC 的度数。 正解:①当 OC 在∠AOB 的外部时，如图①, ∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+20°=70°: ②当OC 在∠AOB的内部时，如图②， ∠AOC=∠A0B-∠BOC=50°-20°=30°. 综上所述，∠AOC 的度数为 70°或30° 1.（2024春•杨浦区期末）已知线段AB、CD，AB＜CD，如果将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，这时点B的位置必定是( ____ ) A.点B在线段CD上(C、D之间) B.点B与点D重合 C.点B在线段CD的延长线上 D.点B在线段DC的延长线上 【解析】解：将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，,AB与CD叠合如图， _______________ ∴点B在线段CD上(C、D之间)， 故选：A． A 押题预测 2.（2024春•宝山区期末）已知轮船A在码头的北偏东30°方向上，则码头在轮船A的 ( ____ ) A.北偏东60°方向上 B.南偏西30°方向上 C.南偏西60°方向上 D.南偏东30°方向上 【解析】解：如图所示： B 码头在轮船A的南偏西30°方向上． 故选：B． 3.（2024春•宝山区校级期末）钟面上时间正好是下午1时20分，此时时针与分钟的夹角为 _____ ． 【解析】解：如图，由钟面角的定义可知， ∠AOC=∠COD=∠DOE= =30°， ∠AOB=30°× =10°， ∴∠BOE=30°×3-10°=80°， 即1时20分，时针与分钟的夹角为80°， 故答案为：80°． 80° 4.（2023春•长宁区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数． 【解析】解：设这个角的度数为x°， 2(180-x)-(90-x)=4x. 解得x=54． 所以这个角的度数是54°． 5.（2023春•杨浦区期末）如图，已知点C在线段AB上，AC=2BC，且AB=2BD，若AB=15厘米，求CD的长． 【解析】解：因为AC=2BC，AB=15， 所以AC= =10． 因为AB=2BD，AB=15， 所以BD=AD= = ． 所以CD=AC-AD= ． 6.（2023春•普陀区期末）定义：如果两个角的度数的和是45°，那么这两个角叫做互为半余角．其中一个角称为另一个角的半余角．例如：∠α=20°，∠β=25°，因为∠a+∠β=45°，所以∠α和∠β互为半余角． (1)如果∠α=26°32′，∠β是∠α的半余角，那么∠β的度数是 _________ ． (2)如图，已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的内部，满足0°<∠BOC<45°，OP是∠AOC的平分线． ①在∠BOP的内部画射线OQ，使∠POQ=45°．并写出图中∠POC的半余角： _______________ ． ②∠COM是∠BOC的半余角，当∠COM是∠POM的 时，求∠BOC的度数． 18°28′ ∠QOC或∠QOB 【解析】解：(1)∵∠α=26°32′，∠β是∠α的半余角， ∴∠β=45°-∠α=18°28′， 故答案为：18°28′； (2)①作∠BOC的平分线OQ，此时∠POQ=45°， ∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC， ∴∠AOP=∠POC= ∠AOC ，∠BOQ=∠COQ= ∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC=90°， ∴∠POQ=∠POC+∠QOC = (∠AOC+∠BOC)= ×90°=45°， ∴∠POC+∠QOC=45°，∠POC+∠QOB=45°， ∴∠POC的半余角为∠QOC或∠QOB， 故答案为：∠QOC或∠QOB； ②设∠BOC 度数为 x,则∠COM 度数为 45°-x， ∠POC= (90°-∠BOC)=(45- ）° ， 如图1，∠POM=∠POC-∠COM =45- -(45-x) = ， 由题意得， ， 解得x= ； 如图2， 由题意得， ， 解得x=30， 所以，∠BOC 度数为( ）°或30°