24.4 直线与圆的位置关系（第2课时 切线的性质和判定）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点 作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理. 3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. 情景导入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 新知探究 A d P d d o o o l l l A A 图（a） 图（b） 图（c） 在图（b）中，当直线 l 与⊙O相切时，切点为A，连接OA．这时，如在直线 l 上任取一个不同于点A的点P，连接OP，因为点P在⊙O外，所以 OP＞OA． 这就是说，OA是点O到直线 l上任一点的连线中最短的，故 OA⊥ l． 概念归纳 于是可得： 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 思 考 1. 如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 2. 如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 课本例题 例2 如图，点 P 为⊙O上任一点，过点 P 作直线 l 与⊙O相切. 作法 1． 连接 OP． 2． 过点 P 作直线 l ⊥OP． 则直线 l 即为所作． l O P 于是可得：切线判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 由作图可知，直线 l 与⊙O有一个公共点 P，若取直线 l 上除点P之外任一点Q，连接OQ，则 OQ＞ OP（斜线大于垂线），所以点Q在圆外． 因此，直线 l 与⊙O 只有一个公共点， 故直线 l 为⊙O的切线 l O P Q 为什么直线l即为所作呢？ 课本例题 例3 已知：如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC.求证：AC是⊙O的切线. B A C · O 证明：∵AB=AC，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴AC是⊙O的切线. 3． 如图，AB 与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为 8cm，AB＝6cm，求OA的长． 解：因为AB与⊙O相切，所以OC ⊥ AB. 因为OA=OB，所以AC= AB. 因为AB=6cm，所以AC=3cm. 因为⊙O的直径是8cm，所以OC=4 cm. 由勾股定理，可知 课堂练习 4． 已知：如图，点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB，垂足为D． 求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切． 证明：过点P作PE⊥AC，垂足为E. 因为点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB， 所以PD=PE. 因为∠BAC的两边PA，PB经过点D，E， 所以以点P为圆心、PD为半径的圆，与∠BAC的两边相切. 5． 已知：如图，直线AB过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：连接OC. 因为OA=OB， 所以OC⊥AB. 因为直线AB过⊙O上的点C，OC是半径， 所以直线AB是⊙O 的切线. 6． 已知：如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上， ∠CAB＝30°． 求证：DC是⊙O的切线． 证明：连接BC，OC. 因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°. 因为∠CAB=30°，所以 BC= AB=OB. 因为OB=BD， 所以∠OCD=90°，即OC⊥CD. 又点C在圆上，CD经过点C，所以DC是⊙O的切线. 分层练习-基础 1．[2024·浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________． 40° 【点拨】∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切， A为切点，∴BA⊥AC.∴∠BAC＝90°. 又∵∠ACB＝50°，∴∠B＝90°－50°＝40°. 故答案为40°. 115 【点拨】如图，连接OC. ∵DC切⊙O于C，∴∠DCO＝90°. 又∵∠D＝40°，∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°. 2 4．[2024·合肥蜀山区二模]如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5则AD＝________． 1.5 【点拨】如图，连接CO. ∵AM＝1，BM＝5， ∴AB＝6.∴OA＝OB＝OC＝3. ∵CD为⊙O的切线，CE⊥AB， ∴∠DCO＝∠CMO＝90°. 5．如图，已知△POM，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线是(　　) A．∠O＋∠P＝90° B．∠O＋∠P＝∠OMP C．OM2＋PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 【点拨】 【答案】 D A ∵∠O＋∠P＋∠OMP＝180°，且∠O＋∠P＝90°，∴∠OMP＝90°.可知PM是⊙O的切线，故不符合题意 B ∵∠O＋∠P＋∠OMP＝180°，且∠O＋∠P＝∠OMP，∴∠OMP＝90°.可知PM是⊙O的切线，故不符合题意 C ∵OM2＋PM2＝OP2，∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°.可知PM是⊙O的切线，故不符合题意 D 点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判定PM是⊙O的切线，故符合题意 6. 如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⊥AB，垂足为H，且∠PCA＝∠ACH，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP＝2. (1)判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由； 【解】PC 是⊙O的切线.理由：如图，连接OC. ∵CH⊥AB，∴∠ACH＋∠OAC＝90°. 又∵∠PCA＝∠ACH，∴∠PCA＋∠OAC＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠PCA＋∠OCA＝90°，即∠PCO＝90°. 又∵OC为⊙O的半径，∴PC 是⊙O的切线. (2)若∠P＝30°，求AC，BC，BD的长． 7．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，DE交BC于点F，下列条件中能判定CE是切线的是(　　) A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECF C．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60° 【点拨】连接OC. ∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°.∴∠B＋∠DFB＝90°. ∵∠EFC＝∠BFD.∴∠B＋∠EFC＝90°. ∵OC＝OB.∴∠OCB＝∠B.∵∠ECF＝∠EFC， ∴∠OCB＋∠ECF＝90°，即∠OCE＝90°.∴OC⊥CE. 又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．故选C. 【答案】 C 【点方法】圆的切线一定是垂直于经过切点的半径的，故此题中要使CE是切线，第一步就要连接OC，构造过切点的半径．对切线判定理解不够透彻就不能够正确作出辅助线． 分层练习-巩固 8. 如图①是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE 交OC于点E，OC交 ⊙O于点D，AD＝CD. 若OA＝3，则CE的长 为________． 【点拨】∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD. ∴∠OAD＝∠ODA＝∠C＋∠CAD＝2∠CAD. ∵AC是⊙O的切线，点A是切点， ∴∠OAC＝90°，即3∠CAD＝90°. ∴∠CAD＝30°.∴∠C＝30°.易得∠BOD＝30°. 9．[2024·宁波一模]如图，△ABC中，∠BAC＝35°，边BC与以AB为直径的⊙O相切于点B，将△ABC绕点A顺时针旋转，记旋转角度为α(0°<α<180°)，旋转过程中，△ABC的边与⊙O相切时，α的值为________． 90°或125° 【点拨】当AB与⊙O相切时， 如图①， 旋转角α的值为90°. 当AC与⊙O相切时，如图②， 此时，旋转角α的值为 90°＋35°＝125°. 故答案为90°或125°. 10．[2024·盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC. (1)求证：△ABC∽△ACD； 【证明】如图，连接OC. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l. ∵AD⊥l，∴∠D＝90°，OC∥AD. ∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB. 又∵∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD. (2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 分层练习-拓展 11. 某种在同一平面进行转动的机械装置如图①，图②是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴 含的数学知识，过点O作OH⊥ l于点H，并测得OH＝4分米， PQ＝3分米，OP＝2分米． 解决问题： (1)点Q与点O间的最小距离是________分米；点Q与点O间的最大距离是________分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是________分米． 4 5 6 【点拨】∵点Q运动到点H时，点Q与点O间的距离最小，OH＝4分米， ∴点Q与点O间的最小距离是4分米. ∵点O，P，Q在一条直线上时，点Q与点O间的距离最大，∴最大距离是OP＋PQ＝2＋3＝5(分米). (2)如图③，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为这个判断对吗？说明理由． 【解】不对．理由如下： 当Q，H重合时，OQ＝OH＝4分米. ∵OP＝2分米，PQ＝3分米，42≠32＋22， 即OQ2≠PQ2＋OP2，∴△QPO不是直角三角形. ∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切. (3)当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数． 【解】∵PQ＝3分米，只有PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，∴在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3分米．此时，OP将不能再向下转动. 如图，连接P′P，交OH于点D，过点P′作P′Q′垂直l. 则OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是扇形P′OP. ∵PQ，P′Q′均与l垂直， 且PQ＝P′Q′＝3分米， ∴四边形PQQ′P′是矩形. ∴易得OH⊥PP′，HD＝PQ＝3分米．∴PD＝P′D. 课堂小结 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC＝________°. ∴的度数是130°.∴的度数是360°－130°＝230°. ∴∠BEC＝×230°＝115°.故答案为115. 3．[2024·漯河一模]如图，直线AB与⊙O相切于点A，过圆上一点C作AB的垂线，垂足为B，垂线段CB交⊙O于另一点D.已知⊙O的半径为4，CD＝4，则线段AB的长为________． 【点拨】如图，过点O作OH⊥CD于H，连接OA，OC， ∴CH＝DH＝CD＝2.∵BA切⊙O于A，∴OA⊥AB. ∵CB⊥AB，∴四边形ABHO是矩形. ∴OH＝AB.∵OC＝4， ∴OH＝＝＝2. ∴AB＝OH＝2.故答案为2. 又∵∠COM＝∠COD，∴△OCM∽△ODC. ∴＝.∴OD＝＝＝4.5. ∴AD＝OD－OA＝4.5－3＝1.5.故答案为1.5. 【解】如图，连接AD. ∵∠PCO＝90°，∠P＝30°，∴∠AOC＝60°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝60°. ∴∠ACP＝∠OAC－∠P＝30°＝∠P. ∴AC＝AP＝2. ∵∠ABC＝∠AOC＝×60°＝30°，∴AB＝2AC＝2×2＝4. ∴BC＝＝＝2. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴＝.∴AD＝BD. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝∠ABD＝45°. ∴BD＝AB·sin45°＝AB＝×4＝2. 6－2 在Rt△AOC中，OA＝3，∠C＝30°， ∴OC＝2OA＝6. 在Rt△BOE中，OB＝3，∠BOE＝30°， ∴OE＝＝2. ∴CE＝OC－OE＝6－2. 故答案为6－2. 【解】∵AC＝5，CD＝4，∠D＝90°， ∴AD＝＝3. ∵△ABC∽△ACD，∴＝. ∴＝.∴AB＝.∴⊙O的半径为. 当点Q滑动到最左端时， ∵OH＝4分米，OQ＝5分米，OH⊥l， ∴HQ＝＝3分米. 同理可得，当点Q运动到最右端时，HQ＝3分米. ∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米.故答案为4；5；6. ∵OP＝2分米，OD＝OH－HD＝1分米， ∴在Rt△ODP中，sin∠OPD＝＝. ∴∠OPD＝30°.∴∠DOP＝60°.∴∠POP′＝120°. ∴这个扇形面积最大时圆心角的度数为120°. $$