24.4 直线与圆的位置关系（第1课时 直线与圆的位置关系）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系. 2. 能根据圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数 量关系，判断出直线与圆的位置关系. (重点) 情景导入 日出的一组照片反映了太阳与地平线的位置变化 情景导入 将照片中太阳与地平线分别看作圆与直线，并按它们之间不同的位置关系表示成如下图. （1） （2） （3） 新知探究 如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，如图（1），这条直线叫做圆的割线. 如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，如图（2），这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. 如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离，如图（3）. 新知探究 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，由上述直线与圆的位置关系可知： (1) 直线l与⊙O相交 d<r， 如图（a）； (2) 直线l与⊙O相切 d=r ，如图（b）； (3) 直线l与⊙O相离 d>r ，如图（c）. A d P d d o o o l l l A A 图（a） 图（b） 图（c） 课本例题 例1 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°. (1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？ A C B 解： 过点C作边AB上的高CD. D ∵∠A=30°，AB=10cm， 在Rt△BCD中，有 当半径为 时，AB与☉C相切. ∴∠B=60°， (2) 以点C为圆心、半径 r 分别为 4cm 和 5cm 作两个圆， 这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？ A C B D 当r =4cm时，d＞r，⊙C与AB相离； 当r =5cm时，d＜r，⊙C与AB相交. 解：由 (1) 可知圆心 C 到 AB 的距离 课堂练习 1． ⊙O的圆心到直线 l 的距离为5cm，直线 l 与⊙O有唯一公共点，问⊙O的半径r是多少厘米？ 解：因为直线 l 与⊙O有唯一公共点， 说明直线 l 与⊙O相切，所以 d =r. 因为⊙O的圆心到直线l的距离为5cm， 所以d=5 cm， 即r=5cm. 2． 在△ABC中，∠C ＝90°，a＝3，b＝4，以点C为圆心，下列 r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系，为什么？ （1） r =2；　 （2） r =2.4 ; （3） r＝2.8． 解：在△ABC中，∠C=90°，a =3，b=4，由勾股定理可知，c=5.根据同一个三角形的面积相等，设斜边上的高为h， 则有ab= ch，h= =2.4，即：点C到斜边的距离d=2.4. (1) r=2<d=2.4，说明AB与以 r 为半径的圆相离； (2) r=2.4=d=2.4，说明AB与以 r 为半径的圆相切； (3) r=2.8>d=2.4，说明AB与以 r 为半径的圆相交. 分层练习-基础 1．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交⇔d________r⇔直线l与⊙O________公共点； 直线l与⊙O相切⇔d________r⇔直线l与⊙O________公共点； 直线l与⊙O相离⇔d________r⇔直线l与⊙O________公共点． ＜ 有2个 ＝ 有1个 ＞ 没有 2. “海日生残夜，江春入旧年”，如图所记录的日出美景中，太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是________． 相交 3．[2024·南京玄武区模拟]已知点A(3，4)，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴________，⊙A与y轴________． 相离 相切 4．如图，已知圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8，则这条直线可以是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【点拨】∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8， ∴d＞r.∴直线与圆相离. ∴这条直线与圆没有公共点.∴这条直线可以是 l2.故选B. 【答案】 B 5．如图，在半径为5 cm的⊙O中，直线l交⊙O于A，B两点，且弦AB＝8 cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 【答案】 B 6．[2024·商丘期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，点D为AB的中点，以2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是(　　) A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 【答案】 B 7．[2023·衡阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为________． 【点拨】如图，当⊙O与BC，BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值.设⊙O与BC，BA的切点分别为 E，F，连接OE，OF，OB，则OE⊥BC，OF⊥AB. 9．已知平面内⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【点拨】 ∵⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径．∴点A在⊙O外，点B在⊙O上．∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选D. 【答案】 D 分层练习-巩固 10．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AC与BD相交于点O.⊙A经过点B，如果⊙O与⊙A有公共点，且与边CD没有公共点，求⊙O的半径长r的取值范围． 11．在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm. (1)若以点C为圆心，2 cm长为半径画⊙C，求直线AB和⊙C的位置关系； 【解】∵AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm， ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. (2)若直线AB和半径为r cm的⊙C相切，求r的值； 【解】由(1)知CD⊥AB，CD＝2.4 cm， ∴当r＝2.4时，直线AB和半径为r cm的⊙C相切. (3)若线段AB和半径为r cm的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围． 【解】若线段AB和半径为r cm的⊙C有唯一公共点， 分两种情况：①当⊙C和AB相切时，r＝2.4； ②当点A在⊙C内部，点B在⊙C上或⊙C外部时，3<r≤4. ∴r的取值范围是3<r≤4或r＝2.4. 分层练习-拓展 12. 如图，⊙O的半径为1，圆心O在等边三角形ABC的边AB上移动，AB＝4.试讨论：在移动过程中，⊙O与AC边有不同个数的交点时，OA长度的取值情况． 【解】①当⊙O与AC边有一个公共点时， 若⊙O与AC相切，过点O作OD⊥AC于点D，如图①， 则∠ADO＝90°，OD＝1. 课堂小结 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 大致图像 数量关系（d、r） 交点个数 0 1 2 d﹤r d＝r d > r 【点拨】如图，连接OB，作OC⊥AB于点C. ∵⊙O的半径为5 cm，直线l交⊙O于A，B两点，且弦AB＝8 cm，∴BO＝5 cm，BC＝AB＝4 cm. ∴由勾股定理得OC＝3 cm. ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直 线l向下平移2 cm.故选B. 【点拨】如图，连接CD. ∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝＝＝5. ∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝CD＝2.5. ∵2.5＞2，∴点A在圆外，点C在圆外. 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意. 如图，作DE⊥AC于点E，∴AE＝CE. ∴DE＝BC＝2.故⊙D与直线AC相切. 故选项C正确，不符合题意. 如图，过D作DF⊥BC于F， ∴CF＝BF.∴DF＝AC＝.∴DF＜2. 故⊙D与直线BC相交．故选项D正确，不符合题意. 【点拨】如图，设⊙C与AB所在的直线相切于点D，连接CD，则AB⊥CD. ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝.∴r＝. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________． 2＋1 ∵AC＝6，BC＝2，∴AB＝＝4， 易得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°. 易证Rt△OBF≌Rt△OBE， ∴∠OBF＝∠OBE＝30°.∴OB＝2OF＝2. ∴BF＝＝.∴AF＝AB－BF＝3. ∴OA＝＝2.∴AD＝2＋1. 【解】如图，过点O作OE⊥CD于点E. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝OC＝AC. 又∵AB＝2，BC＝4， ∴AC＝＝＝2. ∴AO＝OC＝.∵∠ADC＝∠OEC＝90°， ∴OE∥AD.∴△COE∽△CAD. ∴＝＝.∴OE＝AD＝2. ∵⊙O与⊙A有公共点，且与边CD没有公共点， ∴－2≤r＜2. 如图，作CD⊥AB于点D. 由△ABC的面积，得CD＝＝2.4 cm>2 cm， ∴若以点C为圆心，2 cm长为半径画⊙C， 则直线AB和⊙C的位置关系是相离. ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°.∴∠AOD＝30°. ∴OA＝2AD.由勾股定理得OA＝. 若⊙O与AC相交且只有一个公共点，则0≤OA＜1. 于是当0≤OA＜1或OA＝时，⊙O与AC边有一个公共点. ②当⊙O与AC边有两个公共点时， 当点A恰为一个公共点时，设另一个公共点为E，连接OE，如图②，则OA＝AE＝OE＝1， 于是当1≤OA＜时， ⊙O与AC边有两个公共点. ③当⊙O与AC边无公共点时，＜OA≤4. 综上，当⊙O与AC边有一个公共点时，0≤OA＜1或OA＝；当⊙O与AC边有两个公共点时，1≤OA＜；当⊙O与AC边无公共点时，＜OA≤4. $$